2016年河北省邯郸市高考数学二模试卷(文科)含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年河北省邯郸市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题 1若集合 A= 2， 1， 0， 1， 3，集合 B=x|x 则 AB 等于（ ） A 2 B 2， 1 C 2， 1， 0 D 0， 1， 3 2复数 z= 在复平面上对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 7），则下列结论正确的是（ ） A B C （ + ） D （ ） 4已知 + ） =x+ ），则 于（ ） A B C D 5某单位从包括甲、乙在内的 5 名应聘者中招聘 2 人，如果这 5 名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有 1 人被录用的概率是（ ） A B C D 6如果 实数 x， y，满足条件 ，则 z=1 的最大值为（ ） A 1 B C 0 D 7若曲线 f（ x） = 在点（ 1， f（ 1）处的切线过点（ 0， 2e），则函数 y=f（ x）的极值为（ ） A 1 B 2 C 3 D e 8执行如图所示 的程序框图，则下列说法正确的（ ） 第 2 页（共 22 页） A a （ 2， 4），输出的 i 的值为 5 B a （ 4， 5），输出的 i 的值为 5 C a （ 3， 4），输出的 i 的值为 5 D a （ 2， 4），输出的 i 的值为 5 9已知函数 f（ x） =2x+3）是奇函数，其中 （ 0， ），则函数 g（ x） =2x ）的图象（ ） A关于点（ ， 0）对称 B可由函数 f（ x）的图象向右平移 个单位得到 C可由函数 f（ x）的图象向左平移 个单位得到 D可由函数 f（ x）的图象向左平移 个单位得到 10已知函数 f（ x）的定义域为 R，对任意 1，且 f（ 1）=1，则不等式 f（ x 1|） 2 x 1|的 解集为（ ） A（ ， 0） B（ ， 1） C（ 1， 0） （ 0， 3） D（ ， 0） （ 0， 1） 11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 3 页（共 22 页） A B 5 C D 6 12已知点 A 是抛物线 M： p 0）与圆 C： y 4） 2=第一象限的公共点，且点 A 到抛物线 M 焦点 F 的距离为 a，若抛物 线 M 上一动点到其准线与到点 C 的距离之和的最小值为 2a， O 为坐标原点，则直线 圆 C 所截得的弦长为（ ） A 2 B 2 C D 二、填空题 13已知函数 f（ x） = ，若不等式 f（ x） a 恒成立，则实数 a 的取值范围是 14过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点作与 x 轴垂直的直线 l，直线 l 与双曲线交于 A， B 两点，与双曲线的渐近线交于 C， D 两点，若 3|2|则双曲线的离心率为 15在锐角 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 面积为 ，则 最小值为 16 在直四棱柱 ，底面 正方形， ， ，点 A、B、 C、 D 在球 O 的表面上，球 O 与 另一个交点为 E，与 另一个交点为 F，且球 O 的表面积为 三、解答题 17已知等比数列 足 2a1+ 是 等差中项； （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若 bn=Sn=b1+使不等式 2n+1+47 0 成 立的 n 的最小值 18某中学进行教学改革试点，推行 “高效课堂 ”的教学法，为了比较教学效果，某化学老师分别用原传统教学和 “高效课堂 ”两种不同的教学方式，在甲乙两个平行班进行教学实验，为了了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下：记成绩不低于 70 分者为 “成绩优良 ” （ 1）分别计算甲乙两班 20 各样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳； 第 4 页（共 22 页） （ 2）由以上统计数据填写下面的 2 2 列联表，并判断 “成绩优良 ”与教学方式是否有关？ 甲班 乙 班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 附： = 独立性检验临界值表 P（ k） k 9如图，直三棱柱 ， D、 E 分别是棱 中点，点 F 在棱 ，已知 C， ， F=2 （ 1）求证： 平面 （ 2）若点 M 在棱 ，当 何值时，平面 平面 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 M（ 0， 2）关于直线 y= x 的对称点在椭圆 C 上，且 正三角形 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，过点 P（ 4， 0）的直线 椭圆 C 于另一点 E，证明：直线 x 轴相交于定点 21已知函数 f（ x） =x R （ 1）设函数 g（ x） =f（ x）（ ），当 k=0 时，若函数 g（ x）有极值，求实数 b 的取值范围； （ 2）若 f（ x）在区间（ 0， +）上单调递增，求 k 的取值范围 选修 4何证明选讲 22如图，在 ， 平分线， 外接圆交 点 E， （ 1）求证： （ 2）求函数 ， 时，求 长 第 5 页（共 22 页） 选 修 4标系与参数方程选讲 23已知曲线 C 的极坐标方程为 =4极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程为 （ t 为参数） （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （ 2）设曲线 C 与直线 l 相交于 P、 Q 两点，以 一条边作曲线 C 的内接矩形，求该矩形的面积 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 1|+|x 2| （ 1）求证： f（ x） 1； （ 2）若方程 f（ x） = 有解，求 x 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2016 年河北省邯郸市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1若集合 A= 2， 1， 0， 1， 3，集合 B=x|x 则 AB 等于（ ） A 2 B 2， 1 C 2， 1， 0 D 0， 1， 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 根据集合的交集的运算和三角函数的性质即可求出 【解答】 解：集合 A= 2， 1， 0， 1， 3，集合 B=x|x （ ， 1， AB= 2， 1， 0， 故选： C 2复数 z= 在复平面上对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 直接利用复数的代数形式混合运算化简复数，求出对应点的坐标，即可 【解答】 解：复数 z= = = =4+3i 复数的对应点为：（ 4， 3）在第一象限 故选： A 3已知向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 7），则下列结论正确的是（ ） A B C （ + ） D （ ） 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 求出 + ，然后通 过向量的数量积求解即可 【解答】 解：向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 7）， + =（ 3， 6） （ + ） =6 6=0 （ + ） =0 故选： C 4已知 + ） =x+ ），则 于（ ） A B C D 【考点】 二倍角的余弦 【分析】 利用降幂公式，两角和的余弦函数公式，诱导公式化简已知即可解得 值 【解答】 解： + ） =x+ ）， 第 7 页（共 22 页） = = 故选： A 5某单位从包括甲、乙在内的 5 名应聘者中招聘 2 人，如果这 5 名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有 1 人被录用的概率是（ ） A B C D 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 列举出所有可能的基本事件和符合条件的基本事件，使用古典概型的概率计算公式计算概率 【解答】 解：设剩余三名应聘者为 a， b， c，则从 5 人中录用两人的 所有可能结果共有 10个，分别为（甲，乙），（甲， a），（甲， b），（甲， c），（乙， a），（乙， b），（乙， c），（ a， b），（ a， c），（ b， c） 其中甲乙两人至少有 1 人被录用的基本事件有 7 个，分别是（甲，乙），（甲， a），（甲， b），（甲， c），（乙， a），（乙， b），（乙， c） 甲、乙两人中至少有 1 人被录用的概率 P= 故选： B 6如果实数 x， y，满足条件 ，则 z=1 的最大值为（ ） A 1 B C 0 D 【考点】 简单线性规划 【分析】 约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出直线 2x+3y=0平行的直线过可行域内 A 点时 z 有最大值，把 C 点坐标代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作可行域如图， 由 z=1 单调递增的性质可知， 2x+3y 取得最大值时， z 取得最大值， 第 8 页（共 22 页） 与 2x+3y=0，平行的准线经过 A 时，即： 可得 A（ 1， 2）， 2x+3y 取得最大值，故 z 最大，即： = 故选： B 7若曲线 f（ x） = 在点（ 1， f（ 1）处的切线过点（ 0， 2e），则函数 y=f（ x）的极值为（ ） A 1 B 2 C 3 D e 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出 f（ x）的导数，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，解方程可得 a=2，求出 f（ x）的单调区间，即可得到 f（ x）的极大值 【解答】 解： f（ x） = 的导数为 f（ x） = ， 可得在点（ 1， 0）处的切线斜率为 k= 由两 点的斜率公式，可得 =2e， 解得 a=2， f（ x） = ， f（ x） = ， 当 x e 时， f（ x） 0， f（ x）递减；当 0 x e 时， f（ x） 0， f（ x）递增 即有 x=e 处 f（ x）取得极大值，且为 f（ e） =2 故选： B 8执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的（ ） 第 9 页（共 22 页） A a （ 2， 4），输出的 i 的值为 5 B a （ 4， 5），输出的 i 的值为 5 C a （ 3， 4），输出的 i 的值为 5 D a （ 2， 4），输出的 i 的值为 5 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 S， i 的值，由题意可得 16 5a，且 94a，从而解得 a 的范围，依次判断选项即可得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=0， i=1 执行循环体， S=1， i=2 不满足条件 S 行循环体， S=4， i=3 不满足条件 S 行循环体， S=9， i=4 不满足条件 S 行循 环体， S=16， i=5 由题意，此时满足条件 S 出循环，输出 i 的值为 5， 则 16 5a，且 9 4a，解得： a 故选： D 9已知函数 f（ x） =2x+3）是奇函数，其中 （ 0， ），则函数 g（ x） =2x ）的图象（ ） A关于点（ ， 0）对 称 B可由函数 f（ x）的图象向右平移 个单位得到 C可由函数 f（ x）的图象向左平移 个单位得到 第 10 页（共 22 页） D可由函数 f（ x）的图象向左平移 个单位得到 【考点】 余弦函数的对称性 【分析】 由条件利用诱导公式，函数 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x+3）是奇函数，其中 （ 0， ）， = ， f（ x） =2x+ ） =2x ） =x ）， 则函数 g（ x） =2x ） =2x ） =x ） 的图象可由函数 f（ x）的图象向左平移 个单位得到的， 故选： C 10已知函数 f（ x）的定义域为 R，对任意 1，且 f（ 1）=1，则不等式 f（ x 1|） 2 x 1|的解集为（ ） A（ ， 0） B（ ， 1） C（ 1， 0） （ 0， 3） D（ ， 0） （ 0， 1） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【 分析】 由题意可得函数 R（ x） =f（ x） +x 是 R 上的增函数， f（ x 1|） +x1| f（ 1） +1，可得 2 3x 1 2，且 3x 1 0，由此求得 x 的范围 【解答】 解： 函数 f（ x）的定义域为 R，对任意 1，即 0， 故函数 R（ x） =f（ x） +x 是 R 上的增函数， 由不等式 f（ x 1|） 2 x 1|，可得 f（ x 1|） +x 1| 2=f（ 1）+1， x 1| 1，故 2 3x 1 2，且 3x 1 0，求得 3x 3，且 x 0， 解得 x 1，且 x 0， 故选： D 11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 11 页（共 22 页） A B 5 C D 6 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知几何体是由直三棱柱和四棱 锥组合而成，由三视图求出几何元素的长度，由分割法、换底法，以及柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积， 【解答】 解：由三视图可知几何体是由直三棱柱 四棱锥 C 合而成， 直观图如图所示： 直三棱柱的底面是一个直角三角形，两条直角边分别是 1、 2，高是 2， 几何体的体积 V=V 三棱柱 四棱锥 C V 三棱柱 三棱锥 C 三棱锥 C V 三棱柱 三棱锥 F 三棱锥 F =2+ = ， 故选： A 12已知点 A 是抛物线 M： p 0）与圆 C： y 4） 2=第一象限的公共点，且点 A 到抛物线 M 焦点 F 的距离为 a，若抛物线 M 上一动点到其准线与到点 C 的距离之和的最小值为 2a， O 为坐标原点，则直线 圆 C 所截得的弦长为（ ） A 2 B 2 C D 【考点】 圆与圆锥曲线的综合 【分析】 求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得 A， C， F 三点共线时取得最小值，且有 A 为 中点，设出 A， C， F 的坐标，代入抛物线的方程可得 p，由抛物线的定义可得 a，求得 C 到直线 距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值 【解答】 解：圆 C： y 4） 2=圆心 C（ 0， 4），半径为 a， |2a， 由 抛物线 M 上一动点到其准线与到点 C 的距离之和的最小值为 2a， 第 12 页（共 22 页） 由抛物线的定义可得动点到焦点与到点 