山东省临沂市2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年山东省临沂市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 =（ 2， x， 5）， =（ 4， 6， y），若 ，则（ ） A x=3， y=10 B x=6， y=10 C x=3， y=15 D x=6， y=15 2已知 a， b， c 为非零常数，则下列命题正确的是（ ） A若 a b，则 若 a b，则 若 a b，则 若 a b，则 3设等差数列 前 n 项和为 ， 2，则 ） A 49 B 51 C 53 D 55 4 “x， y R， x2+”是 “”的（ ） A充分不必要条 件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5若不等式 x2+m 0，的解集为 R，则实数 m 的取值范围是（ ） A m 4 或 m 0 B m 0 或 m 4 C 4 m 0 D 0 m 4 6命题 p： x R， 2x+2 x 2， q： R， =0，则（ ） A p q 为真命题 B p q 为真命题 C p 为真命题 D（ p） （ q）为真命题 7若双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线方程为 2x y=0，则它的离心率为（ ） A B 2 C D 8在 ， a， b， c 分别为 A， B， C 的对边，若 a+b+c=10， S ， A=60，则 a=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 9若正实数 a， b 满足 a+2b=1，则下列说法正确的是（ ） A 最大值 B + 有最小值 5 C + 有最大值 1+ D 最小值 10已知椭圆 + =1（ a b 0）与双曲线 =1（ m 0， n 0）有相同的焦点（c， 0）和（ c， 0），若 c 是 a， m 的等比中项， 2 等差中项，则椭圆的离心率是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分。把正确答案填写在答题卡给定的横线上 第 2 页（共 16 页） 11在等比数列 ， a1+， a2+，则 a4+ 12已知 A， B， C 三点不共线， O 为平面 一点，若由向量 = + + 确定的点 P 与 A， B， C 共面，那么 = 13若 x， y 满足 ，则 z=x+y 的最大值为 14如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测的公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 1200m 后到达 B 处 ，测得此山顶 D 在西偏北 75的方向上，仰角为 60，则此山的高度 m 15已知 F 是双曲线 C： 的右焦点， P 是 C 的左支上一点，点 A（ 0， ），则 长的最小值为 三、解答题 :本大题共 6 小题，共 75 分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16已知 p： 34ax+0（ a 0）， q： ，若 p 是 q 的必要条件，求实数a 的取值范围 17在 a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，且 ）求角 A （ ）若 a=2 ，求 最大值 18已知数列 足： ，公差 d 0，该数列的前三项分别加上 1， 1， 3 后顺次成为等比数列 前三项 （ ）求数列 通项公式 （ ）设 ，求数列 前 n 项和 19已知过抛物线 p 0）的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A（ B（ 点，且 | （ ）求该抛物线的方程 （ ） O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若 = + ，求 的值 20试通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决下列问题： 如图，已知四边形 为直角梯形， 0，平面 平面 D= （ ）证明： 平面 ）求锐二面角 A B 的余弦值 第 3 页（共 16 页） 21已知抛物线 x 的焦点 F 也是椭圆 + =1（ a b 0）的一个焦点， 公共弦长为 （ ）求椭圆 方程； （ ）过椭圆 右焦点 F 作斜率为 k（ k 0）的直线 l 与椭圆 交于 A， B 两点，线段 中点为 P，过点 P 做垂直于 直线交 x 轴于点 D，试求 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2015年山东省临沂市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本 大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 =（ 2， x， 5）， =（ 4， 6， y），若 ，则（ ） A x=3， y=10 B x=6， y=10 C x=3， y=15 D x=6， y=15 【考点】 向量的数量积判断向量的共线与垂直 【分 析】 根据平面向量的共线定理，列出方程组，求出 x、 y 的值 【解答】 解： =（ 2， x， 5）， =（ 4， 6， y），且 ， 设 = ， R， 则 ， 解得 ， 即 x=3， y=10 故选： A 2已知 a， b， c 为非零常数，则下列命题正确的是（ ） A若 a b，则 若 a b，则 若 a b，则 若 a b，则 【考点】 不等式的基本性质 【分析】 取特殊值，判断 A；若 c 0， B 不成立，通过讨论 符号， D 不成立，从而求出 答案 【解答】 解： a， b， c 为非零常数， 对于 A：令 a= 2， b=0，不成立，故 A 错误； 对于 B：若 c 0，不成立，故 B 错误； 对于 C： 0，若 a b，则 立，故 C 正确； 对于 D：若 号，成立，若 号，不成立，故 D 错误； 故选 C 3设等差数列 前 n 项和为 ， 2，则 ） A 49 B 51 C 53 D 55 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：设等差数列 公差为 