钦州市2015-2016学年高二下期末理科数学试卷(B)含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年广西钦州市高二（下）期末数学试卷（理科）（ 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效） 1若复数 z 满足（ 1+i） z=2i，则 z 的共轭复数 =（ ） A 1 i B 1+i C D 2极 坐标方程 = （ R）表示的曲线是一条（ ） A射线 B直线 C垂直于极轴的直线 D圆 3已知数列 ， ， = （ n=1， 2， 3， ）计算该数列的前几项，猜想它的通项公式是（ ） A B an=n C D 4 3 个班分别从 5 个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是（ ） A 53 B 35 C 在 的展开式中的常数项是（ ） A 7 B 7 C 28 D 28 6 “因为偶函数的图象关于 y 轴对称，而函数 f（ x） =x2+x 是偶函数，所以 f（ x） =x2+x 的图象关于 y 轴对称 ”，在上述演绎推理中，所得结论错误的原因是（ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D大前提与推理形式都错误 7某班生活委员 为了解在春天本班同学感冒与性别是否相关，他收集了 3 月份本班同学的感冒数据，并制出下面一个 2 2 列联表： 感冒 不感冒 合计 男生 5 27 32 女生 9 19 28 合计 13 47 60 参考数据 P（ （ （ 观测值公式，可求得 k=据给出表格信息和参考数据，下面判断正确的是（ ） A在犯错概率不超过 1%的前提下认为该班 “感冒与性别有关 ” 第 2 页（共 16 页） B在犯错概率不超过 1%的前提下不能 认为该班 “感冒与性别有关 ” C有 15%的把握认为该班 “感冒与性别有关 ” D在犯错概率不超过 10%的前提下认为该班 “感冒与性别有关 ” 8已知函数 f（ x）的导函数 f（ x）是二次函数，如图是 f（ x）的大致图象，若 f（ x）的极大值与极小值的和等于 ，则 f（ 0）的值为（ ） A 0 B C D 9设两个正态分布 和 的密度曲线如图所示，则有（ ） A 1 2， 1 2 B 1 2， 1 2 C 1 2， 1 2 D 1 2， 1 2 10某同学投篮第一次命中的概率是 续两次投篮命中的概率是 知该同学第一次投篮命中，则 其随后第二次投篮命中的概率是（ ） A 1从 0， 1， 2， 3， 4， 5 这 6 个数字中任意取 4 个数字，组成一个没有重复数字且能被 3整除的四位数，则这样的四位数共有（ ） A 64 个 B 72 个 C 84 个 D 96 个 12设随机变量 的取值为 0， 1， 2若 P（ =0） = ， E（ ） =1，则 D（ ） =（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13在函数 y=图象上的点 A（ 1， 0）处的切线方程是 14如图，类比三角形中位线定理 “如果 三角形的中位线，则 B ”，在空间四面体（三棱锥） P ， “如 果 ，则 ” 第 3 页（共 16 页） 15某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的统计数据如表， 年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 x 1 2 3 4 5 6 7 y 此，我们得到 y 关于年份代号 x 的线性回归方程： =预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入等于 16已知函数 f（ x） = ，则 f（ x） 三、解答题：本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17设 m R，复数（ 5m+6） +（ 3m） i 是纯虚数 （ 1）求 m 的值； （ 2）若 2+方程 x2+px+q=0 的一个根，求实数 p， q 的值 18已知 a= 2 x+ ） 二项式（ ） 5 的展开式中 x 的系数及展开式中各项系数之和 19已知直线 l 的极坐标方程为 + ） = （ 1）在极坐标系下写出 =0 和 = 时该直线上的两点的极坐标，并画出该直线； （ 2）已知 Q 是曲线 =1 上的任意一点，求点 Q 到直线 l 的最短距离及此时 Q 的极坐标 20某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间 2， 4的有 8 人 （ 1）求直方图中 a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（ 10， 12的人数； （ 2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于 10 个小时的学生中任取 4 人参加测试，设 4人中甲班学生的人数为 ，求 的分布列和数学期望 21已知数列 前 n 项和为 ， =2（ n 2， n N） 第 4 页（共 16 页） （ 1）求 