反三角函数与简单三角方程

1、反三角函数：-可编辑修改 -概念： 把正弦函数ysinx ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22yarcsin x .ys i nx(xr，) 不存在反函数.含义 ： arcsin x表示一个角；角反余弦、反正切函数同理，性质如下表.,； sinx .22名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数yarcsin x1,1 增,22奇函数增函数反余弦函数yarccosx1,1 减0,arccos(x)非奇非偶arccosx减函数反正切函数yarctanxr增,22奇函数增函数反余切函数yarc cot xr减0,arc cot(x)非奇非偶arc cot x减函数其中：（ 1） 符号arcsinx 可以理解为 2 ， 2 上的一个角 (弧度)，也可以理解为区间 2 ， 2 上的一个实数；同样符号arccosx 可以理解为 0，上的一个角 (弧度 )，也可以理解为区间0，上的一个实数；（ 2） y arcsinx 等价于 sinyx, y 2 ， 2 , y arccosx 等价于 cosy x, x 0, , 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（ 3）恒等式sin(arcsinx)x, x 1, 1 , cos(arccosx) x, x 1, 1, arcsin(sinx)x, x 2 ， 2 , arccos(cosx) x, x 0, 的运用的条件；（ 4） 恒等式 arcsinx arccosx 2 , arctanx arccotx 2 的应用。2、最简单的三角方程方程方程的解集a1sin xax | x2 karcsin a, kza1x | xk1 k arcsin a, kzcos xaa1x | x2 karccos a, kztan xax| xkarctana, kzcot xax | xkarc cot a, kza1x | x2 karccos a, kz其中：（ 1）含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（ 2）解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；（ 3）要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；如：若 sinsin，则 sink(1)k；若 coscos，则2 k；若 tantan，则 ak；若 cotcot，则 ak；（ 4）会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。【例题精讲】例 1.函数 ysin x， x3，的反函数为（）22a. ya r c s ixn，x1，1b. yarcsinx，x1，1c. y分析与解：a r c s ixn，xx21，1d. y32arcsinx，x1，1x，需把角22x转化至主值区间。x，又 sin(22x)sin xy由反正弦函数定义，得xarcsin yxa r c s iyn， 又由已知得1y1所求反函数为 yarcsin x， x1，1例 4.函数yarccos(cos x)， x，的图象为（）2222-2-oo222-2（ a ）（ b ）11-2-oo222-1（ c）（ d）分析与解：解析式可化简为yarccos(cos x)x， x0， 2x， x， 0 2x， x0，即y2显然其图象应为（a）x， x， 0 22例 5.函数yarccos(sin x)， x(，) 的值域为（）33a.， 5 66b.0， 56c.， 2d.， 23363分析与解：欲求函数值域，需先求usin x， x(， 233)的值域。23x，332sin x31，即u12而yarccosu在1，1 上为减函数3a r c c o s ()a r c c ou s a r c c o1 s 2即 0y5，故选（ b）6例 6.使 arcsin xarccosx 成立的 x 的取值范围是()2a. 0， 2b.2 ，122c.1， 2d.1， 0分析与解：该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求x 的取值范围，故需把x 从反三角函数式中分离出来，为此只需对arcsinx， arccosx 同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。若x0，则arcsin x， 0 ，而2arccos x，2此时 arcsin xarccos x不成立，故 x0若x0， 则a r c s ixn0， a r c c ox s0 ， 22而ysin x在区间0，上为增函数2又 a r c s ixna r c c oxss i n ( a r cxs)i n s i n ( a r c xc)o s即x1x 2 ，解不等式，得| x|22又 0x12x1，故选（ b）2例 7.若02，则 arcsin cos(2)arccos sin()（）a. b.22c. 22d. 22分析与解： 这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。a r c s i cno s ()a r c s i ns( i n )a r c s i n ( s)i n 2a r c c ossi n ()a r c c o ss( i n )a r c c o s( s)i na r c c ocso s ()(), 222原式()( 2)，故选（ a） 2例 8. 求值： (1) sin2arcsin35(2) tan1 arccos123分析： arcsin(3)表示，上的角，若设522arcsin(3 )，则易得5sin3，原题即是求5sin 2的值，这就转化为早已熟悉的三角求值问题，解决此类问 题 的 关 键是能认清三角式的含义及运算次序，利用换元思想转化为三角求值。解： （ 1）设arcsin(3 )5，则 sin35，c o s 221s i n2 45s i n22 s i n cos2(34243即 s i n2 a r c s i n ()51)()552524251（ 2）设arccos3，则 cos30 ，si n111c o 2s223tg1cos32即tg1 arccos122sin2223232例 9.