圆的相似综合题

相似与圆综合题目练习1、如图，已知AB是O的直径，P为O外一点，且OPBC，P=BAC（1）求证：PA为O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长2、如图，点C是以AB为直径的O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D（1）求证：AC平分BAD；（2）若CD=1，AC=，求O的半径长3、如图，O是ABC的外接圆，BC为O直径，作CAD=B，且点D在BC的延长线上，CEAD于点E（1）求证：AD是O的切线；（2）若O的半径为8，CE=2，求CD的长4、在RtABC中，ACB=90，D是AB边上的一点，以BD为直径作O交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F且BD=BF（1）求证：AC与O相切（2）若BC=6，AB=12，求O的面积5、如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分DAB（1）求证：DC为O的切线；（2）若O的半径为3，AD=4，求AC的长6、如图，直线AB与O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求O的半径（2）点E在O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论（3）求弦EC的长 7、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长8、如图所示，在O中，=，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC（1）求证：AC2=ABAF；（2）若O的半径长为2cm，B=60，求图中阴影部分面积9、如图，正三角形ABC的边长为3+（1）如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形EFPN，且使正方形EFPN的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形EFPN的边长；（3）如图，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由10、类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G若=3，求的值 （1）尝试探究在图1中，过点E作EHAB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是_，CG和EH的数量关系是_，的值是_（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若=m（m0），则的值是_（用含有m的代数式表示），试写出解答过程（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DCAB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F若=a，=b，（a0，b0），则的值是_（用含a、b的代数式表示）初中数学组卷一解答题（共15小题）1、如图，已知AB是O的直径，P为O外一点，且OPBC，P=BAC（1）求证：PA为O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长（1）证明：AB是O的直径，ACB=90，BAC+B=90又OPBC，AOP=B，BAC+AOP=90P=BACP+AOP=90，由三角形内角和定理知PAO=90，即OAAP又OA是的O的半径，PA为O的切线；（2）解：由（1）知，PAO=90OB=5，OA=OB=5又OP=，在直角APO中，根据勾股定理知PA=，由（1）知，ACB=PAO=90BAC=P，ABCPOA，=，解得AC=8即AC的长度为82、如图，点C是以AB为直径的O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D（1）求证：AC平分BAD；（2）若CD=1，AC=，求O的半径长（1）证明：连接OCOA=OC，ACO=CAOCD切O于C，OCCD，又ADCD，ADCO，DAC=ACO，DAC=CAO，即AC平分BAD；（2）解法一：如图2，过点O作OEAC于E在RtADC中，AD=3，OEAC，AE=AC=CAO=DAC，AEO=ADC=90，AEOADC，即，AO=，即O的半径为解法二：如图2，连接BC在RtADC中，AD=3AB是O直径，ACB=90，CAB=DAC，ACB=ADC=90，ABCACD，即，AB=，=，即O的半径为3、如图，O是ABC的外接圆，BC为O直径，作CAD=B，且点D在BC的延长线上，CEAD于点E（1）求证：AD是O的切线；（2）若O的半径为8，CE=2，求CD的长（1）证明：连接OA，BC为O的直径，BAC=90，B+ACB=90，OA=OC，OAC=OCA，CAD=B，CAD+OAC=90，即OAD=90，OAAD，点A在圆上，AD是O的切线；（2）解：CEAD，CED=OAD=90，CEOA，CEDOAD，CE=2，设CD=x，则OD=x+8，即，解得x=，经检验x=是原分式方程的解，所以CD=4、在ABC中，CAB=90，ADBC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上（1）如图1，AC：AB=1：2，EFCB，求证：EF=CD（2）如图2，AC：AB=1：，EFCE，求EF：EG的值解答：（1）证明：如图1，在ABC中，CAB=90，ADBC于点D，CAD=B=90ACBAC：AB=1：2，AB=2AC，点E为AB的中点，AB=2BE，AC=BE在ACD与BEF中，ACDBEF，CD=EF，即EF=CD；（2）解：如图2，作EHAD于H，EQBC于Q，EHAD，EQBC，ADBC，四边形EQDH是矩形，QEH=90，FEQ=GEH=90QEG，又EQF=EHG=90，EFQEGH，EF：EG=EQ：EHAC：AB=1：，CAB=90，B=30在BEQ中，BQE=90，sinB=，EQ=BE在AEH中，AHE=90，AEH=B=30，cosAEH=，EH=AE点E为AB的中点，BE=AE，EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1： 