主成分分析计算方法和步骤

主成分分析计算方法和步骤：在对某一事物或现象进行实证研究时,为了充分反映被研究对象个体之间的差异, 研究者往往要考虑增加测量指标 ,这样就会增加研究问题的负载程度。但由于各指标都是对同一问题的反映, 会造成信息的重叠,引起变量之间的共线性, 因此, 在多指标的数据分析中 ,如何压缩指标个数、压缩后的指标能否充分反映个体之间的差异 ,成为研究者关心的问题。而主成分分析法可以很好地解决这一问题。主成分分析的应用目 的可以简单地归结为 : 数据的压缩、数据的解释。它常被用来寻 找和判断某种事物或现象的综合指标 ,并 且对综合指标所包含的信息给予适当的解释 , 从而更加深刻地揭示事物的内在规律。主成分分析的基本步骤分为: 对原始指标进行标准化,以消除变量在数量极或量 纲上的影响 ;根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵r;求出r矩阵的特征根和特征向量 ; 确定主成分 ,结合专业知识对各主成分所蕴含的信 息给予适当的解释;合成主成分 ,得到综合评价值。结合数据进行分析本题分析的是全国各个省市高校绩效评价，利用全国 2014 年的相关统计数据 (见附录)，从相关的指标数据我们无法直接评价我国各省市的高等教育绩效，而通过表 5-6 的相关系数矩阵，可以看到许多的变量之间的相关性很高。如：招生人数与教职工人数之间具有较强的相关性，教育投入经费和招生人数也具有较强的相关性，教工人数与本科院校数之间的相关系数最高，到达了0.963 ，而各组成成分之间的相关性都很高，这也充分说明了主成分分析的必要性。表 5-6相关系数矩阵本科院校数招生人数教育经费投入相关性师生比0.2790.3290.252重点高校数0.3450.2040.310教工人数0.9630.9540.896本科院校数1.0000.9380.881招生人数0.9381.0000.893教育经费投0.8810.8931.000入师生比重点高校数教工人数相关性师生比1.000-0.2180.208重点高校数-0.2181.0000.433教工人数0.2080.4331.000本科院校数0.2790.3450.963招生人数0.3290.2040.954教育经费投0.2520.3100.896入（元）表 5-7 给出的是各主成分的方差贡献率和累计贡献率，我们选取主成分的标准有 两个：第一，特征根大于1，因为，如果特征根小于1，说明该主成分的解释力 度太弱， 还比不上直接引入一个原始变量的平均解释力度大；第二， 方差贡献率大于 85% ，如果这两个标准不能同时符合要求,则往往是因为选择的指标不合理 或者样本容量太小 ,应继续调整。 表 5-7 还显示， 只有前 2 个特征根大于 1，因此spss 只提取了前两个主成分，而这两个主成分的方差贡献率达到了87.081% ， 因此选取前两个主成分已经能够很好地描述我国高等教育地区现状。元件合计方差的贡献率 %累加贡献率 %合计方差的贡献率 %累加贡献率%13.98366.39066.3903.98366.39066.39021.24120.69187.0811.24120.69187.08130.5719.50896.589.5719.50896.58940.1402.33598.925.1402.33598.92550.0520.86999.794.0520.86999.79460.0120.206100.000.0120.206100.000表5-8 为输出的主成分系数矩阵,可以说明各主成分在各变量上的载荷。由表5-8可以看出 ,标准化后的第一主成分 (简称 f1 )对所有变量都有载荷 ,且载荷绝对值几乎都在 0.7以上, 因此可以说第一主成分是对人口结构的度量,代表了一个地区人口结构状况 ,可以称之为“综合因子”。在综合因子中,平均每户人口，农业与非农业人口比例， 人口的自然增长率比重即人口自然增长各指标具有较强的作用,人与经济等其他指标所起的作用次之,男女比例也起一定作用。第二主成分(简称f2 )对重点高校数和教工人数具有负载荷,其他变量具有正载荷 ,并且除师生比和重点高校数载荷绝对值均小于0.2, 有的甚至接近于0.1。因此 ,第二个主成分只是汇集了第一主成分遗漏的部分信息,我们称之为“辅助 因子”。表5-8 主成分矩阵f1f2师生比0.3170.799重点高校数0.396-0.759教工人数0.984-0.095本科院校数0.9730.005招生人数0.9640.131教育经费投0.9390.011入重点高校数.099-.612教工人数.247-.077本科院校数.244.004招生人数.242.106教育经费投.236.009入根据表 5-9 可以得到各主成分的表达式f1 =0.079 x10.099 x20.247 x30.244x40.242 x50.236 x6f20.643x10.612 x20.077 x30.004 x40.106x50.009x6把变量分别代入以上表达式，可以得出f1 和f2 两个主成分得分，但单独一个主成分不能很好地评价十个地区人口结构的情况，因此需要按照各主成分对应的方差贡献率为权数计算综合统计f，（ f0.6639f10.20691f2）0.87081主成分分析法的优点：1、 可消除评价指标之间的相关影响因为主成分分析在对原指标变量进行变 换后形成了彼此相互独立的主成分，而且实践证明指标之间相关程度越高，主成分分析效果越好。2、 可减少指标选择的工作量对于其它评价方法，由于难以消除评价指标间的相关影响，所以选择指标时要花费不少精力，而主成分分析由于可以消除这种相关影响，所以在指标选择上相对容易些。3、 当评级指标较多时还可以在保留绝大部分信息的情况下用少数几个综合指标代替原指标进行分析主成分分析中各主成分是按方差大小依次排列顺序的，在分析问题时， 可以舍弃一部分主成分， 只取前后方差较大的几个主成分来代表原变量，从而减少了计