湖南省娄底市2015-2016年高二下期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2015年湖南省娄底市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（ 60 分每题 5 分） 1若 P=x|x 1， Q=x|x 1，则（ ） A P Q B Q P C Q D Q ，已知 ， ， B= ，这个三角形的面积等于（ ） A B 15 C D 3在等差数列 ， 3（ a3+2（ a7+=24，则此数列前 13 项的和是（ ） A 13 B 26 C 52 D 56 4甲、乙、丙三人站在一起照相留念，乙正好站中间的概率为（ ） A B C D 5已知正方体 ， E、 F 分别为棱 棱 中点，则异面直线 F 所成的角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 6如图框图，当 ， ， p=， 于（ ） A 7 B 8 C 10 D 11 第 2 页（共 21 页） 7如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 ，且一个内角为 60的菱形，俯视图为 正方形，那么这个几何体的表面积为（ ） A B C 4 D 8 8已知 x 1， 1， y 0， 2，则点 P（ x， y）落在区域 内的概率为（ ） A B C D 9设函数 ，且其图象关于 y 轴对称，则函数 y=f（ x）的一个单调递减区间是（ ） A B C D 10平 面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A（ 2， 1）， B（ 1， 3），若点 C 满足= + ，其中 0 ， 1，且 +=1，则点 C 的轨迹方程为（ ） A 2x+3y 4=0 B（ x ） 2+（ y 1） 2=25 C 4x+3y 5=0（ 1 x 2） D 3x y+8=0（ 1 x 2） 11设点 P 是函数 y= 图象上的任意一点，点 Q（ 2a， a 3）（ a R），则|最小值为（ ） A 2 B C 2 D 2 12定义域为 R 的函数 f（ x）满足 f（ x+2） =2f（ x），当 x 0， 2）时， f（ x）= 若 x 4， 2）时， f（ x） 有解，则实数 t 的取值范围是（ ） A 2， 0） （ 0， 1） B 2， 0） 1， +） C 2， 1 D（ ， 2 （ 0，1 二、填空题（ 20 分每题 5 分） 13已知 ） = ， ） = ，则 第 3 页（共 21 页） 14如图，在 ， = ， P 是 的一点，若 =m + ，则实数 m 的值为 15设函数 ，则 f（ x） 2 时 x 的取值范围是 16数列 通项 an= ，其前 n 项和为 三、解答题（题型注释） 17设数列 足： ， 3=2n N*）， n N*） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）求数列 n 项的和 18某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：50， 6060， 7070， 8080， 9090， 100 （ 1）求图中 a 的值； （ 2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分 19如图，四棱锥 P ，底面 矩形， 底面 E， B， 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 第 4 页（共 21 页） 20已知圆 C：（ x 3） 2+（ y 4） 2=4，直线 定点 A（ 1， 0） （ 1）若直线 圆相切，切点为 B，求线段 长度； （ 2）若 圆相交于 P， Q 两点，线段 中点为 M，又 x+2y+2=0 的交点为 N，判断 N 是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由 21已知 ， （ ）求 值； （ ）求 的值 22设函数 f（ x） =a x（ a 0 且 a 1， k R）， f（ x）是 定义域为 R 上的奇函数 （ 1）求 k 的值，并证明当 a 1 时，函数 f（ x）是 R 上的增函数； （ 2）已知 ，函数 g（ x） =a 2x 4f（ x）， x 1， 2，求 g（ x）的值域； （ 3）若 a=4，试问是否存在正整数 ，使得 f（ 2x） f（ x）对 恒成立？