《采样数据的处理》PPT课件.ppt

1 第12章采样数据的处理 12 1引言 本章主要介绍 1 采样在何种程度上造成信息丢失 其本质为何 2 对连续函数采样后 能否被完全恢复 怎样做 3 为保存图像信息 需如何细微地对函数采样 4 采样对函数的频谱有何影响 5 采样后的函数如何假设 近似为连续函数 2 12 2 1Shah函数 无限冲激序列 12 2采样和插值 定义III x 为沿x轴相隔单位间距出现的单位冲激序列 III x 的傅立叶变换为其自身 3 12 2 1 1相似性 根据相似定理 且 因此III x 的频谱为沿s轴间隔为1 的冲激序列 4 设f x 带宽为s0 当频率s超过s0时 f x 便为0 即F s 0 当 s s0时 12 2 2使用Shah函数采样 以等间隔 对f x 采样 则仅在x n 处取得f x 的样本值 在其他地方 f x 被破坏了 这个过程相当于用III x 乘以f x 得到g x 5 12 2 3采样及其频谱 6 12 2 4采样定理 由上可见 只要从G s 中得到F s 即可从g x 中获得f x 方法 保留中心处于原点的F s 消除其复制品 即用矩形 s 2s1 去乘G s 其中 可见 用采样后的函数与一个形式为的内插函数做卷积 即可从g x 重构f x 7 上述推导的两个限制 1 f x 的谱 s0 2 8 12 2 5内插 g x 与内插函数卷积 等于在每个采样点上复制一个窄的sinc x 函数 而互相重叠的sinc x 函数的总和可准确地恢复出原函数 9 12 2 6欠采样与混叠 Aliasing 当采样间隔不够密 即时 F s 的复制品就会部分地重叠 此时就不能准确地恢复出原函数了 因为此时 频率s1以上的能量被折叠返回到s1以下 并被加到频谱上 称为混叠 f x 和内插所得的函数的差别称为混叠误差 当f x 是偶函数时 F s 也是偶函数 混叠的效果是提高了频谱中的能量 奇函数与之相反 非奇非偶函数及谱则因此比实际更趋向于偶函数 10 12 2 7采样举例 函数 频谱 以等间隔 t对f t 采样 f t 的周期是1 f0 过采样 临界采样 欠采样 严重欠采样 对正弦信号的临界采样 11 1 过采样 12 2 临界采样 13 3 欠采样 变成低频了 14 4 严重欠采样 变成直流了 零频 15 5 另一种情况 相邻频域复制区间重叠的奇冲激对在s fN处重叠并抵消 结果内插后的函数为0 它其实相当于在正弦函数的过零点进行了采样 每次采到的都是0 16 12 2 7 1图像数字化中的混叠聚焦可有效保留信号的高频成分 而散焦则相当于信号的高频成分减少 带宽变窄 因而图像变得模糊些 但不再混叠了 结论 空间采样点太稀疏 虽然像素很细小 但只能当粗点用 否则会出现高频混叠 17 18 12 3 1时域中的截取 12 3频谱计算 对离散的f t 样值计算F s N个时域采样点将对应N个频谱上的点 通常频域上的点在s轴上等距分布 假定一个信号f t 用间距为 t的N个采样点来代表 则总的采样区间宽度T N t T为截取窗口的宽度 T外部的信号的采样被忽略了 相当于将截取窗口外的信号置0了 19 12 3 2频域上的截取 离散f t 的频谱是周期的 周期2sm 1 t 只需计算覆盖F s 的一个周期即可 常用的方法是将N个采样点均匀地散布在中心位于原点的F s 的一个周期上 即 当在F s 的一个周期上取N个等间隔的采样点 则N s 1 t 其中 s 1 N t 1 T是频域中的采样间隔 因此计算f t 频谱的最好做法是按 s 1 T等间隔取 即从 sm到sm Sm 1 2 t 20 12 3 3频谱计算 由上可见 一个域中的采样间隔决定了另一个域中的截取窗口宽度 要计算频谱中的高频成分 sm 必须在时域中细密地采样 t 而要频谱中的高分辨率 s 必须在时域中采用大的截取窗口 T 21 采样和截取参数小结 当f t 是复数 有N个实部和N个虚部 变换后产生频谱中的N个实值和N个虚值 当f t 是实数 有N个实部和N个0 虚部 变换后在频谱的右半部产生N 2个偶实值和N 2个奇虚值 由于实函数的F s 是Hermite型的 频谱的左半部是右半部的镜像 22 12 4 1混叠的不可避免性 12 4混叠 根据采样定理 对带宽有限的函数采样时 只要选择合适的采样间距就可完全避免混叠 但是 如果带宽有限的函数被截取了一段有限长度T 这个过程即模型化为将函数与宽度为T的矩形脉冲相乘 等价于将其频谱与无限持续的sinc x 函数在频域卷积 两个函数的卷积结果不可能比其中任意一个窄 因此 经截取的函数的谱在频域内无限延伸 截取破坏了带宽的有限性 注定了数字处理在任何情况下都造成混叠 因而我们只能限定其误差 23 12 4 2混叠误差的上界 因为 t有限 不能无限小 因此F s 被无限展宽 F s 在形式为1 s的包络线内 保证了函数的峰值随着频率升高而下降并趋于0 24 