C 的距离之和的最小值为 2a， 可得 A， C， F 三点共线时取得最小值，且有 A 为 中点， 由 C（ 0， 4）， F（ ， 0），可得 A（ ， 2）， 代入抛物线的方程可得， 4=2p ，解得 p=2 ， 即有 a= + = ， A（ ， 2）， 可得 C 到直线 y=2 x 的距离为 d= = ， 可得直线 圆 C 所截得的弦长为 2 = 故选： C 二、填空题 13已知函数 f（ x） = ，若不等式 f（ x） a 恒成立，则实数 a 的取值范围是 （ ， 1 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 求得 f（ x）的值域，运用二次函数和指数函数的单调性即可求得，再由不等式恒成立思想即可得到所求 a 的范围 【解答】 解：当 x 1 时， f（ x） =2 递减， 可得 f（ x） f（ 1） =1 2= 1； 当 x 1 时， f（ x） =2x 1 递增， 可得 f（ x） f（ 1） = 1= 综上可得， f（ x）的值域为（ 1， +） 由不等式 f（ x） a 恒成立， 即有 a 1 则 a 的范围是（ ， 1 故答案为：（ ， 1 14过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点作与 x 轴垂直的直线 l，直线 l 与双曲线交于 A， B 两点，与双曲线的渐近线交于 C， D 两点，若 3|2|则双曲线的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 建立方程组求出交点 A， B， C， D 的坐标，建立方程关系，进行求解即可 【解答】 解：不妨设双曲线的右焦点 F（ c， 0）， 当 x=c 时， =1，得 = 1= = ， 第 13 页（共 22 页） 则 ，则 y= ， 则 A（ c， ）， B（ c， ）， 则 | ， 双曲线的渐近线为 y= x 则当 x=c 时， y= c= 设 C（ c， ）， D（ c， ）， 则 | ， 若 3|2| 则 3 =2 ， 即 3b=2c， 则 b= c， c2= 即 c2= 即 ， 则 e= = ， 故答案为： 15在锐角 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 面积为 ，则 最小值为 【考点】 正弦定理 【分析】 用正弦定 理可得： b，化为： 面积为 ，可得： = ，可得： A 为锐角， ，又 a2=b2+2用基本不等式的性质即可得出 【 解答】 解： b，化为： 面积为 ， = ， 第 14 页（共 22 页） 可得 ， A 为 锐角 = ， 则 a2=b2+22，当且仅当 b=c= 时取等号 最小值为 = ， 故答案为： 16在直四棱柱 ，底面 正方形， ， ，点 A、B、 C、 D 在球 O 的表面上，球 O 与 另一个交点为 E，与 另一个交点为 F，且球 O 的表面积为 8 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 连结 明三棱柱 球 O 的内接直三棱柱，求出球的半径，即可求解球的表面积 【解答】 解： 连结 证得 矩形， 则三棱柱 球 O 的内接直三棱柱， ， ， ，即 0， 又 ， ， 球 O 的半径 R= = ， 球 O 表面积为 ： 4 =8 故答案为： 8 三、解答题 17已知等比数列 足 2a1+ 是 等差中项； （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若 bn=Sn=b1+使不等式 2n+1+47 0 成立的 n 的最小值 【考点】 等差数列与等比数列的综合 第 15 页（共 22 页） 【分析】 （ 1）设等比数列 首项为 比为 q，根据 2a1+ 是 立方程组，从而可求数列 通项公式； （ 2）确定数列的通项，并求和，由 2n+1+47 0，建立不等式，即可求得结论 【解答】 解：（ 1）设等比数列 首项为 比为 q， 2a1+ 是 等差中项 2+=31）， q+=2（ 2） 由（ 1）及 0，得 3q+2=0， q=1，或 q=2， 当 q=1 时，（ 2）式不成立；当 q=2 时，符合题意， 把 q=2 代入（ 2）得 ，所以， 2n 1=2n； （ 2） bn=n n 所以 Sn=b1+ 2+22+2n）（ 1+2+n） =2n+1 2 n 为 2n+1+47 0，所以 2n+1 2 n 2n+1+47 0， 即 n2+n 90 0，解得 n 9 或 n 10 故使 2n+1+47 0 成立的正整数 n 的最小值为 10 18某中学进行教学改革试点，推行 “高效课堂 ”的教学法，为了比较教学效果，某化学老师分别用原传统教学和 “高效课堂 ”两种不同的教学方式，在甲乙两个平行班进行教学实验，为了了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下：记成绩不低于 70 分者为 “成绩优良 ” （ 1）分别计算甲乙两班 20 各样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳； （ 2）由以上统计数据 填写下面的 2 2 列联表，并判断 “成绩优良 ”与教学方式是否有关？ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 附： = 独立性检验临界值表 P（ k） k 考点】 独立性检验的应用；茎叶图 【分析】 （ 1）根据茎叶图计算甲、乙两班数学成绩前 10 名学生的平均分 即可； （ 2）填写列联表，计算 照数表即可得出结论 【解答】 （本题满分为 12 分） 第 16 页（共 22 页） 解：（ 1）甲班数学成绩前 10 名学生的平均分为 = （ 72+74+74+79+79+80+81+85+89+96） = 乙班数学成绩前 10 名学生的平均分为 = （ 78+80+81+85+86+93+96+97+99+99） = = 由此判断使用 “高效教学法 ”的乙班教学效果更佳； 5 分 （ 2）根据茎叶图中的数据，列出列联表，如下； 甲班 乙班（ B 方式） 总计 成绩优良 10 16 26 成绩不优良 10 4 14 总计 20 20 40 计算 能在犯错误的概率不超 过 前提下认为 “成绩优良 ”与数学方式有关 12 分 19如图，直三棱柱 ， D、 E 分别是棱 中点，点 F 在棱 ，已知 C， ， F=2 （ 1）求证： 平面 （ 2）若点 M 在棱 ，当 何值时，平面 平面 【考点】 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）连接 O，连接 为 线，所以 O 为 重 心， 由此能够证明 平面 （ 2）当 时，平面 平面 直三棱柱 ，先证出 平面 证明当 时，平面 平面 【解答】 解：（ 1）连接 O，连接 因为 线， 所以 O 为 重心， 从而 面 面 所以 平面 （ 2）当 时，平面 平面 在直三棱柱 ， 由于 平面 面 第 17 页（共 22 页） 所以平面 平面 由于 C， D 是 点，所以 又平面 面 C， 所以 平面 而 平面 是 因为 D=1， F=2，所以 所以 交，所以 平面 面 以平面 平面 当 时，平面 平面 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 M（ 0， 2）关于直线 y= x 的对称点在椭圆 C 上，且 正三角形 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，过点 P（ 4， 0）的直线 椭圆 C 于另一点 E，证明：直线 x 轴相交于定点 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）由题意画出图形，求出 M 点关于直线 y= x 的对称点，则 a 可求，再由 c，结合隐含条件求得 b，则椭圆方程可求， （ 2）设直线 方程可设为 x=，联立方程组，设 B（ E（ 则 A（ 根据韦达定理可得 y1+ ， y1，由此能够证明直线 过定点（ 1， 0） 【解答】 解：（ 1）如图，点 M（ 0， 2）关于直线 y= x 的对称 点为（ 2， 0）， （ 2， 0）在椭圆上， a=2， 又 正三角形， ， c=2 ， b2= = ， 椭圆 C 的方程 + =1； （ 2） P（ 4， 0）， 直线 方程可设为 x=， 由 ， 得（ 2） 64=0， 0， 第 18 页（共 22 页） 设 B（ E（ 则 A（ y1+ ， y1 直线 y+（ x （ y1+= = =y1+ 直线 y+（ x 即为 y= （ x 1）恒过定点（ 1， 0） 过定点（ 1， 0） 21已知函数 f（ x） =x R （ 1）设函数 g（ x） =f（ x）（ ），当 k=0 时，若函数 g（ x）有极值，求实数 b 的取值范围； （ 2）若 f（ x）在区间（ 0， +）上单调递增，求 k 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）当 k=0 时，求得 g（ x）和 g（ x）将函数 f（ x）有极值，转化成 g（ x） =0 在R 上有解，根据二次函数性质求得 b 的取值范围； （ 2） f（ x）在区间（ 0， +）上单调递增，等 价于 f（ x） =20（ x 0）恒成立，分k 0， 0 k ， k 三种情况进行讨论，前两种情况易作出判断， k 时，利用导数求出最值解不等式即可 【解答】 解：（ 1）当 k=0 时， g（ x） =）， g（ x） =ex 2 b） x+2 b， 函数 f（ x）有极值， g（ x） =0 在 R 上有解， 设 h（ x） = 2 b） x+2 b，由二次函数图象及性质可知： 0， （ 2 b） 2 4（ 2 b） 0，解得： b 2 或 b 2； 实数 b 的取值范围（ ， 2） （ 2， +）； 第 19 页（共 22 页） （ 2） f（ x） =2 f（ x）在区间（ 0， +）上单调递增，转化成 f（ x） 0（ x 0）恒成立， 若 k 0，显然 f（ x） 0， f（ x）在区间（ 0， +）上单调递增； 记 （ x） =2 （ x） =2k， 当 0 k 时， ， 2k 1， （ x） 0，则 （ x）在（ 0， +）上单调递增， 于是 f（ x） =（ x） （ 0） =1 0， f（ x）在（ 0， +）上单调递增； 当 k 时， （ x） =2（ 0， 单调递减，在（ +）上单调递增， 于是 f（ x） =（ x） （ =2 由 20，得 2k 20，则 k ， 综上， k 的取值范围为（ ， 选修 4何证明选讲 22如图，在 ， 平分线，