【课题研究结题报告】中国和新加坡小学数学学科教学的比较研究

课题名称： 中国和新加坡 小学数学学科教学 的比较 研究 课题批准号： 题级别： 教育部规划课题 学科分类： 基础教育 课题负责人： 沈丹丹 宁波大学 主要成员： 魏亚琴 戚昆仑 杨 宏 周静珠 徐晓萍 金 莹 李秉彝 马 蕾 研究总报告 中国和新加坡小学数学学科教学的比较研究 一、 内容提要和内容结构图 内容提要 本研究通过比较两国小学数学 新课程改革的实施情况、课程教材、评价 方法，发现共性与差别 ，提出改革的意见和建议 ； 通过实地指导 原新课程实验学校 ， 开展“小学生数学元认知能 力培养的理论与实践研究”，“小学数学单元教学策略的研究与实践” 、“小学数学综合实践活动的研究” ， 了解小学数学教学内容的 选择与开发情况，总结新的有效的教学策略，形成相关的案例，为小学数学学科教学研究提供丰富的课程资源。逐步 构建适合小学教育本科专业需要的小学数学 实践教学新体系，为小学教育本科专业的教材建设服务。通过小教本科专业课程小学数学课程与教学论精品课程的建设，为提高师范生的执教能力、拓展专业视野和专业水平服务，帮助师范生掌握小学数学教学常规， 促进小学 数学教育理论与实践的有效联结。 内容结构图 小学数学教例剖析与教案研制（专著） 2004 年出版， 2009 年第 4 次印刷 研究成果 ： 前期研究 成果 中、新小学数学教学交流（录像 2008 年） 中期成果 最终成果 中、新 交 流 论文 实践教材 其他 2008 年 11 月 标志性论文 1 篇 其他 4 篇 子课题 精品课程 主编 1 套 12 册， 2010 年宁波出版社 研究报告 、课题结题 参评市或省教学成果奖 编写本科教材 二、主体部分 （一）研究问题 本课题是对中国（ 2001年开始实施）、新加坡（ 2007年开始实施）小学数 学新课程实施情况 、小学数学教材、小学数学评价等问题 进行比较 研究的基础上，以草根的模式，从教学实践的视角对我国新课程实施后 小学数学课程目标、教学内容进行反思和研究 ，并就 “小学生数学元认知能力的培养”，“小学数学单元教学策略” 、“小学数学综合实践活动”三个专题进行实证研究，在此基础上开发出符合新课程目标需要的师范生实践教材，逐步建设省精品课程小学数学课程与教学论，促进小学教育本科教育质量的提高。 研究的目标： 了解新加坡新课程实施情况，比较中新两国的小学数学 课程教材与评价方法 ，发现共性与差别，结合新课程标准 构建适合小学教育本科专业需要的小学数学实践教学新体系，通过小学数学基础知识、小学数学教学内容与方法、小学数学教育理论的研究，促进理论与实践的有效联结， 帮助师范生掌握小学数学教学常规， 为小学教育本科专业的教材建设服务， 为提高师范生的执教能力和专业水平、拓展专业视野服务 。 研究内容 ： 1、中国、新加坡新课程实施情况与小学数学教育现状比较，主要研究新加坡小学数学教材的发展过程和特色 。 2、 小学数学教学实证研究 。 主要包括“元认知理论指导下的小学数学教学案例研究”，“小学数学大单元教学法的可行性研究”，以及“小学数 学综合实践活动设计研究”。 3、 小学教育本科专业实践教材的研究。 以数学课程标准为依据，以小学数学教材、数学教学规律、数学教法为研究对象，通过实践教学，使师范生形成正确的教育理念，具备较好的专业技能，在专业眼光的指导下开展小学数学 课堂 教学 设计 ，并通过教学反思，激发专业热情，增强专业自信，实现教师专业的可持续发展。 