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材 料 力 学 讲 义第31讲 教学方案 能量法（） 基本内容1. 图乘法。 教学目的1. 掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 。 2. 掌握图乘法的基本原理与推导过程。 3. 掌握图乘法的应用条件。4. 能够熟练地应用图乘法计算指定截面的位移。5 了解并掌握图乘法的计算与应用技巧 。重点、难点1. 重点掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 。 2. 重点掌握图乘法的基本原理与应用条件。 3. 要求熟练掌握图乘法的计算方法与计算技巧。4. 难点是如何正确理解虚功原理。5 在解决问题时，有时图乘法非常简单，有时却很麻烦。教学安排本次教学计划学时：2学时。课堂讨论：1. 单位载荷法与莫尔积分之间的关系。2. 虚位移与虚功的基本概念。 3. 如何理解莫尔积分的另一种推导方法。4莫尔积分与图乘法的应用条件有什么区别？12- 单位载荷法莫尔积分单位载荷法：用于求结构上某一点某方向上位移的方法。如要求图11-18刚架A点a-a方向的位移，可将该系统（图11-18a）真实位移作为虚位移，而将单位力（广义力）作用于同一结构上A点a-a方向的结构作为一个平衡力系（图11-18b）,则应用虚功原理有： （11-23）其中，是单位力系统的内力，而d(l)，d、d是原系统的变形，现在被看作是虚变形；是原系统上A点沿a-a方向的真实位移。对于以拉压杆件，则只保留（11-23）式的第一项： （11-24）若杆的内力=常数，则上式改为：对于有n根杆组成的桁架，则有： （11-25）对于杆以弯曲为主，则可忽略轴力与剪力的影响，有： （11-26）仿照上述推导，如要求受扭杆某一截面的扭转角，则以单位扭矩作用于该截面，并引起扭矩，以原结构引起微段两端截面相对扭转角为虚位移，则： （11-27）以上诸式中。如求出的为正，则表示原结构位移与所加单位力方向一致。若结构材料是线弹性的，则有：则式（11-25）、（11-26）、（11-27）分别化为 （11-28） （11-29） （11-30）这些式子统称为莫尔定理,式中积分称为莫尔积分，显然只适用于线弹性结构。当需要求两点的相对位移时，如图11-19a所示截面A与B的相对位移A+B，则只要在A，B两点的联线方向上加一对方向相反的单位力（图11-19b），然后用单位载荷法计算，即可求得相对位移，因为这时的，即是A，B两点的相对位移。同理，如需要求两截面相对转角，只要在两截面上加方向相反的一对单位力偶矩即可。莫尔积分还可用另一方法导出：如欲求梁上C点在载荷P1，P2，作用下的位移（图11-20a），可在C点假想先只有单位力P0=1作用（图11-20b），由应变能公式（11-12）（对线弹性材料）得P0作用的应变能： （11-31）此后将P1，P2，作用于梁（图11-20c），由于P1，P2，作用的变形能为。这时，梁的总变形能为：其中是因为已作用在梁上的单位力在P1，P2，作用后引起的位移上所做的功。如果将P1，P2，与P0=1共同作用（图11-20c），则梁内弯矩为，此时应变能为：此两最后状态的应变能相等，故有：比较以上诸式，不难得到： （11-32）此即（11-28）。例题11-8 图11-21简单桁架，两杆截面积为A，材料应力应变关系为：。试求结点B的垂直位移V。解：由结点B的平衡条件可解得BD杆的应力 、应变 及伸长 分别为：,同样可求得BE杆的应力，应变 及伸长 分别为：,设B点作用有单位力，则与单位力相应的BD、BE内的轴力分别为：，由单位载荷法莫尔积分，得B点的垂直位移为：若材料是线弹性的，弹性模量为E，则有：,而单位载荷引起的内力不变，故得：。12-4 图形互乘法莫尔积分（11-28）中的EI（或GI）为常量，可提到积分号外，只需计算积分：,如有一个是x的线性函数，即可采用图乘法简化积分计算。图11-22表示直杆AB的图与图，其中可用直线式表达：则莫尔积分可写成：右边积分中，M(x)dx为微面积，整个积分为M(x)所围面积对y轴的静矩，若xc为M(x)面积的形心到y轴的距离，则：于是： （11-33）其中是图中与图的形心C所对应的纵坐标，故（11-32）可写成 （11-34）这就是计算莫尔积分的图乘法。常用的几种图形的面积及形心位置计算公式见图11-23。使用（11-34）时，为了计算方便，可将弯矩分解成几部分，对每一部分使用如图11-23的标准图形叠加求和。有时M(x)为连续光滑曲线，而图为折线，则应以折线的转折点为界，将积分分成几段，逐段使用图乘法，然后求和。例题11-9 均布载荷作用下简支梁如图11-24，EI为已知常量，试求跨度中点C的挠度fc。解：简支梁受均布载荷作用弯矩图为二次抛物线（图b），求中点