若存在，请求出所有的正整数 ；若不存在，请说明理由 第 5 页（共 21 页） 2015年湖南省娄底市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解 析 一、选择题（ 60 分每题 5 分） 1若 P=x|x 1， Q=x|x 1，则（ ） A P Q B Q P C Q D Q考点】 集合的包含关系判断及应用 【分析】 利用集合的补集的定义求出 P 的补集；利用子集的定义判断出 Q 【解答】 解： P=x|x 1， x|x 1， Q=x|x 1， Q 故选 D 2 ，已知 ， ， B= ，这个三角形的面积等于（ ） A B 15 C D 【考点】 正弦定理 【分析】 根据题意和三角形的面积公式直接求出这个三角形的面积 【解答】 解： ， ， B= ， 这个三角形的面积 S= = = ， 故选： A 3在等差数列 ， 3（ a3+2（ a7+=24，则此数列前 13 项的和是（ ） A 13 B 26 C 52 D 56 【考点】 等差数列的性质；等差数列的前 n 项和 【分析】 可得 a3+a7+入已知可得 a4+，而 ，代入计算可得 【解答 】 解：由等差数列的性质可得： a3+a7+ 代入已知可得 3 2 34，即 a4+， 故数列的前 13 项之和 第 6 页（共 21 页） = = =26 故选 B 4甲、乙、丙三人站在一起照相留念，乙正好站中间的概率为（ ） A B C D 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 所有的坐法共有 种，乙正好坐中间的坐法有 种，由此可得乙正好坐中间的概率 【解答】 解：所有的坐法共有 A 种，乙正好坐中间的坐法有 A 种， 由此可得乙正好坐中间的概率为： 故选 B 5已知正方体 ， E、 F 分别为棱 棱 中点，则异面直线 F 所成的角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 连接 据正方体的几何特征，我们能得到 为异面直线 成的角，判断三角形 形状，即可得到异面直线 成的角 【解答】 解：连接 图所示： 根据正方体的结构特征，可得 则 为异面直线 成的角 11B， 等边三角形 故 0 第 7 页（共 21 页） 故选 C 6如图框图，当 ， ， p=， 于（ ） A 7 B 8 C 10 D 11 【考点】 选择结构 【分析】 从程序框图中得到求 p 的解析式；列出方程，求出 值 【解答】 解： 解得 故选 B 7如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 ，且一个内角为 60的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ） A B C 4 D 8 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解 第 8 页（共 21 页） 【解答】 解：一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 ，且一个内角为 60的菱形， 所以菱形的边长为： 1， 由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥 组合而成， 底面边长为 1，侧棱长为： ， 所以几何体的表面积为： =4 故选 C 8已知 x 1， 1， y 0， 2，则点 P（ x， y）落在区域 内的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点 P（ x， y）对应图形的面积，及满足条件 “ 内 ”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解 【解答】 解：不等式组表示的区域如图所示， 阴影部分的面积为 ， 则所求概率为 故选 B 9设函数 ，且其图象关于 y 轴对称，则函数 y=f（ x）的一个单调递减区间是（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性 第 9 页（共 21 页） 【分析】 利用 辅助角公式、两角差的正弦公式化简函数解析式，由题意和正弦函数的对称轴求出 的值，代入解析式利用诱导公式化简，再由余弦函数的单调区间求出 f（ x）的单调增区间，结合答案项进行判断即可 【解答】 解：由题意得， f（ x） =2 ） ） =2 ）， 图象关于 y 轴对称， =， k Z， 又 | ， 当 k= 1 时， = 满足题意， f（ x） =2 ） =2 ） = 2 由 2 2得 42 x 4 函数 f（ x）的单调递增区间为 42， 4 k Z， 当 k=0 时，函数 f（ x）的一个单调递增区间为 2， 0， 当 k=1 时，函数 f（ x）的一个单调递增区间为 2， 4， 所以 A、 B、 D 不正确； C 正确， 故选： C 10平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A（ 2， 1）， B（ 1， 3），若点 C 满足= + ，其中 0 ， 1，且 +=1，则点 C 的轨迹方程为（ ） A 2x+3y 4=0 B（ x ） 2+（ y 1） 2=25 C 4x+3y 5=0（ 1 x 2） D 3x y+8=0（ 1 x 2） 【考点】 轨迹方程 【分析】 设 C（ x， y），根据题意得到用 x、 y 表示 、 的方程组，结合 +=1 消去 、 得 4x+3y 5=0再由 0 、 1，解出 x 的取值范围，可得点 C 的轨迹方程 【解答】 解：设 C（ x， y），可得 =（ x， y） 点 A（ 2， 1）、 B（ 1， 3）， 由 = + ，得 ，解得 ， 又 +=1， 两式联解，消去 、 得 4x+3y 5=0 0 1 且 0 1， 0 1， 0 1，解得 1 x 2 由此可得点 C 的轨迹方程为 4x+3y 5=0（ 1 x 2） 故选： C 11设点 P 是函数 y= 图象上的任意一点，点 Q（ 2a， a 3）（ a R），则|最小值为（ ） 第 10 页（共 21 页） A 2 B C 2 D 2 【考点】 函数的最值及其几何意 义 【分析】 将函数进行化简，得到函数对应曲线的特点，利用直线和圆的性质，即可得到结论 【解答】 解：由函数 y= 得（ x 1） 2+，（ y 0），对应的曲线为圆心在C（ 1， 0），半径为 2 的圆的下部分， 点 Q（ 2a， a 3）， x=2a， y=a 3，消去 a 得 x 2y 6=0， 即 Q（ 2a， a 3）在直线 x 2y 6=0 上， 过圆心 C 作直线的垂线，垂足为 A， 则 |PQ| 2= 2= 2， 故选： C 12定义域为 R 的函数 f（ x）满足 f（ x+2） =2f（ x），当 x 0， 2）时， f（ x）= 若 x 4， 2）时， f（ x） 有解，则实数 t 的取值范围是（ ） A 2， 0） （ 0， 1） B 2， 0） 1， +） C 2， 1 D（ ， 2 （ 0，1 【考点】 分段函数的应用 【分析】 若若 x 4， 2）时， f（ x） 有解，等价为 x），根据条件求出 x），即可得到结论 【解答】 解：当 x 0， 1）时， f（ x） =x ， 0 当 x 1， 2）时， f（ x） =（ |x 1， 当 x 0， 2）时， f（ x）的最小值为 1 又 函数 f（ x）满足 f（ x+2） =2f（ x）， f（ x） = f（ x+2）， 当 x 2， 0）时， f（ x）的最小值为 ， 当 x 4， 2）时， f（ x）的最小值为 ， 第 11 页（共 21 页） 若 x 4， 2）时， f（ x） 有解， 即 x） = ， 即 4t（ t+2）（ t 1） 0 且 t 0 解得： t 2， 0） 1， +）， 故选： B 二、填空题 （ 20 分每题 5 分） 13已知 ） = ， ） = ，则 【考点】 两角和与差的正切函数 【分析】 直接利用两角和与差的正切函数求解即可 【解答】 解 ： ） = ， ） = ， 则 ） +（ ） = = = 故答案为： ， 14如图，在 ， = ， P 是 的一点，若 =m + ，则实数 m 的值为 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 第 12 页（共 21 页） 【分析】 由已知中 ， ， P 是 的一点，设 后，我们易将表示为 的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于 ， m 的方程组，解方程组后即可得到 m 的值 【解答】 解： P 是 的一点， 设 ，由 ， 则 = = = = = m=1 ， 解得 = ， m= 故答案为： 15设函数 ，则 f（ x） 2 时 x 的取值范围是 0， +） 【考点】 对数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用 【分析】 根据分段函数的表达式，解不等式即可，注意要对 x 进行分类讨论 【解答】 解：由分段函数可知，若 x 1， 由 f（ x） 2 得， 21 x 2，即 1 x 1， x 0，此时 0 x 1， 若 x 1， 由 f（ x） 2 得 1 2， 即 1，即 x ， 此时 x 1， 综上： x 0， 故答案为： 0， +） 16数列 通项 an= ，其前 n 项和为 470 第 13 页（共 21 页） 【考点】 数列的求和 【分析】 利用二倍角公式对已知化简可得， an= =然后代入到求和公式中可 得， +32+302出 特殊角的三角函数值之后，利用平方差公式分组求和即可求解 【解答】 解： an= = +32+302 + = 1+22 2 32） +（ 42+52 62 2） + = （ 12 32） +（ 42 62） +（ 22 32） +（ 52 62） + = 2（ 4+10+16+58）（ 5+11+17+59） = 2 =470 故答案为： 470 三、解答题（题型注释） 17设数列 足： ， 3=2n N*）， n N*） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）求数列 n 项的和 【考点】 数 列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）根据等比数列的定义即可求出， 