研究假设： 通过中、新两国新课程实施情况与教育内容、教育评价的对比研究和课堂观察，发现共性与差异； 通过小学数学基础知识、教学内容与方法、教育理论的一体化研究，构建适合小学教育本科专业建设需要的实践 教学新体系，促进小学数学教学理论与实践的密切联系。通过 小学数学教学实证研究 ， 为小学数学学科教学研究提供丰富的课程资源 ，开发 常规教案，使之为新教师的入职提供必要的帮助，打造创新教案，能 为孜孜不倦追求课堂教学改革和创新的优秀教师提供借鉴和启示。 核心概念： 小学数学学科教学研究： 通过小学数学基础知识、小学数学教学内容与方法、小学数学教育理论的研究，促进理论与实践的有效联结，构建适合小学教育本科专业需要的小学数学教育新体系。本研究 是 对中国、新加坡小学数学新课程实施情况进行比较研究的基础上，以草根的模式，从教学 实践的视角对我国新课程实施后的小学数学课程目标、教学内容、课堂组织、教学方法进行反思和研究。 数学模型方法 ： 是通过建立和研究客观对象的数学模型来揭示对象的本质特征和变化规律的一种基本数学方法， 本 研究的小学数学模型方法是指通过作形象化的图形来展示事物各部分之间的关系，以此帮助学生理解问题、提高解决数学问题能力的一种方法。 小学生的数学元认知能力 ： 所谓元认知就是指个体对自身认知过程的认识和意识。 本研究 将元认知理论与小学数学教学结合起来，帮助小学数学教师掌握元认知训练的方法和策略，不断改进其教学方式，在元认 知提问、数学问题解决、合作交流、数学日记、数学编题等五个方面对小学生进行训练，进而提高小学生的数学元认知能力 小学数学大单元教学策略： 所谓小学数学大单元教学策略就是指在教学实践中，以整体优化为原则，对教材的同类内容进行重组，对重难点内容进行合理分解，以知识板块的形式进行教学。这样的教学策略不仅仅是简单的合并，还有重难点的分解、教学进度的合理化、数学知识的拓展等等。通过这样的研究与实践，使教学成为有效教学，促进学生的学习，在有限的教学时间内，让学生愉悦地获得最大的进步或发展。 综合实践 活动 ： “综合实践 活动 ”是 指数学与外部世界的联系、数学学科内容之间的内在联系，以及数学在分析和解决问题过程中的综合应用。 （二）研究背景和文献综述 选定此课题源于在小学第一线见证、参与了以 2001年出版的全日制义务教育 数学课程标准 （ 实验稿） 为基础的新课程改革实验，至 2007年 6月，实验班的第一届学生已小学毕业。目前，新课程标准和各版本的实验教材正在修订之中，作为全国 38个国家级实验区之外的一个实验点，虽然是以草根的形式参与小学数学新课程改革，却更充分、更真实地了解与经历了实验过程中的成败得失，其中“理想的课程”与“实施的课程”之 间如何缩小差距是我们一直思考和困惑的问题，认为需要一个“二传手”，使理论与实践之间的联系不是一招一式的联系，而是一个 系统的桥梁工程，为此需要对小学数学学科教学进行系统研究，让师范生在剖析与研制教案的过程中提高自己的教育理论素养，在分享一线教师经验的过程中，提高自己的教学实践技能。 另一方面 作为 建这个桥梁的是南洋理工大学国立教育学院，他们集培养与培训于一体，全力协助教育部推进新课程改革，并及时编制了相应教材，所以，新加坡于 2007年一年完成了1课程改革工作，目前进展顺利。显然，这里的“二传手”作用不可或缺。基于中国、新加坡新课程比较下的小学数学学科教学研究，为我国新课程改革的实施和调整提供了一个新的研究视角。 研究人员 通过与 新加坡 课程专 家访谈、实地听课、上课以及对中、新两国小学数学教材的比较，分析新加坡的 数学教育改革 现状，以期发现 小学数学教学改革 的新的突破口，为提高 小学数学教育质量 服务 。 