焦作市2015-2016学年高一下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2015年河南省焦作市高一（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题（每题 5 分） 1设集合 A=1， 3， 5， 7， B=x|2 x 5，则 AB=（ ） A 1， 3 B 3， 5 C 5， 7 D 1， 7 2若 0，则角 的终边在（ ） A第二象限 B第四象限 C第二、四象限 D第三、四象限 3从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（ ） A B C D 4已知过点 A（ 2， m）， B（ m， 4）的直线与直线 2x+y 1=0 平行，则 m 的值为（ ） A 0 B 2 C 8 D 10 5函数 f（ x） =x 4+零点所在的区间是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 6已 ， 、 是三个互不重合的平面， l 是一条直线，给出下列四个命题： 若 ， l ，则 l ； 若 l ， l ，则 ； 若 l 上有两个点到 的距离相等，则 l ； 若 ， ，则 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 7执行如图所示的程序框图，如果输入的 x 1， 3，则输出的 y 属于（ ） A 0， 2 B 1， 2 C 0， 1 D 1， 5 8过（ 2， 2）点且与曲线 x2+x 2y 2=0 相交所得弦长为 的直线方程为（ ） A 3x 4y+2=0 B 3x 4y+2=0 或 x=2 C 3x 4y+2=0 或 y=2 D x=2 或 y=2 9已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 2 页（共 18 页） A B C 8 D 16 10函数 y= 的图象可能是（ ） A B C D 11若函数 y=x+）（ A 0， 0， | ）在一个周期内的图象如图所示， M、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且 =0，则 A=（ ） A B C D 12已知函数 f（ x）（ x R）满足 f（ x） =f（ 2 x），若函数 y=|2x 3|与 y=f（ x） 图象的交点为（ （ ，（ 则 ） A 0 B m C 2m D 4m 二、填空题（每题 5 分） 13已知函数 f（ x） = ，则 的值是 14已知向量 =（ 1， ）， =（ ， 1），则 与 夹角的大小为 15某次考试后，抽取了 40 位学生的成绩，并根据抽样数据制作的频率分布直方图如图所示，从成绩为 80， 100的学生中随机抽取了 2 人进行某项调查，则这两人分别来自两个不同分数段内的频率为 第 3 页（共 18 页） 16如图，正方形 边长为 a，已知 直角 折起， A 点在平面 的射影为 D 点，则对翻折后的几何体中有如下描述： 成角的正切值是 ； 三棱锥 B 体积是 直线 平面 成角的正弦值为 平面 平面 其中错误叙述的是 三、解答题 17已知函数 f（ x） =2 0）的最小正周期为 （ 1）求 的值； （ 2）求 f（ x）的单调递增区间 18某单位 N 名员工参加 “社区低碳你我他 ”活动他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间按年龄分组：第 1 组 25， 30），第 2 组 30， 35），第 3 组 35， 40），第 4 组 40， 45），第 5 组 45，50，得到的频率分布直方图如图所示下表是年龄的频率分布表 区间 25， 30） 30， 35） 35， 40） 40， 45） 45， 50 人数 25 a b （ 1）求正整数 a， b， N 的值； （ 2）现要从年龄较小的第 1， 2， 3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人，则年龄在第 1， 2， 3组的人数分别是多少？ （ 3）在（ 2）的条件下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动，求恰有 1 人在第3 组的概率 第 4 页（共 18 页） 19已知函数 f（ x） =x+）（ 0， 0 ）的部分图象，如图所示 （ 1）求函数解析式； （ 2）若方程 f（ x） =m 在 ， 有两个不同的实根，求 m 的取值范围 20如图所示，正方形 直角梯形 在平面互相垂直， 0， E= （ 1）求证： 平面 （ 2）求四面体 体积 21已知坐标平面上三点 A（ 2， 0）， B（ 0， 2）， C（ （ 1）若 （ O 为原点），求向量 与 夹角的大小； （ 2）若 ，求 22已知直线 l： y= 与圆 C：（ x 2） 2+（ y 3） 2=1 相交于 A， B 两点 （ 1）求弦 中点 M 的轨迹方程； （ 2）若 O 为坐标原点， S（ k）表示 面积，若 f（ k） =S（ k） （ ） 2，求 f（ k）的最大值 第 5 页（共 18 页） 2015年河南省焦作市高一（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 5 分） 1设集合 A=1， 3， 5， 7， B=x|2 x 5，则 