部审湘教版八年级数学下册精品ppt课件第1章 小结与复习

小结与复习 第1章直角三角形 八年级数学下 XJ 教学课件 直角三角形的性质定理1 直角三角形的两个锐角 互余 直角三角形的判定定理1 有两个角 的三角形是直角三角形 互余 一 直角三角形的性质与判定 要点梳理 直角三角形的重要推论 1 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 2 在直角三角形中 如果一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的 一半 3 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么这条直角边所对的角等于 30 1 如果直角三角形两直角边分别为a b 斜边为c 那么 a2 b2 c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 在直角三角形中才可以运用 2 勾股定理的应用条件 二 勾股定理 3 勾股定理表达式的常见变形 a2 c2 b2 b2 c2 a2 三 勾股定理的逆定理 1 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 满足a2 b2 c2的三个正整数 称为勾股数 2 勾股数 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简写成 斜边 直角边 或 HL A B C D E F 注意 对应相等 HL 仅适用直角三角形 书写格式应为 在Rt ABC和Rt DEF中 AB DE AC DF Rt ABC Rt DEF HL 四 直角三角形全等的判定 角的平分线的性质 OP平分 AOB PD OA于D PE OB于E PD PE OP平分 AOB PD PE PD OA于D PE OB于E 角的平分线的判定 五 角平分线的性质与判定 例1 如图 AB DF AC BC于C CB的延长线与DF交于点E 若 A 20 则 CEF等于 A 110 B 100 C 80 D 70 分析 AC BC于C ABC是直角三角形 ABC 90 A 90 20 70 ABC 1 70 AB DF 1 CEF 180 即 CEF 180 1 180 70 110 考点讲练 A 例2如图 在 ABC中 AB AC 点E F分别是边AB AC的中点 点D在边BC上 若DE DF AD 2 BC 6 求四边形AEDF的周长 解 点E F分别是边AB AC的中点 AE BE AB AF CF AC AB AC AE AF 在 ADE和 ADF中 ADE ADF SSS DAE DAF 即AD平分 BAC BD CD BC 3 AD BC ADB ADC 90 在Rt ABD和Rt ACD中 E F分别是边AB AC的中点 DE AB DF AC AE AF DE DF 四边形AEDF的周长 4AE 2AB 1 等腰三角形的一个底角为75 腰长4cm 那么腰上的高是 cm 这个三角形的面积是 cm2 2 4 例3在 ABC中 已知BD是高 B 90 A B C的对边分别是a b c 且a 3 b 4 求BD的长 解 B 90 b是斜边 则在Rt ABC中 由勾股定理 得又 S ABC b BD ac 在直角三角形中 已知两边的长求斜边上的高时 先用勾股定理求出第三边 然后用面积求斜边上的高较为简便 在用勾股定理时 一定要清楚直角所对的边才是斜边 如在本例中不要受勾股数3 4 5的干扰 2 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4 则第三边长的平方是 A 25B 14C 7D 7或25 D 解 由折叠知 DA DB ACD为直角三角形 在Rt ACD中 AC2 CD2 AD2 设CD xcm 则AD BD 8 x cm 代入 式 得62 x2 8 x 2 化简 得36 64 16x 所以x 1 75 即CD的长为1 75cm 3 如图 有一张直角三角形纸片 两直角边AC 6cm BC 8cm 将 ABC折叠 使点B与点A重合 折痕是DE 求CD的长 例4已知在 ABC中 A B C的对边分别是a b c a n2 1 b 2n c n2 1 n 1 判断 ABC是否为直角三角形 解 由于a2 b2 n2 1 2 2n 2 n4 2n2 1 c2 n2 1 2 n4 2n2 1 从而a2 b2 c2 故可以判定 ABC是直角三角形 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤 先判断哪条边最大 分别用代数方法计算出a2 b2和c2的值 c边最大 判断a2 b2和c2是否相等 若相等 则是直角三角形 若不相等 则不是直角三角形 4 已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上 可以判定三角形是直角三角形的有 2 4 5 B港有甲 乙两艘渔船 若甲船沿北偏东60 方向以每小时8nmile的速度前进 乙船沿南偏东某个角度以每小时15nmile的速度前进 2h后 甲船到M岛 乙船到P岛 两岛相距34nmile 你知道乙船是沿哪个方向航行的吗 解 甲船航行的距离为BM 16 nmile 乙船航行的距离为BP 30 nmile 162 302 1156 342 1156 BM2 BP2 MP2 MBP为直角三角形 MBP 90 乙船是沿着南偏东30 方向航行的 6 如图 在四边形ABCD中 AB 20cm BC 15cm CD 7cm AD 24cm ABC 90 猜想 A与 C关系并加以证明 解 猜想 A C 180 连接AC ABC 90 在Rt ABC中 由勾股定理得AC 25cm AD2 DC2 625 252 AC2 ADC是直角三角形 且 D 90 DAB B BCD D 180 DAB BCD 180 即 A C 180 例5如图 两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上 旗杆与地面垂直 另一端分别固定在地面上的木桩上 两根木桩离旗杆底部的距离相等吗 分析 将本题中的实际问题转化为数学问题就是确定BD是否等于CD 由已知条件可知AB AC AD BC 解 相等 理由如下 AD BC ADB ADC 90 在Rt ADB和Rt ADC中 Rt ADB Rt ADC HL BD CD 例6如图 在 ABC中 EB FC 且BD CD DE AB DF AC 垂足分别为E F 求证 AD是 ABC的角平分线 分析 先利用 HL 证明Rt BDE Rt CDF 从而得到DE DF 再利用角平分线的判定定理证明AD是 ABC的角平分线 在Rt BDE和Rt CDF中 Rt BDE Rt CDF HL DE DF DE AB DF AC AD是 ABC的角平分线 证明 例7如图 1 2 点P为BN上的一点 PCB BAP 180 求证 PA PC 分析 由角平分线的性质易想到过点P向 ABC的两边作垂线段PE PF 构造角平分线的基本图形 证明 过点P作PE BA PF BC 垂足分别为E F 1 2 PE BA PF BC 垂足分别为E F PE PF PEA PFC 90 PCB BAP 180 又 BAP EAP 180 EAP PCB 在 APE和 CPF中 APE CPF AAS AP CP 证法2思路分析 由角是轴对称图形 其对称轴是角平分线所在的直线 所以可想到构造轴对称图形 方法是在BC上截取BD AB 连接PD 如图 则有 PAB PDB 再证 PDC是等腰三角形即可获证 B 证明过程请同学们自行完成 D 归纳拓展 角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法 应用时要依托全等三角形发挥作用 作辅助线有两种思路 一种作垂线段构造角平分线性质基本图 另一种是构造轴对称图形 7 如图 1 2 点P为BN上的一点 PA PC 求证 PCB BAP 180 证明 过点P作PE BA PF BC 垂足分别为E F 1 2 PE BA PF BC 垂足分别为E F PE PF PEA PFC 90 在Rt APE和Rt CPF中 Rt P