切比雪夫滤波器设计

第十七讲 3 切比雪夫滤波器的设计方法4 模拟滤波器的频率变换 模拟高通 带通 带阻滤波器的设计 3 Chebyshev低通滤波器的设计方法 Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点Chebyshev低通滤波器的三个参量Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布Chebyshev低通滤波器的设计步骤 提出的背景巴特沃斯滤波器的频率特性曲线 无论在通带和阻带都是频率的单调函数 因此 当通带边界处满足指标要求时 通带内肯定会有余量 因此 更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内 或者均匀分布在整个阻带内 或者同时分布在两者之内 这样 就可用阶数较低的系统满足要求 这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到 1 Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数 Chebyshev 型滤波器的幅度平方函数 续 当N 0时 C0 x 1 当N 1时 C1 x x 当N 2时 C2 x 2x2 1 当N 3时 C3 x 4x3 3x 由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为CN 1 x 2xCN x CN 1 x 前两项给出后才能迭代下一个 Chebyshev多项式的特性 N 0 4 5切比雪夫多项式曲线 N的影响 N越大阻带衰减越快阶数N影响过渡带的带宽 同时也影响通带内波动的疏密 因为N等于通带内最大值与最小值的总个数 2 Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点 通带外 迅速单调下降趋向0 N为偶数 N为奇数 通带内 在1和间等波纹起伏 切比雪夫 型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线 3 Chebyshev低通滤波器的三个参量 通带截止频率 给定 表征通带内波纹大小 由通带衰减决定 设阻带的起始点频率 阻带截止频率 用 s表示 在 s处的A2 s 为 令 s s p 由 s 1 有 可以解出 滤波器阶数N的确定 3dB截止频率 c的确定 按照 6 2 19 式 有 通常取 c 1 因此 上式中仅取正号 得到3dB截止频率计算公式 令 书上该公式有错 4 Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布 以上 p 和N确定后 可以求出滤波器的极点 并确定Ha p p s p 有用的结果 设Ha s 的极点为si i j i 可以证明 上式是一个椭圆方程 因为ch x 大于sh x 长半轴为 pch 在虚轴上 短半轴为 psh 在实轴上 令b p和a p分别表示长半轴和短半轴 可推导出 6 2 29 6 2 30 6 2 31 因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长半轴为b p 短半轴为a p的椭圆上的点 设N 3 平方幅度函数的极点分布如图6 2 8所示 极点用X表示 为稳定 用左半平面的极点构成Ha p 即 6 2 32 式中c是待定系数 根据幅度平方函数 6 2 19 式可导出 c 2N 1 代入 6 2 32 式 得到归一化的传输函数为 6 2 33a 去归一化后的传输函数为 图6 2 8三阶切比雪夫滤波器的极点分布 5 Chebyshev低通滤波器的设计步骤 归一化 1 确定技术指标 2 根据技术指标求出滤波器阶数N及 其中 3 求出归一化系统函数 或者由N和 直接查表得 其中极点由下式求出 4 去归一化 例6 2 2设计低通切比雪夫滤波器 要求通带截止频率fp 3kHz 通带最大衰减 p 0 1dB 阻带截止频率fs 12kHz 阻带最小衰减 s 60dB 解 1 滤波器的技术指标 2 求阶数N和 此过程可直接查表 3 求归一化系统函数Ha p 由 6 2 38 式求出N 5时的极点pi 代入上式 得到 4 将Ha p 去归一化 得到 此过程也可直接查表完成 小结 模拟滤波器设计的步骤 通带截止频率 通带衰减 阻带截止频率 阻带衰减 确定滤波器的技术指标 将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通原型滤波器的参数 Butterworth低通滤波器Chebyshev低通滤波器 构造归一化低通原型滤波器的系统函数 反归一 4 模拟滤波器的频率变换 