AB=（ ） A 1， 3 B 3， 5 C 5， 7 D 1， 7 【考点】 交集及其运算 【分析】 直接利用交集的运算法则化简求解即可 【解答】 解：集合 A=1， 3， 5， 7， B=x|2 x 5， 则 AB=3， 5 故选： B 2若 0，则角 的终边在（ ） A第二象限 B第四象限 C第二、四象限 D第三、四象限 【考点】 三角函数值的符号 【分析】 由题意转化为正弦函数，余弦函数的符号，然后确定角 的终边所在象限 【解答】 解：因为 0，所以 或 ，所以角 的终边在四、二象限； 故选 C 3从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（ ） A B C D 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率 【解答】 解：从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人， 基本事件总数 n= =10， 甲被选中包含的基本事件的个数 m= =4， 甲被选中的概率 p= = = 故选： B 4已知过点 A（ 2， m）， B（ m， 4）的直线与直线 2x+y 1=0 平行，则 m 的值为（ ） A 0 B 2 C 8 D 10 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系 第 6 页（共 18 页） 【分析】 先由已知条件求出 过点 A（ 2， m）， B（ m， 4）的直线的斜率和直线 2x+y 1=0的斜率，再由两直线平行斜率相等的性质能求出 m 的值 【解答】 解： 过点 A（ 2， m）， B（ m， 4）的直线与直线 2x+y 1=0 平行， k= = 2， 解得 m= 8 故选： C 5函数 f（ x） =x 4+零点所在的区间是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 连续函数 f（ x） =x 4 在（ 0， +）上单调递增且 f（ 2） = 1 0， f（ 3） =1 0，根据函数的零点的判定定理可求 【解答】 解： 连续函数 f（ x） =x 4 在（ 0， +）上单调递增 f（ 2） = 1 0， f（ 3） =1 0 f（ x） =x 4 的零点所在的区间为（ 2， 3） 故答案为 C 6已 ， 、 是三个互不重合的平面， l 是一条直线，给出下列四个命题： 若 ， l ，则 l ； 若 l ， l ，则 ； 若 l 上有两个点到 的距离相等，则 l ； 若 ， ，则 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【考点】 命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系 【分析】 若 ， l ，则 l 或 l， 由平面与平面垂直的判定定理可得 ， 若直线 l 上的两个点到平面 的距离相等，则直线 l 或直线 l=M，且在直线上的点到 M 的距离相等的点满足条件 一个平面垂直于两平行平面中的一个必垂直于另一个 【解答】 证明： 若 ， l ，则 l 或 l，故 错误 由 l ，可知在平面 内存在直线 l，使得 l l，则由 l 可得 l 且 l，由平面与平面垂直的判定定理可得 ，故 正确 若 l ，则直线 l 上的所有的点到平面 的距离相等， 若直线 l=M，则在直线上且在平面 的两侧存在点满足距 M 相等的点到平面的距离相等，故 错误 一个平面垂直于两平行平面中的一个必垂直于另一个，则可得 ， ，则 正确 故选 C 7执行如图所示的程序框图，如果输入的 x 1， 3，则输出的 y 属于（ ） 第 7 页（共 18 页） A 0， 2 B 1， 2 C 0， 1 D 1， 5 【考点】 程序框图 【分析】 根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出 y=的值 若 1 x 0，则不满足条件输出 y=2 x 1 （ 0， 1， 若 0 x 3，则满足条件，此时 y=x+1） 0， 2， 输出 y 0， 2， 故选： A 8过（ 2， 2）点且与曲线 x2+x 2y 2=0 相交所得弦长为 的直线方程为（ ） A 3x 4y+2=0 B 3x 4y+2=0 或 x=2 C 3x 4y+2=0 或 y=2 D x=2 或 y=2 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 曲线 x2+x 2y 2=0 化为标准方程，确定圆心与半径，设出直线方程，利用条件可得圆心到直线的距离为 1，从而可求直线方程 【解答】 解：曲线 x2+x 2y 2=0 化为标准方程为：（ x+1） 2+y 1） 2=4，表示圆心为（ 1， 1），半径为 2 的圆 设过点（ 2， 2）的直线方程为 y 2=k（ x 2） ，即 y 2k+2=0 过（ 2， 2）点且与曲线 x2+x 2y 2=0 相交所得弦长为 圆心到直线的距离为 4k=0 k=0，或 k= 所求直线方程为： 3x 4y+2=0 或 y=2 第 8 页（共 18 页） 故选 C 9已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C 8 D 16 