5、在RtABC中，ACB=90，D是AB边上的一点，以BD为直径作O交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F且BD=BF（1）求证：AC与O相切（2）若BC=6，AB=12，求O的面积 证明：（1）连接OE，OD=OE，ODE=OED，BD=BF，ODE=F，OED=F，OEBF，AEO=ACB=90，AC与O相切；（2）解：由（1）知AEO=ACB，又A=A，AOEABC，设O的半径为r，则，解得：r=4，O的面积42=166、如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分DAB（1）求证：DC为O的切线；（2）若O的半径为3，AD=4，求AC的长 解答：（1）证明：连接OC OA=OC OAC=OCAAC平分DABDAC=OACDAC=OCAOCADADCDOCCD直线CD与O相切于点C；（2）解：连接BC，则ACB=90DAC=OAC，ADC=ACB=90，ADCACB，AC2=ADAB，O的半径为3，AD=4，AB=6，AC=27、如图，直线AB与O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求O的半径（2）点E在O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论（3）求弦EC的长 解答：（1）解：连接AO，交EC于F，AB切O于A，OAAB，OAB=90，在RtOAB中，由勾股定理得：OA=6，（2）直线EC与AB的位置关系是ECAB证明：AE=AC，弧AE=弧AC，OA过O，OAEC，OAAB，ECAB（3）解：ECAB，OFCOAB，=，=，FC=，OAEC，OA过O，EC=2FC=8、如图，在等腰梯形ABCD中，DCAB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F（1）求证：ABFECF；（2）如果AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，求CE的长（1）证明：DCAB，B=ECF，BAF=E，ABFECF（2）解：在等腰梯形ABCD中，AD=BC，AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，BF=3cm由（1）知，ABFECF，=，即=CE=（cm）9、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长（1）证明：ABCD，ABCD，ADBC，C+B=180，ADF=DECAFD+AFE=180，AFE=B，AFD=C在ADF与DEC中， ADFDEC（2）解：ABCD，CD=AB=8由（1）知ADFDEC，DE=12在RtADE中，由勾股定理得：AE=610、如图所示，在O中，=，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC（1）求证：AC2=ABAF；（2）若O的半径长为2cm，B=60，求图中阴影部分面积 （1）证明：=，ACD=ABC，又BAC=CAF，ACFABC，=，即AC2=ABAF；（2）解：连接OA，OC，过O作OEAC，垂足为点E，如图所示：ABC=60，AOC=120，又OA=OC，AOE=COE=120=60，在RtAOE中，OA=2cm，OE=OAcos60=1cm，AE=cm，AC=2AE=2cm，则S阴影=S扇形OACSAOC=21=（）cm211、如图，正三角形ABC的边长为3+（1）如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形EFPN，且使正方形EFPN的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形EFPN的边长；（3）如图，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由解：（1）如图，正方形EFPN即为所求（2）设正方形EFPN的边长为x，ABC为正三角形，AE=BF=xEF+AE+BF=AB，x+x+x=3+，x=，即x=33，（没有分母有理化也对，x2.20也正确）（3）如图，连接NE、EP、PN，则NEP=90设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（mn），它们的面积和为S，则NE=，PE=nPN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2）S=m2+n2=PN2，延长PH交ND于点G，则PGND在RtPGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（mn）2AD+DE+EF+BF=AB，即m+m+n+n=+3，化简得m+n=3S=32+（mn）2=+（mn）2当（mn）2=0时，即m=n时，S最小S最小=；当（mn）2最大时，S最大即当m最大且n最小时，S最大m+n=3，由（2）知，m最大=33S最大=9+（m最大n最小）2=9+（336+3）2=9954（S最大5.47也正确）综上所述，S最大=9954，S最小=12、类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整原题：如图1，在平行四边形ABCD中，