模拟高通 带通 带阻滤波器的设计 高通 带通和带阻滤波器的传输函数可以通过频率变换 分别由低通滤波器的传输函数求得 因此不论设计哪一种滤波器 都可以先将该滤波器的技术指标转换为低通滤波器的技术指标 按照该技术指标先设计低通滤波器 在通过频率变换 将低通的传输函数转换成所需类型的滤波器传输函数 符号规定 1 低通到高通的频率变换 和 之间的关系为 低通到高通的频率变换关系为 模拟高通滤波器的设计步骤如下 1 确定高通滤波器的技术指标 2 确定相应低通滤波器的设计指标 按照式 将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率 各项设计指标为 低通滤波器通带截止频率 低通滤波器阻带截止频率 通带最大衰减仍为 p 阻带最小衰减仍为 s 3 设计归一化低通滤波器G p 4 求模拟高通的H s 例6 2 3设计高通滤器 fp 200Hz fs 100Hz 幅度特性单调下降 fp处最大衰减为3dB 阻带最小衰减 s 15dB 解 高通技术指标要求 fp 200Hz p 3dB fs 100Hz s 15dB归一化频率 低通技术要求 设计归一化低通G p 采用巴特沃斯滤波器 故 求模拟高通H s 带通与低通滤波器的幅度特性 与 的对应关系 2 低通到带通的频率变换 由 与 的对应关系 得到 由表6 2 2知 p对应 u 代入上式中 有 带通滤波器的归一化带宽为1 低通到带通的频率变换公式 利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率 由于 将q j 代入上式 得到 为去归一化 将q s B代入上式 得到 6 2 44 6 2 45 归一化低通到任意带通系统函数的转换公式 两个环节 1 归一化低通到归一化带通 2 归一化带通到任意带通 下面总结模拟带通的设计步骤 1 确定模拟带通滤波器的技术指标 即 带通上限频率 u 带通下限频率 l下阻带上限频率 s1 上阻带下限频率 s2通带中心频率 20 l u 通带宽度B u l与以上边界频率对应的归一化边界频率如下 2 确定归一化低通技术要求 s与 s的绝对值可能不相等 一般取绝对值小的 s 这样保证在较大的 s处更能满足要求 通带最大衰减仍为 p 阻带最小衰减亦为 s 3 设计归一化低通G p 4 反归一 直接将G p 转换成带通H s 6 2 4设计模拟带通滤波器 通带带宽B 2 200rad s 中心频率 0 2 1000rad s 通带内最大衰减 p 3dB 阻带 s1 2 830rad s s2 2 1200rad s 阻带最小衰减 s 15dB 解 1 模拟带通的技术要求 0 2 1000rad s p 3dB s1 2 830rad s s2 2 1200rad s s 15dBB 2 200rad s 0 5 s1 4 15 s2 6 2 模拟归一化低通技术指标要求 取 s 1 833 p 3dB s 15dB 3 设计模拟归一化低通滤波器G p 采用巴特沃斯型 有 取N 3 查表6 2 1 得 4 求模拟带通H s 3 低通到带阻的频率变换 低通与带阻滤波器的幅频特性 图6 2 11低通与带阻滤波器的幅频特性 B作为一化参考频率 相应的归一化边界频率为 u u B l l B s1 s1 B s2 s2 B 20 u l 表6 2 3 与 的对应关系 低通到带阻的频率变换公式 直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式 根据 与 的对应关系 可得到 p 1令p j 并去归一化 可得 1 确定模拟带阻滤波器的技术要求 即 设计模拟带阻滤波器的步骤 2 确定归一化模拟低通技术要求 即 取绝对值较小的 s 通带最大衰减为 p 阻带最小衰减为 s 3 设计归一化模拟低通G p 4 转换成带阻滤波器H s 例6 2 5设计模拟带阻滤波器 其技术要求为 l 2 905rad s s1 2 980rad s s2 2 1020rad s u 2 1105rad s p 3dB s 25dB 试设计巴特沃斯带阻滤波器 解 1 模拟带阻滤波器的技术要求 l 2 905 u 2 1105 s1 2 980 s2 2 1020 20 l u 4 2 1000025 B u l 2 200 l l B 4 525 u u B 5 525 s1 s1 B 4 9 s2 5 1 20 l u 25 2 归一化低通的技术要求 4 带阻滤波器的H s 为 3 设计归一化低通滤波器G p 模拟滤波器设计的步骤 通带截止频率 通带衰减 阻带截止频率 阻带衰减 确定滤波器的技术指标 将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通原型滤波