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，分别计算柱体和圆锥的体积，相减可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥， 圆柱和圆锥的底面直径为 4，故底面半径为 2，故底面面积 S=4， 圆柱和圆锥的高 h=2， 故组合体的体积 V=（ 1 ） ， 故选： B 10函数 y= 的图象可能是（ ） A B C D 【考 点】 函数的图象 【分析】 当 x 0 时， ，当 x 0 时，作出函数图象为 B 【解答】 解：函数 y= 的定义域为（ ， 0） （ 0， +）关于原点对称 当 x 0 时， ， 当 x 0 时， ，此时函数图象与当 x 0 时函数的图象关于原点对称 故选 B 第 9 页（共 18 页） 11若函数 y=x+）（ A 0， 0， | ）在一个周期内的图象如图所示， M、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且 =0，则 A=（ ） A B C D 【考点】 y=x+）中参数的物理意义；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值 【分析】 根据图象求出函数的周期，再求出 的值，根据周期设出 M 和 N 的坐标，利用向量的坐标运算求出 A 的值，即求出 A 的值 【解答】 解：由图得， T=4 =，则 =2， 设 M（ ， A），则 N（ ， A）， ， A 0， A A=0，解得 A= ， A= 故选 C 12已知函数 f（ x）（ x R）满足 f（ x） =f（ 2 x），若函数 y=|2x 3|与 y=f（ x） 图象的交点为（ （ ，（ 则 ） A 0 B m C 2m D 4m 【考点】 二次函数的性质；带绝对值的函数；函数迭代 【分析】 根据已知中函数函数 f（ x）（ x R）满足 f（ x） =f（ 2 x），分析函数的对称性，可得函数 y=|2x 3|与 y=f（ x） 图象的交点关于直线 x=1 对称，进而得到答案 【解答】 解： 函数 f（ x）（ x R）满足 f（ x） =f（ 2 x）， 故函数 f（ x）的图象关于直线 x=1 对称， 函数 y=|2x 3|的图象也关于直线 x=1 对称， 故函数 y=|2x 3|与 y=f（ x） 图象的交点也关于直线 x=1 对称， 故 2=m， 故选： B 二、填空题（每题 5 分） 第 10 页（共 18 页） 13已知函数 f（ x） = ，则 的值是 【考点】 对数的运算性质；函数的值 【分析】 直接利用分段函数由里及外逐步求解即可 【解答】 解：函数 f（ x） = ，则 f（ =f（ 2） =5 2= 故答案为： 14已知向量 =（ 1， ）， =（ ， 1），则 与 夹角的大小为 【考点】 数量积表示两个向量的夹 角 【分析】 根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案 【解答】 解： 向量 =（ 1， ）， =（ ， 1）， 与 夹角 满足： = = ， 又 0， ， = ， 故答案为： 15某次考试后，抽取了 40 位学生的成绩，并根据抽样数据制作的频率分布直方图如图所示，从成绩为 80， 100的学生中随机抽取了 2 人进行某项调查，则这两人分别来自两个不同分数段内的频率为 【考点】 频率分布直方图 【分析】 由频率分布直方图得成绩为 80， 90）的学生有 4 人，成绩为 90， 100的学生有 2人，由此利用等可能事件概率计算公式能求出结果 【解答】 解：由频率分布直方图得： 成绩为 80， 90）的学生有： 10 40=4 人， 成绩为 90， 100的学生有： 10 40=2 人， 从成绩为 80， 100的学生中随机抽取了 2 人进行某项调查， 第 11 页（共 18 页） 基本事件总数 n= =15， 这两人分别来自两个不同分数段内，包含的基本事件个数 m= =8， 这两人分别来自两个不同分数段内的频率为： 故答案为： 16如图，正方形 边长为 a，已知 直角 折起， A 点在平面 的射 影为 D 点，则对翻折后的几何体中有如下描述： 成角的正切值是 ； 三棱锥 B 体积是 直线 平面 成角的正弦值为 平面 平面 其中错误叙述的是 【考点】 棱锥的结构特征 【分析】 如图所示，建立空间直角坐标系利用向量与三棱锥 的有关知识计算即可得出 【解答】 解：如图所示，建立空间直角坐标系 D（ 0， 0， 0）， C（ 0， a， 0）， B（ a， a， 0）， E（ a， 0， 0）， A（ 0， 0， a） 下描述： =（ a， a， a）， =（ a， 0， 0） = = ，因此 成角的正切值是 正确 三棱锥 B 体积 = = 确 取平面 法向量 =（ 0， 1， 0）， =（ a， a， a）， 设直线 平面 成角为 ，则 = = ，因此不正确 平面 E=E， 平面 平面 平面 此正确 其中错误叙述的是 第 12 页（共 18 页） 故答案为： 三、解答题 17已知函数 f（ x） =2 0）的最小正周期为 （ 1）求 的值； （ 2）求 f（ x）的单调递增区间 【考点】 复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法 【分析】 （ 1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得 的值； （ 2）直接由相位在正弦函 数的增区间内求解 x 的取值范围得 f（ x）的单调递增区间 