值； （ 2）猜想 表达式；并用数学归纳法加以证明 22函数 f（ x） = +中 a 为实常数 （ 1）讨论 f（ x）的单调性； （ 2）不等式 f（ x） 1 在 x （ 0， 1上恒成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 16 页） 2015年广西钦州市高二（下）期末数学试卷（理科）（ B 卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效） 1若复数 z 满足（ 1+i） z=2i，则 z 的共轭复数 =（ ） A 1 i B 1+i C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 先求出 z，根据共轭复数的定义，求出 即可 【解答】 解： （ 1+i） z=2i， z= = =1+i， =1 i， 故选： A 2极坐标方程 = （ R）表示的曲线是一条（ ） A射线 B直线 C垂直于极轴的直线 D圆 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 由 x=y=得 由条件，化简整理可得曲线表示的是一条直线 【解答】 解：由 x=y= 可得 极坐标方程 = （ R）， 可得直线 y=x，即有 y=x， 即 y= x 故选： B 3已知数列 ， ， = （ n=1， 2， 3， ）计算该数列的前几项，猜想它的通项公式是（ ） 第 6 页（共 16 页） A B an=n C D 【考点】 数列的概念及简单表示法 【分析】 运用 ， = （ n=1， 2， 3， ），可以计算该数列的前几项，即可猜想它的通项公式 【解答】 解： ， = （ n=1， 2， 3， ）， = ， = ， = ， ，故猜想 ， 故选： A 4 3 个班分别从 5 个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是（ ） A 53 B 35 C 考点】 计数原理的应用 【分析】 每班从 5 个 风景点中选择一处游览，每班都有 5 种选择，根据乘法原理，即可得到结论 【解答】 解： 共 3 个班，每班从 5 个风景点中选择一处游览， 每班都有 5 种选择， 不同的选法共有 53， 故选： A 5在 的展开式中的常数项是（ ） A 7 B 7 C 28 D 28 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 0 求出展开式的常数项 【解答】 解： 展开式的通项 为令 故选 A 6 “因为偶函数的图象关于 y 轴对称，而函数 f（ x） =x2+x 是偶函数，所以 f（ x） =x2+x 的图象关于 y 轴对称 ”，在上述演绎推理中，所得结论错误的原因是（ ） 第 7 页（共 16 页） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D大前提与推理形式都错误 【考点】 演绎推理的意义 【分析】 要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确， 才能得到这个演绎推理正确 【解答】 解：函数 f（ x） =x2+x 是非奇非偶函数，故小前题错误， 故选： B 7某班生活委员为了解在春天本班同学感冒与性别是否相关，他收集了 3 月份本班同学的感冒数据，并制出下面一个 2 2 列联表： 感冒 不感冒 合计 男生 5 27 32 女生 9 19 28 合计 13 47 60 参考数据 P（ （ （ 观测值公式，可求得 k=据给出表格信息和参考数 据，下面判断正确的是（ ） A在犯错概率不超过 1%的前提下认为该班 “感冒与性别有关 ” B在犯错概率不超过 1%的前提下不能认为该班 “感冒与性别有关 ” C有 15%的把握认为该班 “感冒与性别有关 ” D在犯错概率不超过 10%的前提下认为该班 “感冒与性别有关 ” 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 根据数据计算得随机变量 观测值，对照 2 2 列联表中数据，即可得出统计结论 【解答】 解：由 2 2 列联表数据计算得随机变量 观测值是 k= 通过对照表中数据得， P（ 在犯错误的概率不超过 1%的前提下不能认为该班 “感冒与性别有关 ” 故选： B 8已知函数 f（ x）的导函数 f（ x）是二次函数，如图是 f（ x）的大致图象，若 f（ x）的极大值与极小值的和等于 ，则 f（ 0）的值为（ ） A 0 B C D 第 8 页（共 16 页） 【考点】 利用导数研究函数的单调性；导数的运算 【分析】 由函数与导函数图象间的关系，函数的单调性对应导函数的函数值的正负，由此利用函数的单调性即可函数在某点取得极值，结合图象的对称性从而作出正确结果 【解答】 解：如图示： ， 其导函数的函数值应在（ ， 2）上为正数，在（ 2， 2）上为负数，在（ 2， +）上为正数， 由导函数图象可知，函数在（ ， 2）上为增函数，在（ 2， 2）上为减函数，在（ 2，+）上为增函数， 函数在 x= 2 取得极大值，在 x=2 取得极小值，且这两个极值点关于（ 0， f（ 0）对称， 由 f（ x）的极大值与极小值之和为 ，得 f（ 2） +f（ 2） =2f（ 0）， =2f（ 0）， 则 f（ 0）的值为 ， 故选： C 9设两个正态分布 和 的密度曲线如图所示，则有（ ） 第 9 页（共 16 页） A 1 2， 1 2 B 1 2， 1 2 C 1 2， 1 2 D 1 2， 1 2 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 从正态曲线关于直线 x= 对称，看 的大小，从曲线越 “矮胖 ”，表示总体越分散； 越小，曲线越 “瘦高 ”，表示总体的分布越集中，由此可得结论 【解答】 解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然 1 2， 正态曲线越 “瘦高 ”，表示取值越集中， 越小， 1 2 故选 A 10某同学投篮第一次命中的概率是 续两次投篮命中的概率是 知该同学第一次投篮命中，则其随后第二次投篮命中的概率是（ ） A 考点】 条件概率与独立事件 【分析】 设随后第二次投篮命中的概率为 p，则由题意可得 p=此解得 p 的值 【解答】 解：设随后第二次投篮命中的概率为 p，则有题意可得 p= 解得 p= 故选： D 11从 0， 1， 2， 3， 4， 5 这 6 个数字中任意取 4 个数字， 组成一个没有重复数字且能被 3整除的四位数，则这样的四位数共有（ ） A 64 个 B 72 个 C 84 个 D 96 个 【考点】 计数原理的应用 【分析】 根据题意，由能被 3 整除的数的性质，分析可得选出的四个数字有 5 种情况， 1，2， 4， 5； 0， 3， 4， 5； 0， 2， 3， 4； 0， 1， 3， 5； 0， 1， 2， 3；由分步计数原理原理或排列数公式可得每种情况下可以组成四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，要求四位数能被 3 整除， 则选出的四个数字有 5 种情况， 1， 2， 4， 5； 0， 3， 4， 5； 0， 2， 3， 4； 0， 1，3， 5； 0， 1， 2， 3； 时，共可以组成 4 个四位数； 时， 0 不能在首位，此时可以组成 3 3 2 1=18 个四位数， 同理， 、 、 时，都可以组成 18 个四位数， 则这样的四位数共 24+4 18=96 个 故选： D 12设随机变量 的取值为 0， 1， 2若 P（ =0） = ， E（ ） =1，则 D（ ） =（ ） A B C D 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 【分析】 利用概率和为 1 与期望值公式，求出 P（ =1）， P（ =2）的值，再计算方差的值 【解答】 解：设 P（ =1） =p， P（ =2） =q， 则由已知得 p+q+ =1， 第 10 页（共 16 页） E（ ） =0 +1 p+2 q=1， 由 组成方程组，解得 p= ， q= ； 所以 D（ ） =（ 0 1） 2 +（ 1 1） 2 +（ 2 1） 2 = 故选： B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13在函数 y=图象上的点 A（ 1， 0）处的切线方程是 y=x 1 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求得函数的导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程 【解答】 解：函数 y=导数为 y=1+ 可得图象上的点 A（ 1， 0）处的切线斜率为 1+， 即有图象上的点 A（ 1， 0）处的切线方程为 y 0=x 1， 即为 y=x 1 故答案为： y=x 1 14如图，类比三角形中位线定理 “如果 三角形的中位线，则 B ”，在空间四面体（三棱锥） P ， “如果 中截面 ，则 截面 截面 截面 面积等于于截面 面积的 ” 【考点】 类比推理 【分析】 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的 性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质 【解答】 解：类比三角形中位线定理 “如果 三角形的中位线，则 B”，可得三棱锥中截面的性质 “如果面 中截面，则截面 截面 截面 面积等于于截面 面积的 ” 故答案为： 中截面；截面 截面 截面 面积等 于于截面 面积的 15某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的统计数据如表， 年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 第 11 页（共 16 页） 年份代号 x 1 2 3 4 5 6 7 y 此，我们得到 y 关于年份代号 x 的线性回归方程： =预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入等于 【考点】 线性回归方程 【分析】 根据回归方程， 2015 年对应的年份代码 x=8，代入回归方程求得 y 的值 【解答】 解：由回归方程 =知： 2015 年对应的 x=9 时， y= 故答案为： 16已知函数 f（ x） = ，则 f（ x） + 【考点】 定积分 【分析】 根据函数积分的公式以及积分的几何意义进行求解即可 【解答】 解： f（ x） （ x+1） 2 （ x+1） （ x+1） x3+x2+x） | =0（ +1 1） = ， 几何意义是圆 x2+，（ 0 x 1， y 0）的面积 S= = ， 则 f（ x） + ， 故答案为： + 三、解答题：本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17设 m R，复数（ 5m+6） +（ 3m） i 是纯虚数 （ 1）求 m 的值； （ 2）若 2+方程 x2+px+q=0 的一个根，求实数 p， q 的值 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 （ 1）根据纯虚数的定义求出 m 的值即可；（ 2）将 2+入方 程 x2+px+q=0，得到关于 p， q 的方程组，解出即可 【解答】 解：（ 1） 复数（ 5m+6） +（ 3m） i 是纯虚数，所以 ， 解得： ， m=2； 第 12 页（共 16 页） （ 2） 2+方程 x2+px+q=0 的一个根， （ 2+2i） 2+p（ 2+2i） +q=0， 即（ 2p+q） +（ 2p 8） i=0， ，解得： p=4， q=8 18已 知 a= 2 x+ ） 二项式（ ） 5 的展开式中 x 的系数及展开式中各项系数之和 【考点】 二项式系数的性质；定积分 【分析】 利用微积分基本定理可得 a，再利用二项式定理的通项公式及其性质即可得出 【解答】 解：依题意， a= 2 x+ ） =2= 2， 二项式（ ） 5= ， 展开式中 x 的系数及展开式中各项系数之和 设展开式中含 x 的项是第 r+1 项，则 = （ 5 r =（ 2） r 3r， 令 10 3r=1，则 r=3 展开式中 x 的系数是： = 80 令 x=1，则二项式的展开式中各项系数之和是（ 1 2） 5= 1 19已知直线 l 的极坐标方程为 + ） = （ 1）在极坐标系下写出 =0 和 = 时该直线上的两点的极坐标，并画出该直线； （ 2）已知 Q 是曲线 =1 上的任意一点，求点 Q 到直线 l 的最短距离及此时 Q 的极坐标 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 （ 1）将 =0 和 = 分别代入直线 l 的极坐标方程，求出 ，从而得出两点的极坐标，画出直线； （ 2）分别求出直线 l 和曲线 =1 的直角坐标方程，要求圆上任意一点到直线 l 的最短距离，只要求圆心 O（ 0， 0）到直线 l 的距离即可 【解答】 解：（ 1）直线 l 经过 A（ 2， 0）， 两点， 在极坐标系下，直线如图所示： （ 2）曲线 =1 化为直角坐标方程得 x2+，该曲线为单位圆， 将直线 l 的极坐标方程 化为直角坐标方程得 x+y 2=0 要求圆上任意一点到直线 l 的最短距离，只要求圆心 O（ 0， 0）到直线 l 的距离即可 由点到直线的距离公式得： ， 第 13 页（共 16 页） 所以点 Q 到直线 l 的最短距离为 ， 此时，点 Q 的极 坐标为 20某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间 2， 4的有 8 人 （ 1）求直方图中 a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（ 10， 12的人数； （ 2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于 10 个小时的学生中任取 4 人参加测试，设 4人中甲班学生的人数为 ，求 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）由直方图能求出 a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（ 10， 12的人数 （ 2）由已知得 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1）由直方图知，（ a） 2=1， 解得 a= 因为甲班学习时间在区间 2， 4的有 8 人， 所以甲班的学生人数为 ， 所以甲、乙两班人数均为 40 人 所以甲班学习时间在区间（ 10， 12的人数为 40 2=3（人） （ 2）乙班学习时间在区间（ 10， 12的人数为 40 2=4（人） 由（ 1）知甲班学习时间在区间（ 10， 12的人数为 3 人， 在两班中学习时间大于 10 小时的同学共 7 人， 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3 ， ， 第 14 页（共 16 页） ， 所以随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 P 21已知数列 前 n 项和为 ， =2（ n 2， n N） （ 1）求 值； （ 2）猜想 表达式；并用数学归纳法加以证明 【考点】 数学归纳法；归纳推理 【分