在对比的基础上开展小学数学学科教学研究，目前研究不多，虽然有 吴泽菲，梁肇军 （ 1998）的 中国与英国初中数学课程比较 ， 鲍建生（ 2002） 也 将中英初中数学教材作为其 博士论文的研究对象，建立了由探究、背景、运算、推理和知识含量五个因素构成的综合难度模型，并据此对中英两国初中数学课程综合难度开展了比较研究。此外，曹培英（ 2000）选择了上海的地方性数学教材与日本的数学教材作为研究对象，对中日小学数学教材的教学内容、教材编排及编写特点进行了比较。朱乐平（ 2002）对中德小学数学教材的编排体系和特点从宏观和微观两个角度进行了比较。阮夏强（ 2004）进行了初中数学新旧教材及教学实践的比较，发现新旧教材在编排体系上、知识结构、思想理论、内容安排、教学方式上都发生了重大的变化。还有 一些数学一线的老师也对新老教材进行了初步的比较研究，如李泽衣（ 2002）通过对初一新老教材的比较研究提出了使用新教材教学的一些见解等。 另有孔企平（ 2006）对新加坡小学数学课程特色的研究，但尚未发现新加坡小学数学课程教材、教学评价的对比研究，在对比研究的基础上进行实证研究，开发符合 新课程目标需要的师范生实践教材是也未见有系统的研究成果。 此外，作为本课题的实证研究基地江东镇安小学、宁波市实验小学和广济中心小学，已经有相关的研究基础，能提供大量的案例，帮助开发实践教材，能为提高师范生的执教能力和专业水平、拓展 专业视野服务 。 （三）研究程序 1、 研究方法与研究工具： 访谈法：本研究从观摩与访谈（访谈提纲自编）两国课堂教学入手，了解两国新课程实施情况 。 比较法：通过课程、教材、课堂组织与教学方法的比较，发现共性与差别； 案例 法： 通过打磨课堂教学 ， 发现 新的有效的教学策略 ，开发小学数学教学案例 。 文献法：查阅中、新两国相关教材和课程方案， 发现改进方法 实验新课程六年（ 2001 2007） 2、技术线路： 前期研究 新加坡访学半年（ 2007 2008） 文献查阅 方案设计 论文 比较研究 本科课程与实践教材 开发 实证研究 案例 课堂教学交流 学术交流 大单元教学法 元认知研究 总结与修正 撰写教材与研究报告 成果 发表 论文 出版专著 或教材 研究报告 （评奖） 教师培养与培训 结题论证 3、实施步骤： 2001 年 9 月 2007 年 6 月，小学数学新课程实验，对实验效果进行反思和交流（沈 丹丹 、戚 昆仑 ）。 2007年 11月 2008 年 4月，去新加坡访学，进行比较研究（沈 丹丹 、李 秉彝 ）。 2008年 4月 2008 年 5月， 研究设计与申报（沈 丹丹 、魏 亚琴 ）。 2008年 6月 2009年 12月 实证研究：小学数学大单元教学法的可行性研究（戚昆仑、周静珠 ），元认知理论指导下的小学数学教学案例研究（ 沈丹丹、 魏 亚琴 、徐晓萍 ）， 小学数学综合实践活动研究（金莹、杨宏），撰写发表研究论文、案例，出版教材。 其中， 2008年 11月， 中、新小学数学教学学术交流与课堂教学交流 ，（沈丹丹、李 秉彝 ）。 2009年 12月 2010 年 5月，撰写报告与教材， 结题论证（沈 丹丹 、魏 亚琴等 ）。 （四）研究发现或结论 1、 从 中、新（加坡 ）课程教材 比 较中发现 本研究 通过与课程专家访谈、实地听课、上课以及对中、新两国小学数学教材的比较， 发现 新加坡小学数学教材 从借用国外到独立开发，直至目前形成了开放的教材开发系统。其基本的发展趋势是国家确定课程标准，出版社根据市场需要开发教材，学校有充分的自主权选择教材。 