二叉树模型入门ppt课件

第12章二叉树模型介绍 2 本章主要内容 二叉树模型的基本思想12 1利用二叉树给期权定价12 2风险中性定价12 3两步二叉树12 4看跌期权12 5美式期权12 6Dalta12 7u和d的确定12 8二叉树其他问题课堂练习 3 二项式期权定价模型 要对期权进行定价 我们需要知道标的资产价格如何变动简单但非常有力的一个模型是二项式模型 在每个 很短 的时间间隔期末 股票价格只能有两个可能的取值 当时间间隔足够短 这是很好的近似 有利于解释期权定价模型背后所包含的原理 可以用于对象美式期权这样的衍生证券进行定价 4 把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 并假设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能 1 从开始的上升到原先的倍 即到达 2 下降到原先的倍 即相应地 期权价值也会有所不同 分别为和 5 相同期限下步长越小 精确度越高 5 二叉树模型的思想实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动 6 此时 因为是无风险组合 可用无风险利率贴现 得 将代入上式就可得到 其中 6 无套利定价法 构造投资组合包括份股票多头和1份看涨期权空头当时 股票价格的变动对组合无影响则组合为无风险组合 7 本章主要内容 二叉树模型的基本思想12 1利用二叉树给期权定价12 2风险中性定价12 3两步二叉树12 4看跌期权12 5美式期权12 6Dalta12 7u和d的确定12 8二叉树其他问题课堂练习 8 假设一种股票当前价格为 20 三个月后的价格将可能为 22或 18 假设股票三个月内不付红利 欧式看涨期权执行价格 21 有效期为三个月后以买入股票的进行估值 9 单步二叉树模型 10 定价思路 构造一个股票和期权的组合 使得在三个月末该组合的价值是确定的 它的收益率一定等于无风险收益率 由此得出该期权的价格 构造组合 该组合包含一个 股股票多头头寸和一个看涨期权的空头头寸 11 上升时 股票价格从 20上升到 22 期权的价值为 l 该证券组合的总价值为22 1 下降时 股票价格从 20下降到 18 期权的价值为零 该证券组合的总价值为18 如果选取某个 值 以使得该组合的终值对两个股票价格都是相等的 则该组合就是无风险的 22 1 18 0 25 12 一个无风险的组合是 多头 0 25股股票空头 一个期权定价 如果股票价格上升到 22 该组合的价值为 22 0 25 1 4 5如果股票价格下跌到 18 该组合的价值为 18 0 25 4 5无论股票价格是上升还是下降 在期权有效期的末尾 该组合的价值总是 4 5 13 在无套利均衡的情况下 无风险证券组合的盈利必定为无风险利率 假设在这种情况下 无风险利率为年率12 该组合现在价值一定是 4 5的现值 即 4 5e 0 12 0 25 4 3674股票现在的价格已知为 20 假设期权的价格由f来表示 现在该组合的价值 20 0 25 f 5 f 4 3674即f 0 633 14 偏离均衡价格时的套利 如果期权的价值超过了 0 633 构造该组合的成本就有可能低于 4 367 并将获得超过无风险利率的额外收益 如果期权的价值低于 0 633 那么卖空该证券组合将获得低于无风险利率的资金 15 单步二叉树的一般结论 假设 期权的期限为T U 1 d 1股票上涨的比率为u 1股票下跌的比率为1 du d 2 16 组合 股股票多头期权空头当股票上升 有效期末组合价值S0u fu当股票下降 有效期末组合价值S0d fd得S0u fu S0d fd 17 T0成本S0 f组合现值得得 18 已知u 1 1 d 0 9 r 0 12 T 0 25 fu 1 fd 0 19 本章主要内容 二叉树模型的基本思想12 1利用二叉树给期权定价12 2风险中性定价12 3两步二叉树12 4看跌期权12 5美式期权12 6Dalta12 7u和d的确定12 8二叉树其他问题课堂练习 20 风险中性 上述期权定价是根据标的股票的价格估计期权的价值 