初中数学-释疑类课程-垂径定理求弦长（定稿）.doc

释疑类课程:垂径定理求弦长微课说明 从2012年宁波卷第18题说起一、【背景说明】 垂径定理是圆的一个重要知识,是许多以圆为背景的平面几何问题的主要解题依据.为进一步整合知识结构,有必要对垂径定理在试题中的呈现形式做提炼,希望能提高学生快速寻找解题思路的能力水平. 二、【内容分析】本微课选用例题是2012年宁波市数学中考试卷第18题，该题以圆为背景,在动点问题的基础上求线段长度的最小值,考查垂径定理、圆周角定理等知识,本微课通过对该题目的解析,重点探究垂径定理在试题中的呈现及应用方式.三、【适用对象】 浙教版初中数学九年级第三章圆复习课.四、【构思说明】本微课以指导学生解题为主,从审题到定性判断EF的最小值,进而探索如何求出此时EF的长度,即最小值.在这个过程中,重点突出以垂径定理为基础的半径、半弦、弦心距所构造的直角三角形中勾股定理的应用.五、【过程实录】图11.知识点回顾垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧.数学表达为:如图1,直径DC垂直于弦AB,则AE=EB,劣弧AD等于劣弧BD,优弧ACD=优弧BCD.我们通常称其为知二推三,即在下列5个元素中只要具备其中任意两个,就可以推出其他三个:平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧;平分弦（不是直径);垂直于弦;经过圆心.涉及到线段的长度问题时通常采用勾股定理计算,由半径AO、半弦AE、弦心距OE构成直角三角形,满足.垂径定理是圆的重要性质之一,它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据,也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法.2.展示题目,分析试题题目:(2012宁波)图3如图3,ABC中,BAC=60,ABC=45,AB=2,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为分析:本题是2012年宁波市中考试题第12题,是填空题的小压轴题,具有一定难度.它是以圆为背景,在动点问题的基础上求线段长度的最值,主要考查的是垂径定理、圆周角定理、解直角三角形等知识.图4定性判断:线段EF是圆周角BAC所对的弦,圆周角为定值60,要使所对的弦最短,则圆最小,即圆的直径AD最短.化动为静:由垂线段的性质可知,当AD为ABC的边BC上的高时,直径AD最短,此时线段EF最短.还原模块:连接OE,OF,过O点作OHEF,垂足为H,在RtADB中,根据等腰直角三角形三边的比值求直径AD,由圆周角定理可知EOH=EOF=BAC=60,在RtEOH中,解直角三角形求EH,由垂径定理可知EF=2EH3.解决试题解:如图4,连接OE,OF,过O点作OHEF,垂足为H. (还原模块:半径、半弦、弦心距构成直角三角形)在RtADB中,ABC=45,AB=2,AD=BD=2,即此时圆的直径为2,（暗示条件:45角构成等腰直角三角形)由圆周角定理可知EOH=EOF=BAC=60,在RtEOH中,EH=OEsinEOH=1=,由垂径定理可知EF=2EH=.故答案为: 另解:如图5,构造含直径的直角三角形求解,同学们可以自行尝试求解.求弦长的两种基本思路:（1)由垂径定理出发的半径、半弦、弦心距构成的直角三角形;(2)含直径和弦的直角三角形.4.解题反思本题考查了垂径定理,圆周角定理,解直角三角形的综合运用.关键是根据运动变化,找出满足条件的最小圆,即定性的判断出点D在何处时线段EF取得最小值,此时就把动点问题静态化,最后再解直角三角形即可求解.事实上我们可以借助题中的一些隐性条件和残缺模块快速寻求解题思路.比如条件就是一个隐性条件,通常情况下,题目中给出45角时,解题过程中往往会用到等腰直角三角形的性质,此时需要在图形中寻找或构造等腰直角三角形,本题中存在的等腰直角三角形为等腰RtABD.又如附1中2014年江西中考第12题;如果把以垂径定理为基础的半径、半弦、弦心距构成的直角三角形称为一个基本模块的话,本题中线段EF就是该模块的残缺形式,只有把模块补充完整,才能顺利求出线段EF的长度.如附2中2014年绍兴中考试题.附1:隐性条件习题（2014年江西第12题)如图，ABC内接于O，AO=2，则BAC的度数_60.分析:本题中是特殊数值,观察图形特点,可构造边长比为1:1:的等腰三角形求解. 附2:残缺模块练习(2014年绍兴)O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点)，已知EF=CD=8，则O的半径为5分析:题中线段EF是圆O的弦，已知弦长求半径，必然要考虑