008一元二次方程及应用

一、选择题1. （2014山东省枣庄市，10,3分）x1，x2是一二次方程3（x-1）2=15的两个解，且x1x2，下列说法正确的是（ ）Ax1小于-1，x2大于3Bx1小于-2，x2大于3Cx1，x2在-1和3之间 Dx1，x2都小于3【答案】A2. （2014甘肃省白银市，8，3分）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（）Ax（5+x）=6Bx（5x）=6Cx（10x）=6Dx（102x）=6考点：由实际问题抽象出一元二次方程专题：几何图形问题分析：一边长为x米，则另外一边长为：5x，根据它的面积为5平方米，即可列出方程式解答：解：一边长为x米，则另外一边长为：5x，由题意得：x（5x）=6，故选：B点评：本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式3. （2014湖北省襄阳市，9，3分）用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形.设长方形的长为x cm,则可列方程为（ ）Ax(20x)64Bx(20x)64Cx(40x)64Dx(40x)64【答案】B4. （2014山东省济宁市，8，3分）“如果二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2bxc=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（mn）是关于x的方程的两根，且a b， 则a、b、m、n 的大小关系是 A. m a b n B. a m n b C. a m b n D. m a n b 【考点】抛物线与x轴的交点【解析】选A. ，1=.m、n（mn）是关于x的方程的两根，m、n是直线y=1和二次函数y=的交点，m a b1，x1x2 0Bx1 x2 0C0 x1 x2 0Dx1 x2与x1x2 的符号都不确定【答案】C24. （2014山东聊城，6，3分）用配方法解一元二次方程（），此方程可变形为（ ）ABCD【答案】A25. （2014四川省甘孜州，8，4分）一元二次方程x2px20的一个根为2，则p的值为A1B2C1D2【答案】C26. (2014年湖南省益阳市，5， 4分)一元二次方程总有实数根，则应满足的条件是ABCD【答案】D27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39. 二、填空题1. （2014山东省莱芜市，15，4分）若关于x的方程的两根互为相反数.则k . 【答案】12. （4分）（2014甘肃省白银市，14，4分）一元二次方程（a+1）x2ax+a21=0的一个根为0，则a=1考点：一元二次方程的定义专题：计算题分析：根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+10且a21=0，然后解不等式和方程即可得到a的值解答：解：一元二次方程（a+1）x2ax+a21=0的一个根为0，a+10且a21=0，a=1故答案为1点评：本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a0）也考查了一元二次方程的解的定义3. （2014广东省广州市，16，3分）若关于的方程有两个实数根、，则的最小值为_.【考点】一元二次方程根与系数的关系，最值的求法【分析】该题主要是考察方程思想与函数思想的结合，由根与系数的关系得到：，原式化简因为方程有实数根，当时，最小值为【答案】4. （2014山东省济宁市，13，3分）若一元二次方程ax2=b（ab0）的两个根分别是m+1与2m4，则= .【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】ax2=b（ab0），x是的平方根.又一元二次方程ax2=b（ab0）的两个根分别是m+1与2m4，m1和2m4互为相反数，m12m4=0，m=1.m1=2，2m4=2.=22=4.答案：45. （2014四川省达州市，14，3分）己知实数a、b满足 a+b =5，ab =3，则 a-b= 【答案】6.（2014湖南岳阳，10，4分）方程x23x+2=0的根是 【答案】1，27. （2014贵州省遵义市，14，4分）关于x的一元二次方程x2-3x+b=0有两个不相等的实数根，则b的取值范围是 .【答案】8. （2014年上海市11，4分）如果关于x的方程x22xk0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_【答案】k19.（2014甘肃省临夏州，14，4分）一元二次方程（a+1）x2ax+a21=0的一个根为0，则a= 考点：一元二次方程的定义菁优网版权所有专题：计算题分析：根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+10且a21=0，然后解不等式和方程即可得到a的值解答：解：一元二次方程（a+1）x2ax+a21=0的一个根为0，a+10且a21=0，a=1故答案为1点评：本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a0）也考查了一元二次方程的解的定义10. （2014浙江省丽水市，15，4分）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草要使每一块花草的面积都为78，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程_(第15题)【答案】（未化简不扣分）11.（2014山东省德州市，16，4分）方程x22kxk22k10的两个实数根x1，x2满足，则k的值为 【答案】112. （2014四川省巴中市，16，3分）菱形的两条对角线分别是方程的两实根，则菱形的面积为 【答案】2413. (2014江西省10，3分)若，是方程x22x30的两个实数根，则22_【答案】1014. （2014湖南省长沙市，第14题，3分）已知关于x的一元二次方程的一个根是1，则k= .【答案】215.（2014江苏宿迁，12，3分）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 m【答案】1216. （2014江苏省扬州市，17，3分）已知a、b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式的值为 【答案】2317. （2014内蒙古呼和浩特市，15，3分）已知m，n是方程x22x5 = 0的两个实数根，则m2mn3mn=_【答案】218.（2014安徽省，12，5分）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月比增长率都是x，则该厂今年三月份的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= .【答案】y=a(1+x)219.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39. 