d， ， 2， 第 5 页（共 16 页） d=22，解得 d=3 则 1+ =51 故选： B 4 “x， y R， x2+”是 “”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】 解：由 x2+ 得 x=y=0，则 成立， 若 x=1， y=0，满足 ，但 x2+ 不成立， 故 “x， y R， x2+”是 “”的充分不必要条件， 故选： A 5若不等式 x2+m 0，的解集为 R，则实数 m 的取值范围是（ ） A m 4 或 m 0 B m 0 或 m 4 C 4 m 0 D 0 m 4 【考点】 一元二次不等式的解法 【分析】 不等式 x2+m 0 的解集为 R，需 0，解出即可 【解答】 解： x2+m 0 的解集为 R， =m 0， 解得： 4 m 0 故选： C 6命题 p： x R， 2x+2 x 2， q： R， =0，则（ ） A p q 为真命题 B p q 为真命题 C p 为真命题 D（ p） （ q）为真命题 【考点】 复合命题的真假 【分析】 分别判断出 p， q 的真假，从而判断出复合命题的真假 【解答】 解：命题 p： x R， 2x+2 x 2，是真命题， x R， x+1 0，故 q： R， =0，是假命题， 故 p q 是真命题， p q 是假命题， p 是假命题， 故选： A 7若双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线方程为 2x y=0，则它的离心率为（ ） A B 2 C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的渐近线方程，由题意可得 b=2a，求得 c，由离心率公式计算即可得到所求值 第 6 页（共 16 页） 【解答】 解：双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x， 由题意可得 =2，即 b=2a， c= = a， 可得 e= = 故选： C 8在 ， a， b， c 分别为 A， B， C 的对边，若 a+b+c=10， S ， A=60，则 a=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由已知及三角形的面积公式可求 后由 a+b+c=10 以及余弦定理，即可求 a 【解答】 解：在 ， S 5 ， 5 ， 0， a+b+c=10， 10 a=b+c 由余弦定理可得， a2=b2+2（ b+c） 2 3 10 a） 2 60， 解得 a=2 故选： B 9若正实数 a， b 满足 a+2b=1，则下列说法正确的是（ ） A 最大值 B + 有最小值 5 C + 有最大值 1+ D 最小值 【考点】 基本不等式 【分析】 由基本不等式求最值和二次函数求最值，逐个选项验证可得 【解答】 解 ： 正实数 a， b 满足 a+2b=1， 1=a+2b 2 ， ， 当且仅当 a=2b 即 a= 且 b= 时取等号，故 最大值 ， A 错误； 由正实数 a， b 满足 a+2b=1 可得 + =（ + ）（ a+2b） =3+ + 3+2 ，故 B 错误； （ + ） 2=a+2b+2 =1+2 1+2 =2，故 C 错误； 第 7 页（共 16 页） 由 a+2b=1 可得 a=1 2b，由 1 2b 0 可得 b ，故 0 b ， 1 2b） 2+44b+1，故当 b= = 时，式子取最小值 ， D 正确 故选： D 10已知椭圆 + =1（ a b 0）与双曲线 =1（ m 0， n 0）有相同的焦点（c， 0）和（ c， 0），若 c 是 a， m 的等比中项， 2 等差中项，则椭圆的离心率是（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 根据是 a、 m 的等比中项可得 c2=据椭圆与双曲线有相同的焦点可得 a2b2=m2+n2=据 2 等差中项可得 2m2+立方程即可求得 a 和 而求得离心率 e 【解答】 解：由椭圆和双曲线有相同的焦点， 可得 b2=m2+n2= 由 c 是 a， m 的等比中项，可得 c2= 由 2 等差中项，可得 2m2+ 可得 m= ， + 即有 + c2= 化简可得， 即有 e= = 故选： B 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分。把正确答案填写在答题卡给定的横线上 11在等比数列 ， a1+， a2+，则 a4+ 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 设等比数列 公比为 q，由于 a1+， a2+，可得 a2+=q（ a1+解得 q利用 a4+a6=a2+即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， a1+， a2+， a2+=q（ a1+=9q，解得 q= 则 a4+a6=a2+= 6= 第 8 页（共 16 页） 故答案为： 12已知 A， B， C 三点不共线， O 为平面 一点，若由向量 = + + 确定的点 P 与 A， B， C 共面，那么 = 【考点】 空间向量的基本定理及其意义 【分析】 利用向量共面定理即可得出 【解答】 解：因为 A， B， C 三点不共线， O 为平面 一点，若由向量 = + 确定的点 P 与 A， B， C，共面 ， 所以 =1，解得 = ； 故答案为： 13若 x， y 满足 ，则 z=x+y 的最大值为 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ 2， 1）， 化 z=x+y 为 y= x+z， 由图可知，当直线 y= x+z 过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 3 故答案为： 3 第 9 页（共 16 页） 14如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测的公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 1200m 后到达 B 处，测得此山顶 D 在西偏北 75的方向上，仰角为 60，则此山 的高度 600 m 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 