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2= 由 T= ，得 =1； （ 2）由（ 1）得， f（ x） = 再由 ，得 f（ x）的单调递增区间为 （ k Z） 18某单位 N 名员工参加 “社区低碳你我他 ”活动他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间按年龄分组：第 1 组 25， 30），第 2 组 30， 35），第 3 组 35， 40），第 4 组 40， 45），第 5 组 45，50，得到的频率分布直方图如图所示下表是年龄的频率分布表 区间 25， 30） 30， 35） 35， 40） 40， 45） 45， 50 人数 25 a b （ 1）求正整数 a， b， N 的值； （ 2）现要从年龄较小的第 1， 2， 3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人，则年龄在第 1， 2， 3组的人数分别是多少？ （ 3）在（ 2）的条件下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动，求恰有 1 人在第3 组的概率 第 13 页（共 18 页） 【考点】 古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图 【分析】 （ 1）根据小矩形的高 = ，故频数比等于高之比，由此可得 a、 b 的值； （ 2）计算分层抽样的抽取比例 为 = ，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数； （ 3）利用列举法写出从 6 人中随机抽取 2 人的所有基本事件，分别计算总个数与恰有 1 人在第 3 组的个数，根据古典概型概率公式计算 【解答】 解：（ 1）由频率分布直方图可知， 25， 30）与 30， 35）两组的人数相同， a=25 人 且 人 总人数 人 （ 2）因为第 1， 2， 3 组共有 25+25+100=150 人，利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人，每组抽取的人数分别为： 第 1 组的人数为 ， 第 2 组的人数为 ， 第 3 组的人数为 ， 第 1， 2， 3 组分别抽取 1 人， 1 人， 4 人 （ 3）由（ 2）可设第 1 组的 1 人为 A，第 2 组的 1 人为 B，第 3 组的 4 人分别为 3， 从 6 人中抽取 2 人 的所有可能结果为： （ A， B），（ A， （ A， （ A， （ A， （ B， （ B， （ B， （ B，（ （ （ （ （ （ 共有 15 种 其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为：（ A， （ A， （ A， （ A， （ B，（ B， （ B， （ B， 共有 8 种 所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为 19已知函数 f（ x） =x+）（ 0， 0 ）的部分图象，如图所示 （ 1）求函数解析式； 第 14 页（共 18 页） （ 2）若方程 f（ x） =m 在 ， 有两个不同的实根，求 m 的取值范围 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 （ 1）根据已知中函数的图象求出函数的周期 ，要求出 ，进而根据 “第一点向左平移量 ”法可求出 值，代入可得函数的解析式； （ 2）分析函数在 ， 图象和性质，进而得到方程 f（ x） =m 在 ， 有两个不同的实根，即函数 y=f（ x）和 y=m 的图象在 ， 有两个不同的交点时，m 的取值范围 【解答】 解：（ 1） = = ， 故 T=， 又 0， 故 =2， 故函数图象第一点的坐标为（ ， 0）点， 即向左平移量 L= ， 故 =L= ， 故 （ 2）由（ 1）中函数解析式可得当 x ， 或 x ， 时，函数为减函数， 当 x ， 时，函数为减函数， 又 f（ ） = ， f（ ） =0， 故当 时，函数 y=f（ x）和 y=m 的图象在 ， 有两个不同的交点 即方程 f（ x） =m 有两个不同的实根， 故 m 的取值范围为 第 15 页（共 18 页） 20如图所示，正方形 直角梯形 在平面互相垂直， 0， E= （ 1）求证： 平面 （ 2）求四面体 体积 【考点】 直线与平面平行的判定；组合几何体的面积、体积问题；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 （ 1）设正方形 中心为 O，取 点 G，连接 中位线定理，我们易得四边形 平行四边形，即 直线与平面平行的判定定理即可得到 平面 （ 2）由已知中正方形 直角梯形 在平面互相垂直， 0，我们可以得到 平面 合 A=2分别计算棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式即可求出 四面体 体积 【解答】 证明：（ 1）设 D=O，取 点 G，连接 所以， 因为 所以 F， 从而四边形 平行四边形， 因为 面 面 所以 平面 平面 解：（ 2）因为平面 平面 所以 平面 为 0， A=2 所以 面积为 S ， 所以四面体 体积 V= S 第 16 页（共 18 页） 21已知坐标平面上三