如果忽略函数的正弦波动 仅考虑F s 的包络线 并注意可能混叠的最大频谱强度在频率sm处出现 则可以认为这是混叠的最坏情况 定义混叠误差 F sm F 0 由于F 0 1 F s 的包络为1 2 as 因而混叠上界为 混叠误差的上界与 t成正比 与T无关 因此 当 t 2a脉冲宽度时 混叠误差即可小到所需的程度 25 12 4 3频谱分辨率 F s 具有频率为a的正弦波动 周期为1 a 用M表示在所计算的频谱F s 上每个周期的采样点数 并用它作为频谱分辨率的量度 则 这就是说 如果使采样周期T与脉冲的半宽度a相比足够大 即可在F s 的一个周期中取得足够多的采样点 26 12 5 1计算一个边缘的频谱 12 5截取 用宽度为T的截取窗口对f x 截取 截取会使计算得到的谱与实际的谱不同 需认真选择截取窗口的宽度 27 对g x 进行FT G s 与F s 不一样了 仅在几个点处两者值相等 也就是cos sT 0时 或者 sT i 2时 i为奇数 对应s i 2T 此时G s F s 28 29 12 5 2截取效应 上例i奇数时是正确的 是正常大小的两倍 而偶数时为0 这表明截取在奇数号点和偶数号点之间重新分配了能量 将G i s 即G si 与一个窄的三角形局部平均滤波器 1 4 1 2 1 4 相卷积 可获得期望结果 30 12 6数字处理 以下考虑对连续信号 见下图 或图像进行截取 采样 内插等进行数字处理后的影响 31 12 6 1截取 32 12 6 2采样孔径 在采样点上有一有限宽度的采样孔径 信号在该孔径中被平均 采样孔径是宽度为 的窄矩形脉冲 则截取后的信号再与采样孔径函数卷积 相当于将其谱与sinc s 相乘 如果采样窗口是高斯脉冲 则输出谱将与高斯谱相乘 上述采样孔的作用是降低了信号中的高频能量 频率超过s 1 时能量极性反转 33 12 6 3采样 上述经采样孔径平滑后的截取后的信号再与III t t 相乘 得到采样结果 于是采样后的谱有了周期性 以1 t复制原来的谱 34 12 6 4内插 对采样后的信号插值 以尽可能好地恢复f t 用三角脉冲与采样后的函数卷积来实现插值 由于 sinc st0 2随频率增加而减小 使得除了位于s 0处的主复制品外 其余所有复制品趋向于0 35 用h t 表示对采样后函数进行内插得到的结果函数 36 12 6 5数字处理的影响 数字处理对信号的影响是显然的 那么 究竟有多大 采样孔径与内插函数之间一般都有适当的关系 如采样孔径宽度 与采样间距 t相等 对于线性插值 t0 t 若截取窗口宽 则其频谱窄 接近于一个脉冲 其影响就会减小 如果截取窗口外的原函数值已经为0 截取就不会产生影响了 采样孔径相当于低通滤波 降低的频谱中的高频能量 因而减少了混叠 如果采样孔径的传递函数有负值 会改变高频能量的极性 用sinc x 函数进行内插最理想 其它内插函数不能完全消除其余复制品 且还会减少主复制品的高频能量 数字化参数取决于数字化设备的设计 截取窗口代表图像数字化器的最大视野 采样孔径是扫描点的灵敏度 采样间距可调节 并与采样点直径相联系 对于显示图像 其内插函数就是显示点本身 37 12 7混叠误差的控制 用采样孔径和采样间隔来控制 12 7 1抗混叠滤波器 孔径宽度是采样间距的两倍 使其传递函数的第一个过0点位于fN 1 2 t 则fN以上的频率被大大削减 38 三角孔径宽度为4个样点宽 其传递函数的第一个过0点也位于fN 1 2 t 相对于矩形脉冲的谱 三角脉冲的谱下降得更快 因此可更有效地减少混叠 与矩形脉冲同样的是 它也降低了F s 中低于fN部分的能量 39 12 7 2过采样 用小的采样间隔使折返频率fN远远落在高边带 这样 即使混叠污染了频谱的高频部分 对我们感兴趣的数据也基本上无影响 截取窗口足够大 对信号频谱造成的影响最小 40 12 8线性滤波的数字实现 可以在时 空 域或频域 变换域 来实现 12 8 1卷积滤波 对f t 和h t 采样使其频谱变成周期性的 若两个信号都以同样间距 t进行采样 它们的频谱将具有相同的周期1 t 采样后信号的卷积 使频域中两个频谱相乘得到G s 那么G s 也是频率为 t的周期函数 当对g t 内插时 它的频谱减为位于原点的一个复制品 如果f t 或h t 带宽有限 假定在s 1 2 t以外截止 则g t 的谱也带宽有限 通过内插可精确恢复 但是 截取破坏了频谱的有限性 使混叠不可避免 而数字化卷积不产生除采样 截取和内插产生的影响以外的新影响 41 12 8 2频域滤波 输入信号 输入信号的谱 采样后的信号 采样后信号的谱 相当于频域采样 因此Y s 的反变换y t 是连续的 无限持续的周期为T的函数 其主周期即f t 42 复制频谱的重叠使Y s 和某个H s 相乘可实现频域滤波 这相应于使y t 与h t 进行卷积 由于y t 是周期性的 卷积会在t T 2附近把相邻周期向主周期