未来上升和下降的概率已包括在股票价格中 说明 当根据股票的价格为期权定价时 不需要股票价格上升和下降的概率 21 E f pfu 1 p fd 期权的预期收益根据p的解释 p是上升的概率 1 p 下降的概率得 f的价值是其未来预期收益按照无风险利率的贴现值 22 风险中性 变量p解释为股票价格上升的概率 于是变量1 p 就是股票价格下降的概率 在T时刻预期的股票价格ST E ST pS0u 1 p S0d即E ST pS0 u d S0d 将代入上式 化简得 E ST S0erT即 平均来说 股票价格以无风险利率增长 因此 设定上升运动的概率等于p就是等价于假设股票收益等于无风险利率 23 风险中性的例子 S0 20S0u 22 S0d 18K 21fu 1 fd 0r 0 12 T 0 25 E f pfu 1 p fd 24 12 2 用单步二叉树图说明无套利和风险中性估值方法如何为欧式期权估值解 在无套利方法中 我们通过期权及股票建立无风险资产组合 使组合收益率等价于无风险利率 从而对期权估值 在风险中性估值方法中 我们选取二叉树概率 以使股票的期望收益率等价于无风险利率 而后通过计算期权的期望收益并以无风险利率贴现得到期权价值 25 12 4 某个股票现价为 50 已知6个月后将为 45或 55 无风险年利率为10 连续复利 执行价格为 50 6个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少 f 50 26 16所以 f 50 0 5 26 16 1 16 看跌期权的价值f 0 0 7564 5 0 2436 e 0 1 0 5 1 16 26 12 16 某个股票现价为 50 已知在6个月后 股价将变为 60或 42 无风险年利率为12 连续复利 计算执行价格为 48 有效期为6个月的欧式看涨期权的价值为多少 证明无套利原理和风险中性估价原理得出相同的答案 27 12 16 28 12 16 29 12 1 股票现价为 40 已知在一个月后股价为 42或 38 无风险年利率为8 连续复利 执行价格为 39的1个月期欧式看涨期权的价值为多少 解 考虑一资产组合 卖空1份看涨期权 买入 份股票 若股价为 42 组合价值则为42 3 若股价为 38 组合价值则为38 当42 3 38 即 0 75时 组合价值在任何情况下均为 28 5 其现值为 28 5e 0 08 0 08333 28 31即 f 40 28 31其中f为看涨期权价格 所以 f 40 0 75 28 31 1 69另解 计算风险中性概率p 42p 38 1 p 40erT 40e0 08 0 083334p 40e0 08 0 08333 38P 0 5669 期权的价值应是其预期收益以无风险利率的贴现值 f 3 0 5669 0 0 4331 e 0 08 0 08333 1 69美元 30 本章主要内容 二叉树模型的基本思想12 1利用二叉树给期权定价12 2风险中性定价12 3两步二叉树12 4看跌期权12 5美式期权12 6Dalta12 7u和d的确定12 8二叉树其他问题课堂练习 31 两步二叉树图的例子1 条件 开始的股票价格为 20 并在两步二叉树图的每个单步二叉树图中 股票价格可以上升10 或者下降10 我们假设在每个单步二叉树的步长是三个月 无风险利率是年率12 期权的执行价格为 21 32 33 34 35 计算在节点B的期权价格 u 1 1 d 0 9 r 0 12 T 0 25 p 0 6523 节点B的期权价格为 e 0 12 0 25 0 6523 3 2十0 3477 0 2 0257同理求出节点C的期权价格为 0计算节点A的期权价格 知道在节点B的期权价值为2 0257 以及在节点C的期权价值为零 因此 节点A的期权价值 e 0 12 0 25 0 6523 2 0257十0 3477 0 1 2823于是期权的价格为 1 2823 36 二叉树的一般结论 无风险利率是r 每个单步二叉树的时间长度 t 37 因为所以将1式 2式 带入3式 得到 38 p2 2p 1 p 1 p 2是达到最后上 中 下三个节点的概率 