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第三次数学危机数学与信息科学学院 数学类摘 要：本文分析了第三次数学危机产生的历史根源、思想背景，指出它在整个数学史上所占的重要地位。关键词：数学危机；集合论；悖论；The Third Mathematical CrisisAbstract: This article analyzes the historical root which the third mathematical crisis produces, and the thought background, points out its important status in the entire history of mathematics.Key words: Mathematical crisis; Set theory; Paradox;前言从牙牙学语起，我们就同数学打交道了。有的人喜欢数学，有的人却视数学为畏途。因为通常采用的定义、公理、定理、证明的方法，一串串的符号、一排排的公式，实在不让人感到亲切；而一个人只有知道一个概念，一套理论，一种思想方法的背景和来龙去脉时，他才能真正深刻地掌握它。学习数学文化正是完成这一任务的途径。一流的数学家无一没有数学文化方面的修养，许多人就是受了大家著作的启发获得自己的重要思想的。数学是精密的严格的、准确的、靠得住的。这是大家对数学的普遍看法。数学好像是我们最后的靠山。数学不能出现危机，这似乎是理所当然的事。不过，不可思议的事情还是发生了，危机产生了，虽然那似乎还只是大洋彼岸发生的一场地震。原来，日常用的数学是有限的，可是研究有限的问题时，不可避免要涉及无穷。当我们要用有限的人力去对付只有上帝才能驾驭的无穷时，自然而然出现了矛盾，产生了危机。1预备知识为了见清楚第三次数学危机的来龙去脉，我们首先要说明说明什么是数学危机。一般来讲危机是一种激化的、非解决不可矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。数学总有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生了数学危机。矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这反映出矛盾斗争是食物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是就是矛盾斗争的历史。斗争的结果就是数学领域的发展。对于第三次数学危机，有人认为只是数学基础的危机，与数学无关。这种看法是片面的。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就涉及无穷集合，而现代数学脱离无穷集合可以说寸步难行。一种极端的观点是只考虑有限集合或至多可数集合，不过这样一来绝大部分数学将不复存在。即便这些有限数学的内容，也有许多问题要涉及无穷方法。比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。2第三次数学危机2.1 第三次数学危机产生的背景19世纪末，由于严格的微积分理论的建立，第二次数学危机已基本解决。数学表达式的精确化和理论系统的公理化思想，深深渗透到人类知识的各个领域。严格的微积分理论是以实数理论为基础的，而严格的实数理论又是以集合论为基础，集合论是产生第三次数学危机的直接来源。集合论似乎给数学家带来了一劳永逸的摆脱基础危机的希望，尽管集合论的相容性尚未证明，但许多人认为只是时间早晚的问题。集合论成功地用到了各数学分支，成了数学的基础，数学家们为自己营造的以康托尔集合论为基础的数学大厦即将竣工而狂喜，认为数学理论的严密性已经完成，特别是基础理论已不成问题。1900年，在巴黎召开的第二届国际数学家大会上，法国大数学家庞加莱(J.H.Poincare)兴奋地宣布：“我们最终达到了绝对的严密吗？在数学前进的每一阶段，我们的前人都坚信他们达到了这一点。如果我们被蒙蔽了，我们是不是也像他们一样被蒙蔽了？如果我们不厌其烦地严格的话，就会发现只有三段论或归结为纯数的直觉是不可能其欺骗我们的。今天我们可以宣称完全的严格已经达到了。正当数学家们陶醉于胜利之中，为康托尔(G.F.P.Cantor)所创立的饱经磨难的集合论已为大家所接受，并深入到数学的各个分支而欢欣鼓舞时，暴风雨却正在酝酿，云涛翻滚，山雨欲来，数学史上的一场新的危机正在降临。仅仅过了两年，数学大厦受到了一次强烈的暴风雨的冲击，人们在一次发现，大厦的基础出现了更大的裂痕，甚至有人认为，整个数学大厦的基石有崩塌的危险！2.2 罗素悖论英国的数学家和哲学家罗素以一个简单明了的集合论悖论打破了人们上述的希望，引起了关于数学基础的新争论，从而引发了数学史是的第三次危机。1902年6月罗素写信给德国数学家弗雷格，告诉他自己发现这样一个悖论，意思是这样的：集合可以按一下的方法分为两类。一类集合是它本身不是自己的元素，如自然数绝不是一个自然数；另一类集合是它本身是直接的元素，如一切集合组成的集合，仍是一个集合，因此它本身也属于这个集合。我们把所有属于第一类的集合归在一起，又可构成一个集合，不妨记作A。现在问，集合A属于上面的哪一类如果A属于第一类，则A本身就是自己的元素，那么它应当属于第二类；如果A属于第二类，那么A当然不能属于第一类。也就是说，A本身不是自己的元素，而这样根据第一类集合的定义，A又应该属于第一类。因为A是康托尔意义下的集合，应当二者必居其一，于是这个问题的回答被弄得无所适从了。