新加坡的教材具有以下三大特色 （ 1）充裕的数学教学时间使教材多采用小坡度螺旋编排 新加坡的新课程 标准中规定了不同层次学生用在数学上的不同上课时间要求，我们与我 国的课程设置 要求对比 发现： 新加坡的数学教学总时间明显多于中国，六年平均周教学时间中国只有新加坡的 60%左右 。 由此反映在教材编排上，虽然两国教材都根据学生的身心特点，遵循“由浅入深，由易到难，螺旋上升”的编排原则，但新加坡教材上升的坡度比中国小。以分数为例，中国教材是分两个阶段集中安排在三上、五下，紧接着于六上完成分数的教学（包括分数、小数四则混合运算）。而新加坡的教材是从二年级开始认识分数，分布在二下、三下、四上、五上、六下，横跨五个年级，且对分数、小数四则混合运算不作要求。 （ 2）详尽的课程计划与严格的审核制度促使 教材合理安排教学内容和教学时间 尽管新加坡的教材开发系统是开放的，教学时间是充裕的，但由于教育部制订的课程标准中对具体内容的具体要求都有详尽的规定，要求出版社与教材编写成员共同执行，所以，教材虽有各种版本，但其基本内容大致相同。新课程标准的这些要求体现在新加坡的教材上，每类题目出现在哪个年级、深浅度如何；从五年级开始，还包括能否用计算器等都会明确标记。 同时，新加坡教材实行严格的审核制度，除了审核教学内容的范围是否超出课标要求，还要审核每题的深度与要求是否超出课标要求，促使开放的教材开发系统能遵循统一的 课程标准要求。此外，教育部鼓励学校和教师自主开发教材，除统一按课程标准要求完成基本的教学任务外，容许各学校对资优学生采用不同的教学内容和教学方法，以促使“ 1% 2%的天才学生脱颖而出，成为国家的栋梁之才”。笔者蹲点学校中的“天才班”，其教学内容、教学方法与普通班就有很大的差别，教学进度也完全不同。 教材中，对于不同教学内容的教学时间分配，虽可以由教材编写者自己决定，但如前所述，由于新加坡课程标准对各年级的要求规定得比较细致，所以，拓展空间不大。鉴于两国教学总时间不同，不能直接比较，但我们按整数、分数、小数等进行分类对比，并改用百分比，即用各类内容的教学时间占总教学时间的百分比进行对比分析，还是能够反映两国在教学内容与教学时间安排上的侧重点，从中发现新加坡教材与课程的一些特色（见表 5）。 表 1 中国、新加坡小学数学各类教学内容的教学时间统计表 单位： 1% 整数 分数 小数 百分数 比和比例 代数 测量与几何 数据分析（统计） 数学活动与解决问题 ( 包括速度 ) 总复习 合计 中国 00 新加坡 00 注 :表 5 中的 各类教学内容的 教学时间是根据两套教材的教学参考书所提供的参考课时数分类统计所得。 从表 5 可知，两国用于整数、分数、小数的教学时间基本相同，用于百分数、比和比例、几何上的时间新加坡明显多于中国，而用于代数与数据分析上的教学时间则明显少于中国。 （ 3） 完整的教材配套措施保证教师能“守住”教学的基本要求 新 加坡的教材分三个部分构成一个完整的教学资源。一是学生用的教材，一年两本；二是学生用的作业本，一年四本（六年级只有两本，教师可以根据学生实际情况灵活安排）；三是教师的教学用书（类似于中国的教学参考书），一年两本。与中国不同的是新加坡除学生用的教材外，作业本也要经过教育部审核批准，而且作业本是作为每个学生都应完成的“底线”，以保证达到课程标准中规定的教学目标。教师用书中，不仅有参考的教学时间安排，教学方法指导，还对教材中的每一道习题都提供了答案，“以保证教师不要教错、讲错”，这可能与新加坡小学教师的工作性质（一 人教多门学科）与工作量（周教学工作量 30 节以上）有关。 