辽宁辽阳高三数学一模考试理

辽宁省辽阳市2019届高三数学下学期一模考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数z1，z满足z11i，z1z4，则复数在复平面内对应点的坐标为（）A. （2，2）B. （2，2）C. （2，2）D. （2，2）【答案】D【解析】【分析】把z11i代到z1z4变形后利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得得答案。【详解】解：由z11i，z1z4，得z，则复数在复平面内对应点的坐标为（2，2）故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2.设全集UR，集合Ax|ylgx，Bx|72+3x5，则U（AB）（）A. x|0x1B. x|x0或x1C. x|x3D. x|x3【答案】C【解析】【分析】可求出集合A，B，然后进行并集、补集的运算即可【详解】解：Ax|x0，Bx|3x1；ABx|x3；U（AB）x|x3故选：C【点睛】考查描述法的定义，对数函数的定义域，以及并集、补集的运算3.已知（），tansin76cos46cos76sin46，则sin（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知求得tan，再由同角三角函数基本关系式结合角的范围求解【详解】解：由tansin76cos46cos76sin46sin（7646）sin30，且（），（0，），联立，解得sin故选：A【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的正弦，是基础题4.函数f（x）的图象大致为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解，即可得到答案【详解】由题意，函数满足，即是奇函数，图象关于原点对称，排除B，又由当时，恒成立，排除A，D，故选：C【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数值的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，再利用函数值排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。5.如图，长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，AB6，AD8，AA17，则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意平移AA1，异面直线EF与AA1所成角为FEG或其补角，在EFG中可求【详解】解：取A1B1中点G，连接EG，FG，EGFG，因为EGAA1，所以异面直线EF与AA1所成角为FEG或其补角，在EFG中，FG5，EG7，所以tanFEG，故选：A【点睛】本题考查异面直线所成的角，属于简单题6.已知直线：与圆：相交于，两点，若，则圆的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得圆心到直线的距离，再结合弦长为6，利用垂径定理可求得半径.【详解】圆：可化为，设圆心到直线的距离为，则，又，根据，所以圆的标准方程为.故选：A【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式，垂径定理的应用，属于基础题.7.某市体育局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省100米仰泳比赛，现将他们最近集训的10次成绩(单位：秒)的平均数与方差制成表格如下：甲乙丙丁平均数方差根据表中的数据，应选哪位选手参加全省的比赛（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】【分析】选择平均成绩最好，方差最小的即可.【详解】米仰泳比赛的成绩是时间越短越好的，方差越小发挥水平越稳定，故丁是最佳人选.故选D【点睛】本题考查统计，主要考查应用意识，属于基础题型.8.已知，分别是函数图象上相邻的最高点和最低点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据两个最值的横坐标的距离可得周期，进而得，把的坐标代入方程，可得，从而得解.【详解】因为，所以，把的坐标代入方程，得，因，所以，.故选：D【点睛】已知函数的图象求参数的方法：可由观察图象得到，进而得到的值求的值的方法有两种，一是“代点”法，即通过代入图象中的已知点的坐标并根据的取值范围求解；另一种方法是“五点法”，即将作为一个整体，通过观察图象得到对应正弦函数图象中“五点”中的第几点，然后得到等式求解考查识图、用图的能力9.的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是（ ）A. B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】由，根据三角形内角和定理，结合诱导公式可得，再由正弦定理可得，从而由余弦定理求得，再利用基本不等式可得，由三角形面积公式可得结果.【详解】，且，由正弦定理可得，由余弦定理可得，又，即，即最大面积为，故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于难题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.10.已知函数f（x）为R上的奇函数，当x0时，则xf（x）0的解集为（）A. 1，0）1，+）B. （，11，+）C. 1，01，+）D. （，101，+）【答案】D【解析】【分析】由时，可得在上递增，利用奇偶性可得在上递增，再求得，分类讨论，将不等式转化为不等式组求解即可.【详解】时，且在上递增，又是定义在上的奇函数，且在上递增，等价于或或，解得或或，即解集为，故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.11.已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】B【解析】【分析】设两圆圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为正方形，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案【详解】解：如下图所示，设两圆的圆心为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，中点为E，因为圆心到这两个平面的距离相等，则OO1EO2为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为r，又|OE|2+|AE|2|OA|2，即322r2+216，则r29，r3，所以，这两个圆的半径之和为6，故选：B【点睛】本题主要考查球的有关概念以及两平面垂直的性质，是对基础知识的考查解决本题的关键在于得到OO1EO2为矩形12.已知双曲线的离心率为2，分别是双曲线的左、右焦点，点，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，则（ ）A. 4B. 8C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据离心率公式和双曲线方程的a，b，c的关系，可知，根据题意表示出点p和m的取值范围，利用平面向量数量积的坐标表示得关于m的一元二次函数，问题转化为求在给定区间内二次函数的最大值与最小值，进而问题得解.【详解】由，得，故线段所在直线的方程为，又点在线段上，可设，其中，由于，即，得，所以由于，可知当时，取得最小值，此时，当时，取得最大值，此时，则故选A.【点睛】本题考查了平面向量在解析几何中应用，涉及了双曲线的简单性质，平面向量的数量积表示，二次函数在给定区间的最值问题；关键是利用向量作为工具，通过运算脱去“向量外衣”，将曲线上的点的坐标之间的关系转化为函数问题，进而解决距离、夹角、最值等问题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13.在正方形中，为线段的中点，若，则_【答案】【解析】【分析】由即可得解.【详解】因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的加法运算和线性运算，属于基础题.14.