首项为 ，公比为 的等比数列，可得其通项公式，由 ，两式相减即可得到 通项公式； （ 2）利用 “错位相减法 ”与等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ 1） ， ， 首项为 ，公比为 的等比数列， 第 14 页（共 21 页） 又 令 令 n 2， 得， = ， （ n 2）， 当 n=1 时，满足此式 （ n N*）； （ 2）令 b1+b2+n， ， 相减得： ， = ， = = ， = ， 18某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：50， 6060， 7070， 8080， 9090， 100 （ 1）求图中 a 的值； （ 2）根据频率分布直方图， 估计这 100 名学生语文成绩的平均分 第 15 页（共 21 页） 【考点】 用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图 【分析】 （ 1）由频率分布直方图的性质可 10（ 2a+=1，解方程即可得到 （ 2）由平均数加权公式可得平均数为 55 5 5 5 5 算出结果既得 【解答】 解：（ 1）依题意， 根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于 1 得， 10（ 2a+=1， 解得 a= 图中 a 的值 （ 2）这 100 名学生语文成绩的平均分为： 55 5 5 5 5 73（分）， 19如图，四棱锥 P ，底面 矩形， 底面 E， B， 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 第 16 页（共 21 页） 【考点】 平面与平 面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 中点 G，连接 由中位线定理可知四边形 平行四边形，于是 而得出 平面 （ 2）由 平面 出 勾股定理的逆定理得出 是 平面 而平面 平面 【解答】 证明：（ 1）取 中点 G，连接 F， G 分别是 中点， 又 E 是 中点， E， 四边形 平行四边形，故 又 平面 面 平面 （ 2） 底面 面 四边形 矩形， 又 面 面 E=D， 平面 面 平面 平面 20已知圆 C：（ x 3） 2+（ y 4） 2=4，直线 定点 A（ 1， 0） （ 1）若直线 圆相切，切点为 B，求线段 长度； （ 2）若 圆相交于 P， Q 两点，线段 中点为 M，又 x+2y+2=0 的交点为 N，判断 N 是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由 第 17 页（共 21 页） 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ 1）利用几何法，连接 ，从而求出 值； （ 2）讨论斜率不存在以及为 0， 圆 C 的位置关系，设出正弦 方程，利用直线与直线以及直线与圆的位置关系列出方程求出点 M、 N 的坐标，计算 N 的值即可 【解答】 解：（ 1）圆 C：（ x 3） 2+（ y 4） 2=4，圆心为（ 3， 4），半径为 2， 直线 定点 A（ 1， 0）； 直线 圆 C 相切，切 点为 B，连接 ， 所以 =2 ， = =4， 即线段 长度为 4； （ 2）易知，若斜率不存在，则 圆相切， 若斜率为 0，则 圆相离，故直线的斜率存在， 可设 方程： y=k（ x 1）， 由 ，解得 ， 再由 得 ， 第 18 页（共 21 页） 又直线 以 ， 解得 ， 所以 为定值 21已知 ， （ ）求 值； （ ）求 的值 【考点】 同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正切 【分析】 （ 1）由 可直接求出 再由二倍角公式可得 值 （ 2）先对所求式子进行化简，再同时除以 到关于 关系式得到答案 【解答】 解：（ 1）由 ， ， （ 2）原式 = = ， 由（ 1）知 0， 所以上式 = = = 22设函数 f（ x） =a x（ a 0 且 a 1， k R）， f（ x）是定义域为 R 上的奇函数 （ 1）求 k 的值，并证明当 a 1 时，函数 f（ x）是 R 上的增函数； （ 2）已知 ，函数 g（ x） =a 2x 4f（ x）， x 1， 2，求 g（ x）的值域； （ 3）若 a=4，试问是否存在正整数 ，使得 f（ 2x） f（ x）对 恒成立？若存在，请求出所有的正整数 ；若不存在，请说明理由 【考点】 奇偶性与单调性的综合 第 19 页（共 21 页） 【分析】 （ 1）由 f（ x）为 R 上的奇函数可得 f（ 0） =0，解得 k 值，然后进行检验，根据增函数的定义即可证明其单调性； （ 2）由 f（ 1） = 可求得 a 值，则 g（ x） =） =（ 2x 2 x） 2 4（ 2x 2 x） +2，令 t=