在 由正弦定理解出 由正切的定义求出 【解答】 解：在 ， 0， 200， 80 75=105， 5， 由正弦定理可得 =600 又在 ， 0， C00 =600 ， 即山高 600 m 故答案为： 600 15已知 F 是双曲线 C： 的右焦点， P 是 C 的左支上一点，点 A（ 0， ），则 长的最小值为 6 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设双曲线的左焦点为 F，求出双曲线的 a， b， c，运用双曲线的定义可得|+2，考虑 P 在左支上运动到与 A， F共线时，取得最小值，即可得到所求值 【解答】 解：设双曲线的左焦点为 F， 由双曲线 C： 可得 a=1， b=1， c= ， 即有 F（ ， 0）， F（ ， 0）， 长为 |2， 由双曲线的定义可得 | |=2a=2， 即有 |+2， 当 P 在左支上运动到 A， P， F共线时， |取得最小值 |=2， 则有 长的最小值为 2+2+2=6 故答案为： 6 三、解答题 :本大题共 6 小题，共 75 分。解答须写 出文字说明、证明过程或演算步骤 . 第 10 页（共 16 页） 16已知 p： 34ax+0（ a 0）， q： ，若 p 是 q 的必要条件，求实数a 的取值范围 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据命题充分条件和必要条件的定义和关系，即可求实数 a 的取值范围 【解答】 解：由 34ax+0（ a 0），得（ x a）（ 3x a） 0，得 x a， 由 ，得 ，即 1 x 2， 若 p 是 q 的必要条件， 则 即 2 a 3，即实数 a 的取值范围是（ 2， 3 17在 a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，且 ）求角 A （ ）若 a=2 ，求 最大值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）由正弦定理化简 已知可得： 合 0，解得，结合范围 0 A ，即可得解 A 的值 （ ）由余弦定理可得 12=b2+用基本不等式 b2+2可解得 12 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ ） 由正弦定理可得： 0 B ， 0， ， 又 0 A ， A= 6 分 （ ）由余弦定理可得： a2=b2+2 a=2 ， A= 12=b ，即： 12=b2+ b2+2 12，当且仅当 b=c=2 时， 到最大值 1212 分 18已知数列 足： ，公差 d 0，该数列的前三项分别加上 1， 1， 3 后顺次成为等比数列 前三项 （ ）求数列 通项公式 第 11 页（共 16 页） （ ）设 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ I）设等比数列 公比为 q，从而可得（ 2+d） 2=2（ 4+2d），从而解得； （ （ I）知 =（ 2n 1） ，从而利用错位相减法求其前 n 项和即可 【解答】 解：（ I）设等比数列 公比为 q，则 b1=2， b2=2+d， b3=4+2d， 故（ 2+d） 2=2（ 4+2d）， d 0，解得， d=2， q=2， 故 n 1， n； （ （ I）知 =（ 2n 1） ， 故 +3 （ ） 2+5 （ ） 3+（ 2n 1） ， 2+3 （ ） +5 （ ） 2+（ 2n 1） （ ） n 1， +1+ +（ ） n 2（ 2n 1） =1+ （ 2n 1） ， =3 19已知过抛物线 p 0）的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A（ B（ 点，且 | （ ）求该抛物线的方程 （ ） O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若 = + ，求 的值 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ ）求得抛物线的焦点，设出直线 方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得 p+p= ，解方程可得 p，进而得到抛物线的方程； （ ）求得交点 A， B 的坐标，由向量的加减运算，可得 C 的坐标，代入抛物线的方程，即可得到所求值 【解答】 解：（ ）抛 物线 p 0）的焦点为（ ， 0）， 则直线 方程为 y=2 （ x ），代入抛物线的方程， 第 12 页（共 16 页） 可得 45px+，可得 x1+p， 由抛物线的定义可得 |x1+x2+p， 由已知，得 p+p= ， 解得 p=2， 即抛物线的方程为 x； （ ）由 p=2 可得 25x+2=0， 可得 x=2 或 ， 即有 A（ ， ）， B（ 2， 2 ）， 设 =（ =（ ， ） +（ 2， 2 ） =（ +2， +2 ）， 即有 +2， +2 ， 由 得 （ 2 1） 2=4（ +2）， 即（ 2 1） 2=1+4， 解得 =0 或 2 20试通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决下列问题： 如图，已知四边形 为直角梯形， 0，平面 平面 D= （ ）证明： 平面 ）求锐二面角 A B 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）以 C 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 平面 （ ）求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能求出锐二面角 A B 的余弦值 【解答】 证明：（ ） 平面 平面 面 面 C， 面 平面 两垂直， 以 C 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（ 0， 2， 0）， D（ 2， 0， 0）， E（ 0， 0， 2）， A（ 2， 1， 0）， F（ 0， 2， 1）， 第 13 页（共 16 页） 设平面 法向量 =（ x， y， z）， =（ 0， 2， 2）， =（ 2， 0， 2）， 则 ，取 x=1，得 =（ 1， 1， 1）， =（ 2， 1， 1）， =0， ， 面 平面 （ ）设平面 法向量