这一悖论以其简单明了的方式，揭开了当时作为数学基础的康托尔集合本身的矛盾重重的盖子，震惊了整个数学界。当弗雷格(E.L.G.Frege)刚要出版算术的基本法则第二卷时，收到罗素的信后，他只得把他为难的心情写在第二卷的末尾：“对一位科学家来说，最难过的事情莫过于在他的工作即将结束时，其基础崩溃了，罗素先生的一封信正好把我置身于这个境地。”大数学家庞加莱后来也不得不改口说：“我们设置栅栏，把羊群围住，免受狼的侵袭，但是很可能在围栅栏时就已经有一条狼被围在其中了。”这一悖论使号称“天衣无缝”、“绝对正确”的数学陷入了自相矛盾的危机。为了使这个悖论更加通俗易懂，罗素本人在1919年将其改为“塞维尔村的理发师悖论”，即一个乡村理发师，自夸无人可比，他宣称自己当然不给自己刮脸的人刮脸。有一天他发生了疑问，他是不是应该给自己刮脸？要是他给自己刮脸，那么按照他的声明的前一半，他就不应该给自己刮脸；但是要是他自己不给自己刮脸的话，则按照他自夸的那样，又必须给自己刮脸。于是这个理发师陷入了逻辑矛盾中。3第三次数学危机的消除危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。1908年策梅罗(Zemelo)采用把集合论公理化的方法来消除悖论，即集合论建立新的原则，这些原则一方面必须足够狭窄，以保证排除矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。后来经过其他数学家的改进，演变为ZF或ZFS系统。冯诺依曼等开辟集合论的另一公理化的NBG系统也克服了悖论，但还仍存在一些问题。以后加上哥德尔(K.Godel)、科恩（Cohen）等的努力，到1983年建立了公理化集合论，即要求集合必须满足ZFG公理系统中的十条公理限制，成功地排除了集合论中的悖论。3.1 罗素的类型论1901年6月罗素发现了悖论，他在1903年出版的数学的原理中，有一段可能是在1901年写的，他写道“作为多的类与类的项具有不同的类型”；“整个秘密的关键时逻辑类型的不同。”对这个问题的解决，他只写了不到三十行。他还考查了其他的解决办法，觉得它们都不令人满意，于是的出结论：“没有适当的哲学涉及到上述的矛盾，这些矛盾直接从常识中得出，也只能通过抛弃掉某些常识的假定而解决”。在附录中他尝试性地提出了类型论。大约在1905年12约月，罗素抛弃了类型论。为了克服由悖论引起的困难，他提出了三种理论：1.曲折理论，命题函数非常简单时才决定类，而当它们复杂时就不能决定类。2.限制大小的理论，不存在象所有实体的类的东西。3.非类理论，类和关系完全都禁用。1906年2月5日，罗素在这篇文章末尾家了一个注：“通过更进一步的研究，我一点也不怀疑非类型理论能够解决本文第一节所陈述的所有困难”。这就是说，能够解决悖论。 罗素后来在他的著作中承认对于大部分经典数学来说，非类理论可能证明是不适当的。他对刚刚抛弃的类型论，又重新燃起了希望，对类型论进行了进一步的细致研究，消除了悖论。但其缺点很多，非常繁琐，特别时可化归公理的引进，具有很大的任意性，因此受到很多批评。不过它的历史作用还是很大的。也是借助它，罗素才实现他的逻辑主义纲领，完成前人没有完成的计划。3.2策梅罗的公理集合论1908年，策梅罗采用把集合论公理化的方法来消除悖论。策梅罗实行的计划，是把集合论变成一个完全抽象的公理化理论。在这样一个公理化理论中，集合这个概念一直不加定义，而它的性质就由公理反映出来。他不说什么是集合，而只讲从数学上怎样来处理它们，他引进了七条公理：1.决定性公理（外延公理）：假如一个集合M的元素同时是一个集合N的元素，反过来，集合N的每一个元素也是M的元素，则M=N。简单来讲，每一个集合由它的元素所决定。2.初等集合公理（空集公理、单元素公理、对集公理）：存在一个集合“空集”，完全不包括任何元素。如果a是任何一个东西，那么就存在一个集合，它的元素包含a且只包含a。假如a和b是两个东西，且存在一个集合，它只包含a和b为它的元素，而不包含不同于a和b的其他任何东西。3.分离公理:假如命题函数（谓词） E(x)对于一个集合M的所有元素都有定义，则M有一个子集，M包含且仅仅包含M中那些使E(x)为真的元素。4.幂集公理：每一个集合都对应，另外一个集合（T的幂集），它的元素包含且仅仅包含T中的所有子集。5.并集公理：对于每一个集合T都对应一个集合，它包含且仅仅包含S的元素和T的元素为元素。6.选择公理：如果T是一个集合，它的所有元素都是不同于空集的集合，而且其中任何两个都没有共同的元素。则并集至少包含一个子集S，它和T的每一个元素有一个且仅有一个公共元素。7.无穷公理：至少存在一个集合W有如下性质。a) b) 如，则。实际上策梅罗的公理系统Z（公理1至7）把集合限制的使之不要太大，从而回避了比如说所有“对象”，所有序数等等，从而消除罗素悖论产生的条件。罗素悖论使数学家围绕数学基础进行了一常大的辩论，三大数学哲学学派应运而生：一是以罗素为代表的逻辑主义学派。二是以布劳威尔（D.Brouwer）为代表的直觉主义学派。三是以希尔伯特为代表的形式主义。 结束语：数学中的矛盾既然是固有的，它的激烈冲突危机就不可避免。危机的解决给数学带来了许多新认识、新内容，有时也带来了革命性的变化。把20世纪的数学同以前全部数学相比，内容要丰富得多，认识要深入得多。在集合论的基础上，诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论，数理逻辑也兴旺发达成为数学有机体的一部分。古代的代数几何、微分几何、复分析现在已经推广到高维。代数数论的面貌也多次改变，变得越来越优美、完整。一系列经典问题完满地得到解决，同时