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文档简介

一 微分的定义二 微分的基本公式三 微分的四则运算法则四 微分形式的不变性五 微分在近似计算中的应用 微分及其运算 1 一 微分的定义 当正方形的边长从变到时 相应的面积增量 函数增量分成两部分 一部分是的线性部分 一部分是关于的高阶无穷小 2 当立方体的边长从变到时 相应的体积增量 函数增量分成两部分 一部分是的线性部分一部分是关于的高阶无穷小 3 定义设y f x 在点的某邻域内有定义 属于该邻域 若 其中A与无关 而是关于的高阶无穷小 则称y f x 在可微 而称为y f x 在点处的微分 记为 4 定理3 7y f x 可微的充分必要条件是y f x 可导 且有 由于 即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之比 因此导数也称微商 微分dy的几何意义 就是曲线y f x 在点处的切线的纵坐标的增量 5 二 微分的基本公式 微分的基本公式 6 7 三 微分的四则运算法则 定理3 8设u u x v v x 可微 则 u v可微 且有 证 8 定理3 9设u u x v v x 可微 且 则可微 且有 证 9 例1设 解 10 例2设y xtanx sinx 求dy 解 注意 当然也可以直接用公式求微分 11 例3设 解 12 四 微分形式的不变性 设y f u u g x 都可微 则复合函数y f g x 也可微 此时有 可见 若y f u 可微 不论u是自变量还是中间变量 总有 这就是微分形式的不变性 利用微分形式的不变性 可以计算复合函数的微分 13 例4设 解 如果不引入中间变量u 则可 14 例5设 解 当然 也可以直接用公式来求微分 即求出后再乘以dx得到dy 15 五 微分在近似计算中的应用 设y f x 在可导 当自变量从变到x 即取得增量 则有 当x很接近时 即很小时 就有近似公式 即
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