三、解答题1. （2014山东省莱芜市，22，10分）某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程.已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元.若这两年内平均每年投资增长的百分率相同.(1)平均每年投资增长的百分率；（2）已知河道治污每平方米需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，若要求2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍，那么园林绿化的费用应在什么范围内？【答案】解：（1）设平均每年投资增长的百分率为x,根据题意，得1000（1+x）2=1210,解这个方程得：(舍去)答：平均每年投资增长的百分率为10%.(2)设园林绿化的费用是y万元，则河道治污的费用是（1210-y）万元，由题意，得解这个不等式组得：190y242.答：园林绿化的费用应不少于190万元且不多于242万元.2. （2014广东省广州市，19，10分）已知多项式.（1）化简多项式；（2）若，求的值.【考点】（1）整式乘除 （2）开方,正负平方根【分析】（1）没有公因式,直接去括号,合并同类型化简 （2）由第一问答案,对照第二问条件,只需求出，注意开方后有正负【答案】解:（1） （2）,则 3. （2014河北省，21，10分）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时，对于的情况，她是这样做的：由于，方程变形为：第一步，第二步，第三步，第四步第五步（1）嘉淇的解法从第_步开始出现错误；事实上，当时，方程的求根公式是_（2）用配方法解方程【答案】解：（1）四；（2）方程变形，得 ， ， ， ，所以或4. （2014贵州省毕节市，25，12分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1x10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次【答案】（1）y=6+2(x1)955(x1)，整理，得y=10x2+180x+400（2）由10x2+180x+400=1120，化简，得x218x+72=0.配方，得(x9)2=9，解得x1=6，x2=12（不合题意，舍去）所以，该产品为第6档次的产品5. (2014年遂宁市，17，7分)解方程：x+2x-3=0【答案】解：x1=1，x2=-36.（2014湖北省咸宁市，18，7分）（本题满分7分）随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降咸宁市2011年销售烟花爆竹20万箱，到2013年烟花爆竹销售量为9.8万箱求咸宁市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率【答案】解：设咸宁市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率为x，由题意得 20（1- 20（1- 1-x）2=9.8 解之得 x1=0.3 =30% x2=1. =170%(不符合题意，舍去) 经检验：x=30%符合题意。 答: 咸宁市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率30%。7. （2014湖北省咸宁市，24，12分）（本题满分12分）如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（，4）点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点DBD与轴交于点E，连接PE设点P运动的时间为t（s）（第24题）AxyOBCDEPQl（1）PBD的度数为 ，点D的坐标为 （用t表示）；（2）当t为何值时，PBE 为等腰三角形？（3）探索POE周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值【答案】：解: (1) 45 (t ,t) (2)当PB =BE时（如图1所示），点P与点A重合，点E、D、Q均与点O重合。此时:t=0第24题（2）图1答图（2）当BE =PE时（如图2所示）点P与点O重合，点E、与点C重合。此时:t=4第24题（2）图2答图（2）当BE =PE时（如图2所示）点P与点O重合，点E、与点C重合。此时:t=4第24题（2）图2答图（2）当BE =BP时（如图2所示）第24题（2）图3答图 四边形OABC是正方形。 BA =BC=OA=OC BAP=BCO=90 BAP BCE （HL） CE =AP OC-CE =OAAP 即: OP =OE 由题可得：AP=t ,OP = 4-t 设直线BD的解析式为: y =kx +b ，把点B（-4，4）和D （ t ，t） 代入得。 解之得 直线BD的解析式为: 当x=0时，点E的坐标为(0, ) OE = 4-t = 解之得，t = ，t =（不符合题意，舍去）综合上述，当t为 0、4时，PBE 为等腰三角形。 （3）POE周长不随时间t的变化而变化，它始终等8。理由如下: 在RtPOE中， OP=4-t ,OE= PE = POE周长为：（4-t）+=88. （2014湖北省孝感市，22，10分）已知关于的方程有两个不相等的实数根、（1）求的取值范围；（3分）（2）试说明，；（3分）（3）若抛物线与轴交于、两点，点、点到原点的距离分别为、，且，求的值（4分）【答案】解：（1）由题意可知：， 1分 即 2分 3分（2）， 5分 6分（3）依题意，不妨设A（x1,0），B（x2,0）.， 8分，解得k11，k22 9分，k2 10分9.（2014湖北省黄石市，20，8分）解方程： 【答案】解：依题意 由（2）得 （3）将（3）代入（1）化简得（4分）解此方程得 或 （2分）代入（2）得或原方程组的解为或（2分）10. (2014年株洲市，21，6分)已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为ABC的三边的长.(1)如果x=-1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由；(3)如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.【答案】解：（1）把x=-1代入方程得2a-2b=0a=bABC是等腰三角形.(2) 方程有两个相等的实数根 =（2b)-4（a+c)(a-c)=0 b+c=a ABC是直角三角形.(3) ABC是等边三角形 a=b=c 原方程变为：2ax+2ax=0 a0 x1=0;x2=-111. （2014四川泸州 ，23，8分）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根.(1)若，求m的值；(2)已知等腰ABC的一边长为7，若、恰好是ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.