知函数f ( x)arccos(x2x)（ 1）求函数的定义域、值域和单调区间；（ 2）解不等式：f (x)f (2 x1)2151521211解：（ 1）由1xx1 得2x又 x2x( x) 2,144 f (x)的定义域为15 ,125 ，值域为20,arccos 1 4又 x152, 1 时，2g( x)x2x 单调递减，yarccosx 单调递减，从而f ( x) 递增 f (x)的单调递增区间是152, 12，同理f ( x) 的单调递减区间是 1 , 15 22（ 2）f (x)f ( 2 x12)即arccos(x212x)arccos( 2 x) 2( 2x1 )2即 arccos(x 2x)arccos(4 x21 )41x 2214 xx111解不等式组得41x1不等式的解集为26(1 , 1 )26x2x4 x 214例 1.写出下列三角方程的解集简单的三角方程(1) sin( x)2 ;(2) 2cos3x10 ;(3) cotx382解集 x|x=(k+arctg3)2， k z例 2.求方程 tan(3x)3 在 0,2上的解集 .4说明如何求在指定区间上的解集？(1)先求出通解， (2)让 k 取适当的整数， 一一求出在指定区间上的特解，(3) 写指定区间上的解例 3.解方程2sin 2 x3 cos x10解：方程化为22cosx3 cos x30说明可化为关于某一三角函数的二次方程，然后按二次方程解例 4. 解方程 3sin x2cos x0 2sin 2 x3sinx cos x2cos 2 x0除以 cos2x 化为 2tg2x-3tgx-2=0 说明关于 sinx，cosx 的齐次方程的解法：方程两边都除cosnx(n=1 ， 2， 3，)( cosx=0 不是方程的解 )， 转化为关于tgx 的方程来解例 5.解方程： (1)3 sin 2 xcos 2x1(2) 5sin3 x12cos3x6.5思考： 引入辅助角，化为最简单的三角方程2x-30 =k180 +(-1) k30 x=k90 +(-1)k15 +15 (k z) 所以解集是x|x=k90 +(-1)k15 +15 ， k z于是 x=k60 +(-1) k10 +22 38， (k z)原方程的解集为x|x=k60 (-1)k10+22 38， k z最简单的三角方程例 6.解方程2sin 2 x3cos x0 解原方程可化为2 ( 1c o2 xs)3 xc o s ，0即2cos 2 x3cos x20 解这个关于cos x 的二次方程，得1cosx由 cosx2 ， cos x22 ，得解集为；1由 cos x，得解集为2x x2k2, kz3所以原方程的解集为x x2k2, kz3说明 方程中的sin 2x 可化为1cos2 x ，这样原方程便可看成以cos x 为未知数的一元二次方程，当0时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解【拓展提高】例 1.若方程 cos2x2sin xm1 0 存在实数解，求m 的取值范围解一由原方程，得22 s i nx22 sxi nmm， 0即sinxsin x02解这个以 sin x 为未知数的一元二次方程，因为1sin x1要使方程有解，只需14 (m )02解得1211m02m4 所以 m 的取值范围为1 , 42说明 有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以sin x 为未知数的一元二次方程的0 ，而且必须考虑sin x 的值在1,1 内解二由原方程得2 s i 2nx2 s xi nm， 0得 m2sin 2 x2sin x2(sin x1 )21因为1sin x1 ，所以1222m4 所以 m 的取值范围为1 , 42说明 当方程 sin xt (t为常数）有解时，必须满足t1 ，1 21则原题就转化为求m2(t), t221,1的最大值、最小值问题例 2.求方程 sin 2 xcos(x) 的解集解一由原方程得2sin xcosxcosx，得cosx0 ， sinx1 2由 cosx0 ，得解集为x xk, kz；2由 sinx1 ，得解集为2x xk(1), kzk6所以原方程的解集为x xk或xk2(1)k, kz6解二由原方程得sin 2x cosx ，即 sin 2 xsin( 3x)233得 2 x2kx 或 2 x2k 2(x) ，2即 x2k3或 x 22k， kz 36所以原方程的解集为x x2k3或x2k, kz236解三由原方程得sin 2x cosx ，即 cos(22 x)cos x得 2 x22kx 或 2 x22k2 kx ，即 x2k或2x， kz 36所以原方程的解集为x x2k或x2k, kz236说明 由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过验证这些解集是相等的集合对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解（ 1） sinsin，则2k或2k, kz ；（ 2） coscos，则2k或2k, kz ；（ 3） tantan，则k, kz 【巩固练习】反三角函数31. arctan(tan) 的值是()53223a.b.c.d.55552. 下列关系式中正确的是()55a. arc cos cos44b. sinarcsin33c. arccoscoscosarccosd. arctan(2)arc cot(1 )4423. 函数f ( x)arcsin(tanx) 的定义域是()a.,b.k, kkz4444c.k,( k1)4kzd.2k4, 2kkz444. 在1, 32上和函数yx 相同的函数是()a. yarccos(cos x)b. yarcsin(sin x)c. ysin(arcsin x)d. ycos(arccosx)5. 函数 yarctan x2的反函数是.6. 求 ysin x 在, 3上的反函数 .227. 比较arccos5与 arc 4cot(1 ) 的大小 .251arccosarc cot()428. 研究函数yarccosxx2的定义域、值域及单调性.459. 计算 : cos arccosarccos51310. 求下列函数的定义域和值域：(1) yarccos1;(2) y arcsin( x2 x);(3) yarccot(2x 1),x解： (1) y arccos1, 0 1, 0 arccot(2x 1) 11.求函数 y(arccosx)2 3arccosx 的最值及相应的x 的值。3, x r, y (0,43).4解：函数y (arccosx)2 3arccosx, x 1, 1, arccosx 0, 设 arccosx t, 0 t, y t2 3t(t 3 )2 9 ,24 当 t3 时,即 xcos 3 时, 函数取得最小值9 ，224当 t时,即 x 1 时，函数取得最大值 2 3.简单的三角方程1. 解下列方程 .(1) tan2 x1(2) sin5 xsin3 x(2)5x=2k +3x 或 5x=2k +-3xxk或 x2 k1kz82. 方程 sin2x sinx 在区间 (0, 2)内的解的个数是3 个.解：作出函数y sin2x 和 y sinx 的图象，由图象知，它们的交点有3 个。yo|d2d|x3.(1) 方程 tan3x tgx 的