已知实数，满足，则目标函数的最小值为_【答案】22【解析】分析】画出约束条件表示的平面区域，利用图形找出最优解，代入目标函数求出最小值【详解】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z4x3y过点A时取得最小值，由，解得A（4，2），代入计算z4（4）3222，所以z4x3y的最小值为22故答案为：22【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题15.已知函数的图象是以点为中心的中心对称图形，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则_【答案】【解析】【分析】由中心对称得，可解得，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解.【详解】由，得，解得，所以.又，所以.因为，由，得，即.故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.16.用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为_【答案】【解析】【分析】按照全是1；第一个格子是1，另外4个格子有一个0；第一个格子是1，另外4个格子有2个0，分类计算满足条件的基本事件数，总事件为个，利用古典概型公式求解即可.【详解】5个格子用0与1两个数字随机填入共有种不同方法，从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数包含的基本事件有：全是1，有1种方法；第一个格子是1，另外4个格子有一个0，有4种方法；第一个格子是1，另外4个格子有2个0，有5种方法，所以共有种基本方法，那么概率.故答案为：【点睛】本题主要考查了古典概型的求解，解题的关键是采用分类的方式计算满足条件的基本事件数，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每道试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答 17.已知数列an为等差数列，a7a210，且a1，a6，a21依次成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn，数列bn的前n项和为Sn，若Sn，求n的值【答案】（1）an2n+3（2）10【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得bn（），运用裂项相消求和可得Sn，解方程可得n【详解】解：（1）设数列an为公差为d的等差数列，a7a210，即5d10，即d2，a1，a6，a21依次成等比数列，可得a62a1a21，即（a1+10）2a1（a1+40），解得a15，则an5+2（n1）2n+3；（2）bn（），即有前n项和为Sn（）（），由Sn，可得5n4n+10，解得n10【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题18.2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）3360元；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值【详解】（1）记每个农户的平均损失为元，则 ；（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）20005015（户），损失超过8000元的农户共有0.000032000503（户），随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2；计算P（X0），P（X1），P（X2），所以X的分布列为； X012P数学期望为E（X）0+1+2【点睛】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，为线段的中点，为线段上的一点.（1）证明：平面平面.（2）若，二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由得平面PAE，进而可得证；（2）先证得平面，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量为和，设与平面所成角为，则，代入计算即可得解.【详解】（1）证明：连接，因为，为线段的中点，所以.又，所以为等边三角形，.因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：设，则，因为，所以，同理可证，所以平面.如图，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.易知为二面角的平面角，所以，从而.由，得.又由，知，.设平面的法向量为，由，得，不妨设，得.又，所以.设与平面所成角为，则.所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.设D是圆O：x2+y216上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ|ED|当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程（2）已知点P（2，3），过F（2，0）的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x8于点M判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由【答案】（1）1，（2）成等差数列【解析】【分析】（1）由题意设Q（x，y），D（x0，y0），根据2|EQ|ED|Q在直线m上，则椭圆的方程即可得到；（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到k1+k3，并求得k2的值，由k1+k3=2k2说明直线PA，PM，PB的斜率成等差数列【详解】解：（1）设Q（x，y），D（x0，y0），2|EQ|ED|，Q在直线m上，x0x，|y0|y|点D在圆x2+y216上运动，x02+y0216，将式代入式即得曲线C的方程为x2y216，即1，（2）直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，证明如下：由（1）知椭圆C：3x2+4y248，直线l的方程为yk（x2），代入椭圆方程并整理，得（3+4k2）x216k2x+16k2480设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，则有x1+x2，x1x2，可知M的坐标为（8，6k）k1+k32k32k32k1，2k222k1k1+k32k2故直线PA，PM，PB斜率成等差数列【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，该题是中档题21.已知函数.（1）若函数，求的极值；（2）证明：. （参考数据： ）【答案】（1）见解析；（2）见证明【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为证exx2xlnx10，根据xlnxx（x1），问题转化为只需证明当x0时，ex2x2+x10恒成立，令k（x）ex2x2+x1，（x0），根据函数的单调性证明即可【详解】（1），当，当，在上递增，在上递减，在取得极大值，极大值为，无极大值.（2）要证f（x）+1exx2即证exx2xlnx10，先证明lnxx1，取h（x）lnxx+1，则h（x），易知h（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，故h（x）h（1）0，即lnxx1，当且仅当x1时取“”，故xlnxx（x1），exx2xlnxex2x2+x1，故只需证明当x0时，ex2x2+x10恒成立，令k（x）ex2x2+x1，（x0），则k（x）ex4x+1，令F（x）k（x），则F（x）ex4，令F（x）0，解得：x2ln2，F（x）递增，故x（0，2ln2时，F（x）0，F（x）递减，即k（x）递减，x（2ln2，+）时，F（x）0，F（x）递增，即k（x）递增，且k（2ln2）58ln20，k（0）20，k（2）e28+10，由零点存在定理，可知x1（0，2ln2），x2（2ln2，2），使得k（x1）k（x2）0，故0xx1或xx2时，k（x）0，k（x）递增，当x1xx2时，k（x）0，k（x）递减，故k（x）的最小值是k（0）0或k（x2），由k（x2）0，得4x21，k（x2）2+x21（x22）（2x21），x2（2ln2，2），k（x2）0，故x0时，k（x）0，原不等式成立【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考