4-1矩阵的对角化

1,一.矩阵的特征值和特征向量,二.相似矩阵和矩阵对角化,三.向量的内积和施密特正交化,四.实对称矩阵的对角化,第四章矩阵的对角化,本章安排,2,第一节矩阵的特征值和特征向量,一.特征值与特征向量的概念,二.特征值与特征向量的性质,三.特征值与特征向量的求法,四.小结思考题,3,一.特征值与特征向量的概念,使得,注：,是方阵。,（2）特征向量是非零列向量。,4,（4）一个特征向量只能属于一个特征值。,的特征向量，即有,5,或,已知,所以齐次线性方程组(2)有非零解,或,定义2,数,二.特征值与特征向量的求法,6,称为矩阵的特征方程。,求特征值、特征向量的步骤：,求齐次线性方程组,的非零解,即为所求特征向向量。,7,例1,求矩阵,的特征值和全部特征向量.,解,第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.,特征值为,第二步：对每个特征值,代入齐次线性方程组,求非零解。,8,系数矩阵,自由未知量:,9,当,时，齐次线性方程组为,得基础解系,10,三.特征值和特征向量的性质,性质1,若的特征值是，是的对应于的特征向量，则,的特征值是,是任意常数),的特征值是,是正整数),若可逆，则的特征值是,的特征值是,且仍然是矩阵,分别对应于的特征向量。,为A的多项式，则的特征值为,11,再继续施行上述步骤,次，就得,与题设矛盾。,由,证明,12,回顾,的特征值为,的特征值为,的特征值为,(4)设,则,13,设为矩阵的特征值，求的特征值；,若可逆，求的特征值。,例2,解,在题设条件下，由性质1中的(4)知，,的特征值为,为A的多项式，则的特征值为,由性质1中的（3）知，,的特征值为,的特征值为,进而,的特征值为,14,矩阵和的特征值相同。,证明,性质2,15,设阶方阵的个特征值为,则,称为矩阵A的迹.（主对角元素之和）,定理2,16,解（1）,求：（1）A的特征值和特征向量。,（2）求可逆矩阵，使得为对角阵。,例3设,得,17,18,自由未知量:,得基础解系,19,取,20,存在,本题启示:,问题：矩阵是否唯一？矩阵是否唯一？,2.提供了一种求的方法.,21,则,是方阵的个特征值，,依次是与之对应的特征向量。,如果各不相等，,则线性无关。,即，方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。,定理3设,22,把上列各式合写成矩阵形式，得,等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式，,当各不相同时，该行列式的值不等于零，所以存在逆矩阵。,类推之，有,23,等号两边同时右乘它的逆矩阵，有,即,又因为为特征向量，,所以,线性无关。,24,1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的,2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量,3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值。,注意,的特征向量，即有,与定义矛盾.,25,内容小结,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,26,思考与练习,矩阵，计算行列式,知识点链接,解,27,例2向量,是矩阵,知识点链接,28,例3设,是,的特征向量，则,的值为.,（A）5，2（B）1，-3（C）-3，1（D）2，5,29,例4设矩阵,的属于特征值,的特征向量是,