衍生证券的价格等于它在它在风险中性世界的预期收益按无风险利率贴现的值 39 12 5 某个股票现价为 100 有连续2个时间步 每个时间步的步长为6个月 每个单步二叉树预期上涨10 或下降10 无风险年利率为8 连续复利 执行价格为 100的一年期欧式看涨期权的价值为多少 40 41 12 6 考虑习题12 5中的情况 执行价格为 100的一年期欧式看跌期权的价值为多少 证明欧式看涨期权和欧式看跌期权满足看涨看跌期权的平价关系 42 12 6 43 本章主要内容 二叉树模型的基本思想12 1利用二叉树给期权定价12 2风险中性定价12 3两步二叉树12 4看跌期权12 5美式期权12 6Dalta12 7u和d的确定12 8二叉树其他问题课堂练习 44 看跌期权的例子P203 两年欧式看跌期权 K 52 S0 50 t 1 股票价格或者按比例 20 u 1 2 d 0 8 r 0 05 风险中性概率p 45 12 9 某个股票现价为 50 已知在两个月后 股票价格为 53或 48 无风险年利率为10 连续复利 请用无套利原理说明 执行价格为 49的两个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少 46 12 9 u 1 d 1股票上涨的比率为u 1 0 06股票下跌的比率为1 d 0 04u d 23 50 0 06 2 50 0 04 47 12 10 某个股票现价为 80 已知在4个月后 股票价格为 75或 85 无风险年利率为5 连续复利 请用无套利原理说明 执行价格为 80的4个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少 48 12 10 49 12 12 某个股票现价为 50 有连续2个时间步 每个时间步的步长为3个月 每个单步二叉树的股价或者上涨6 或者下跌5 无风险年利率为5 连续复利 执行价格为 51 有效期为6个月的欧式看涨期权的价值为多少 50 12 13 考虑习题12 12中的情况 执行价格为 51 有效期为6个月的欧式看跌期权的价值为多少 证明欧式看涨期权和看跌期权满足看涨看跌期权平价关系 如果看跌期权是美式期权 在树图上的任何节点 提前执行期权是否会更优呢 解 1 如上题u 1 06 d 0 95 p 0 5689计算二叉树图的结果如下 51 如上图 当到达中间的终节点时 期权的损益为51 50 35 0 65 当到达最低的终节点时 期权的损益为51 45 125 5 875 因此 期权的价值为 3 为确定提前执行是否会更优 我们要计算比较每一节点处立即执行期权的损益 在C节点处 立即执行期权的损益为51 47 5 3 5 大于2 8664 因此 期权必须在此节点处被执行 在A B节点处均不执行 52 12 17 某个股票现价为 40 有连续2个时间步 每个时间步的步长为3个月 每个单位二叉树的股价或者上涨10 或者下跌10 无风险年利率为12 连续复利 A 执行价格为 42的6个月期限的欧式看跌期权的价值为多少 B 执行价格为 42的6个月期限的美式看跌期权的价值为多少 53 54 12 17 55 12 18 用 试错法 来估算习题12 17中的期权的执行价格为多高时 立即执行期权是最佳的 在此C节点处 立即执行期权的损益为37 36 1 小于1 552 因此美式看跌期权不会在此节点处被执行 56 2 假设美式看跌期权的执行价格为 38 计算股价二叉树图的结果如下 在此C节点处 立即执行期权的损益为38 36 2 比1 890多0 11收益 因此 美式看跌期权必须在此节点处被执行 从以上分析可得 当执行价格高于或等于 38时 提前执行美式看跌期权都是更优的选择 57 本章主要内容 二叉树模型的基本思想12 1利用二叉树给期权定价12 2风险中性定价12 3两步二叉树12 4看跌期权12 5美式期权12 6Dalta12 7u和d的确定12 8二叉树其他问题课堂练习 58 Dalta 期权价格变化与股票价格变化之间的比率 59 结论 随着时间而变化Delta是为了构造一个无风险对冲 对每一个卖空的期权头寸我们应该持有的股票数目 构造无风险对冲有时就称之为Delta对冲 de