此外，新加坡教材的呈现方式也与中国有较大差别。中国的教材例题与练习题有明显的区别，而且学习的主要内容是通过例题呈现的，所以，例题的选择比较经典，同类型的问题不可能有两个例题，对形变实质不变的问题都会放到做一做、练一练或习题之中。而新加坡的教材中例题与练习题没有明显的区别。以异分母加法为例，中国教材通过一个例题 1/4+3/10 说明异分母加法的计算法则，再通过做一做巩固法则，然后通过练习题形成技能。而新加坡教材中，则是出示一系列的加法题： a)1/3+1/9 b)1/6+2/3 c)2/9+2/3 d)1/6+1/12 e)1/12+2/3，教师可以自由选择其中一题或几题作为例题。同时教材中还注意了用不同符号表示不同的教学要求，如 用菱形表示是上课之前要求掌握的技能，用正方形表示新学的内容，用圆形表示高水平思维，让教师明白哪些是人人都要掌握的基础知识与基本技能，哪些是用于拓展的 ，以保证教师能“守住”教学的基本要求，对不同学生进行分层教学。 结论： 新加坡 开放的教材开发系统、充足的数学教学时间、 完整的教材配套资源的数学教育现状，认为新加坡数学教育具有大众化与精英化并列、规范性与灵活性共存的特色，其计划性与市场性和谐统一、传统教学内容与现代教学思想相互交融的数学教育改革，对深化我国小学数学教学改革、确保小学数学教育质量有一定的借鉴意义。 2、从中、新（加坡）教学评价的 比 较中发现 在 新加坡 ，学校 非常重视对学生的评价，尤其注重纸笔测试在学生评价过程中的作用。新加坡小学数学试卷的测试内容全面，在测试难度 上能够对学生的能力进行有效的鉴别。根据 新加坡 某著名小学在五年级到六 年级 分流考试（“高利益相关考试”）中的 小学数学试卷 ，通过 分析 其测试时间、类型及内容分布，我们可以发现新加坡小学数学 测试方面的特点。 我们选取的新加坡小学五年级 试卷包括四道大题，共计 48 道小题， 100 分制， 测试时间为 2 小时 15 分。其中， 第一道 选择题 分 15 个小题共 20 分，前 10个小题每题 1 分后 5 个小题每 题 2 分。第二题为填空题 分 10 个小题 共 10 分，第三题为简单的问题解决 也有 10 个小题 ，每题 2 分。第四题为复杂的分步列式问题解决题目 ， 共 13 个小题 占 50 分。 整张试卷的内容分布介绍如下： 表 2 学五年级试卷的测试内容分布表 测试 内容 数 与代数 测量 与 几何 数据分析 比和比 例 整 数 分 数 小 数 百 分 数 长度和质量 面积和周长 体积 钱 币 三角形 角 镶 嵌 平均数 统计图表 比和 比 例 所占比例 % 计 % 照新加坡 2006 年 新颁布的小学数学 新 教学大纲，整张试卷几乎包含了大纲要求 五年级学生必须掌握 的全部内容，从而可以看出，新加坡的小学数学测试非常注重对学 生对所学内容的整体掌握程度， 体现一定的广度，同时在试题的难度上， 有利于对学生能力进行甄别 ，是学生进一步分流的主要依据 。 （ 1）新加坡数学教育以问题解决为中心的特点，在本张试卷中得到了很好的体现。比如“ 1 支钢笔与 4 支铅笔共用 、苹果 1 元钱 3 个 ”等情况在新加坡生活中经常遇见，如何利 用“数学模型方法”（而不是代数方法），打通形象思维与抽象思维之间的“数学通道”，搭建已知与未知量之间的桥梁，“把本来只有少部分人会做的数学，变成了大部分学生都能完成的问题解决”，同时形成能力，是新加坡数学教育自 80 年代“系 统改革”以来长期关心的问题 。 （ 2）新加坡“测量与几何”的内容选择与我国有一定的差异。