【答案】解：(1)、是关于x的一元二次方程的两个实数根，又，=28，即，m=-4或6.又0，m2，m=6.(2)m=6，三角形的周长为7+14=21.12. （2014四川南充，20，8分）(8分)已知关于x的一元二次方程x22x+m=0,有两个不相等的实数根.求实数m的最大整数值；在的条下，方程的实数根是x1，x2,求代数式x12+x22x1x2的值.【答案】解：由题意，得：0，即： 0，m2，m的最大整数值为m=1（2）把m=1代入关于x的一元二次方程x22x+m=0得x22x+1=0，根据根与系数的关系：x1+x2 = 2，x1x2=1，x12+x22x1x2= （x1+x2）23x1x2=（2）231=513. （2014四川省巴中市，26，8分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个. 定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个。因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个。商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价多少元？【答案】解：（1）设定价为x元，则进货为180-10（x-52）=180-10x+520=（700-10x）个，所以（x-40）（700-10x）=2000，解得x1=50，x2=60；每批次进货个数不得超过180个700-10x180x52 x=60当x=60时，700-10x=700-1060=100个；答：商店若准备获利2000元，应进货100个，定价为60元.14. （2014重庆市A卷，23，10分）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室，经预算，一共需要筹资30 000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需要集资150元镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户集资20 000元经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a0），则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了，求a的值【答案】解：（1）设用于购买书桌、书架等设施的资金为x元，由题意，得：解得，答：最多花7500元资金购买书桌、书架等设施（2）由题意，得：设，则，整理得，解得（舍），15.（2014广东省汕尾市，22，9分）已知关于x的方程 （1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根 （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根【答案】解：(1)已知1为原方程的一个根，则1+a+a-2=0 a=带回方程得： , (2)在中，A=1 B= C= = = =0 不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根16.（2014四川自贡，16，8分）解方程：【答案】解：，17. (2014年湖南省衡阳市，24，6分)学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率。【答案】解：设这两年的平均增长率为X。 依题意得： 50001+X2=7200 解之得：x1=0.2 x2=-2.2(不合题意，舍去） 答：这两年的年平均增长率为20%。18. （2014江苏省扬州市，20，8分）已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值【答案】解：关于x的方程有两个相等的实数根， 解得：k=2当关于x的方程有两个相等的实数根时，k=219.（2014江苏徐州， 20，5分）（1）解方程： ； 【答案】解： 或20. （2014四川省成都市，26，8分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设m.（1）若花园的面积为192,求的值；（2）若在处有一棵树与墙，的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值. 【答案】解：（1）由题意，得 x（28-x）=192 解这个方程，得 （2）花园面积S=x（28-x）=-（x-14）+196 由题意，知解得6x13 在6x13范围内，S随x的增大而增大. 当x=13时， =-（13-14）+196=195(m)21. （2014浙江省湖州市，22，10分）已知某市2013年企业月用水量x(吨)该月应交的水费y(元)之间的函数关系如图所示.（1） 当x50时，求关于x的函数关系式；（2） 若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量；（3） 为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对顶月用水量超过80吨的企业加污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2013年收费标准收取水查费外，超过80吨部分每吨另加收元。若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600地，求这个企业该月的用水量.【答案】解：(1)设所求的函数关系式为y=kx+b.直线y=kx+b经过点（50，200），（60，260）.解得所求的函数关系式为y=6x-100.（2）由图可知，当y=620时，x50,620=6x-100,解得x=120.(3)由题意得.化简得解得(不合题意，舍去).答：该企业2014年3月份的用水量为100吨.22. （2014四川省凉山州，22，8分）实验与探究：三角形点阵中前n行的点数计算下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点第n行有n个点容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和.你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果用实验的方法，由上而下地逐行相加其点数，虽然你能发现1+2+3+23+24=300，得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需要花费较多时间，能否更简捷地得出结果呢？我们先探究三角点阵中前 n 行的点数和与 n 的数量关系.前 n 行的点数和是1+2+3+（n+2）+（n-1）+n。可以发现，21+2+3+（n+2）+（n-1）+n=1+2+3+（n+2）+（n-1）+n+n+（n-1）+（n+2）+3+2+1把两个中括号中的第一项相加，第二项相加第 n 项相加，上式等号的后边变形为这 n 个小 括号都等于 n+ 1 ，整个式子等于