直线与椭圆的位置关系经典解答题题.doc

1已知平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；（3）过原点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程。解：（1）设椭圆的方程为由题意可知：， 故 所以椭圆的方程为： （2）设，则有： 又因为： 将代入得到点的轨迹方程： （3）当直线的斜率不存在时， 当斜率存在时，设其方程为：设 由 不妨设，则 设点到直线的距离为，则：= 当时， 当时，上式当且仅当时，等号成立 综上可知，面积的最大值为，此时直线的方程为： 2 已知中心在原点，左焦点为的椭圆C的左顶点为，上顶点为，到直线的距离为.（）求椭圆C的方程；（）若椭圆方程为：（），椭圆方程为：（，且），则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆.已知是椭圆C的倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线交椭圆于两点、，试求弦长的取值范围.解：直线方程为： 1到直线距离为 2分又， 3分解得：， 4分故：椭圆方程为：. 5分(2) 椭圆的倍相似椭圆的方程为： 6分若切线垂直于轴，则其方程为：，易求得 7分若切线不垂直于轴，可设其方程为：将代人椭圆方程，得： （*） 8分记、两点的坐标分别为、将代人椭圆方程，得： 9分此时：， 10分 11分 即 综合,得：弦长的取值范围为.3以椭圆的中心为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”. 已知椭圆的离心率为,且过点(1) 求椭圆及其“伴随”的方程; (2) 过点作“伴随”的切线交椭圆于, 两点, 记为坐标原点)的面积为, 将表示为的函数, 并求的最大值.(1) 椭圆的离心率为, 则, 设椭圆的方程为 2分椭圆过点， ， .4分椭圆的标准方程为， 椭圆的“伴随”方程为. .6分(2) 由题意知，.易知切线的斜率存在,设切线的方程为由得 .8分设, 两点的坐标分别为, , 则, .又由与圆相切, 所以, . 所以 10分 , .(当且仅当时取等号)所以当时， 的最大值为1. .12分4已知椭圆：的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形（）求椭圆的方程；（）过点的直线与椭圆相交于，两点点，记直线的斜 率分别为，当最大时，求直线的方程解（）由已知得（2分）又， 椭圆方程为-4分（）当直线的斜率为0时，则；-6分 当直线的斜率不为0时，设，直线的方程为， 将代入，整理得 则，-8分 又， 所以， = -10分 令，则所以当且仅当，即时，取等号 由得，直线的方程为-12分5 (本小题满分12分)已知椭圆:的离心率为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点（1）求椭圆的标准方程；（2）求的取值范围；（3）在轴上，是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由所以的取值范围是5分（3）设，则又，6分设存在点，则，所以 ， 8分要使得(为常数)，只要，从而，即10分由（1）得，代入（2）解得，从而， 故存在定点，使恒为定值 6 已知中心在坐标原点的椭圆 的一个顶点为,一个焦点为(1)求椭圆 的方程；(2)过点 的直线 交椭圆 于 ,交 轴于,若,且,求证: 为定值解:(1)设椭圆 的方程为,则由题知,故 椭圆 的方程为(2)方法一:设点的坐标分别为,又知点为 ,将点坐标代到椭圆方程得,故 同理,由可得: ,是方程的两个根, 方法二:设点的坐标分别为,又易知点的坐标为显然直线 存在斜率,设直线 的斜率为 ,则直线 的方程是 联立直线 与椭圆 的方程并消去 得 , 又 ,将各点坐标代入得,故由可得7已知为坐标原点,过点的直线与椭圆相交于不同的点,求面积的最大值.解:由题意可设直线的方程为,以及点,则是方程组消去所得方程的两个不等实数根.故有,且,.由题意可知面积.由知,从而可得: .当且仅当(此时的实数满足)时,取得最大值.8设椭圆C:（）的离心率，且过点A(2,0)，O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且，求直线l的方程（1）由题知，解得 椭圆的标准方程为（2）解： 当直线l的斜率不存在时，点A、B共线，不合题意。 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为与椭圆C：联立消去得直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，即， 设,， 因为，所以，所以即整理得，所以，满足.所以直线l的方程为或.9已知椭圆C的中心在坐标原点，F（1，0）为椭圆C的一个焦点，点P（2，y0）为椭圆C上一点，且|PF|=1.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且，求直线l的方程解：（1）由题意得：F（1，0），|PF|=1，椭圆的方程为1.（2） 当直线l的斜率不存在时，不合题意。 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为与椭圆C：1联立消去得设,则 ， 由得直线l的方程为或10 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且经过点（，1）(I)求椭圆的标准方程；()设点M(0，2)，直线：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线，与椭圆相交于A、B两点，过AB的中点N作直线2与y轴交于点P，D为N在直线上的射影，若|AB|2=4|ND|MP|，求直线2的斜率的取值范围11如图，已知分别是椭圆的左、右焦点，过与轴垂直的直线交椭圆于点，且(1) 求椭圆的标准方程(2) 已知点，问是否存在直线与椭圆交于不同的两点，且的垂直平分线恰好过点？若存在，求出直线斜率的取值范围；若不存在，请说明理由 .解：（1） 连接，在中，由椭圆定义可知，又，从而，椭圆的标准方程为（2） 由题意可知，若的垂直平分线恰好过点，则有，当与轴垂直时，不满足；当与轴不垂直时，设的方程为，由，消得 7分 ，式 8分令，的中点为，则， 10分即， 11分化简得， 12分结合式得，即，解之得：，综上