如根据三角形的内角和求外角等内容，我国是在安排在初中学习的。对平面和立体图形的有关内容的考试，本试卷是与其他领域内容整合在一起，体现出一定的难度。我们从具体试题中也可以看出新加坡小学数学试卷的广度，以及对试题难度的把握。比如求第 10 题，需要知道三角型的外角是其不相邻的两个内角之和，而且，还需要减去已知的 70 度，才能求出 X 的值，这对未学过代数初步知识的新加坡学生来说还是有一定难度的；可见新加坡在测量和几何这个领域中，内容选择 比我们更经典，更难，选择的领域也是有差异的。 （ 3）新加坡统计的知识领域的广度不及我国，但在培养学生分析统计图表的能力，以及如何结合生活灵活应用方面有自己的特色。随着信息时代对我们数据搜集、整理、分析能力要求的提高，本试卷在内容选择上仍从学生的生活经验出发，避免了学生的认知困难，解决的也是学生自己或家庭经常遇到的问题，让学生“为考试学”的基础上，达到“在考试中学”的目的。同时，试题在问题的设计上很巧妙，如停车场的问题，很多学生因为生活经验的缺乏而解答为 2+= ，或受思维定势的影响而解答为 见新加坡的这些试题对学生积累生活经验，养成良好的学习习惯和全面细致分析问题的思维习惯有很好的启示作用。 结论： 新加坡的数学知识范围广，传统内容保留较多，特别是在 1997 年新加坡教育部 “思考的学校，学习的国家”（ 教育总目标提出后，数学教育开始了“删减课程内容，注重思考”的改革之路，至2005 年的新课程改革（ 2006 年颁布教学大纲， 2007 年小学正式开始实施），进一步凸现问题的思考过程而非解题技巧，同 时，重视学生的自我监控和自我调节等，使“小学数学课程进一步变宽了”。 本研究通过 有代表性的一些试题对新加坡的小学数学纸笔评价进行解读，从中已能体悟其“体现广度，把握难度，突出数学思考过程”的考试评价特点，对我国新课程改革中考试评价改革的稳步推进，有一定的借鉴意义。 3、从小学数学解题策略的比较中发现 新加坡自 1965 年独立以来，在经历了生存驱动教育、效率驱动教育后，进入到能力驱动教育阶段，即社会的发展要求人们具备更高的实践能力和创新能力 解决问题的能力。为此， 1990 年，“在整个世界都重视过程的潮流中 ”，新加坡进行了课程改革，构建了新的数学课程框架（五角形图），其主要特征是 强调解决问题在数学学习中 的重要性，把解决问题放在数学学习的核心。为了达到这个目标，教育部采取了两项措施：一是 重视 解决问题的方法， 二是对 老师进行解决问题 能力 的 培训 ，这里的解决问题方法除了我们 熟知的“具体 图像 抽象”教学法，还有建构数学模型法。我们分析与研究了 新加坡小学数学 “模型方法（ 在小学数学解决问题中的作用。 所谓 数学模型方法是通过建立和研究客观对象的数学模型来揭示对象的本质特征和变化规律的一 种基本数学方法，小学数学模型方法是指通过作形象化的图形来展示事物各部分之间的关系，以此帮助学生理解问题、提高解决数学问题能力的一种方法。根据皮亚杰的理论，小学生还处于认知发展的具体运算阶段，此时的特点是思维的内容和形式不可分，即形象思维发达、抽象的逻辑思维能力还未成熟。小学生思维的这种特点与数学知识的抽象性之间无疑形成了矛盾，也正是由于这一矛盾的存在，使得新加坡的小学数学教学非常重视数学模型方法的教学。数学模型方法的具体、形象性特点不仅使这一矛盾迎刃而解，而且在提高小学生的问题解决能力方面也发挥了 重要 作用。 与我国不重视线段图的做法不同，新加坡在经过 1990 年的课程改革后，其教学法中的数学模型法成为新加坡数学教育的一大特色。 新加坡 把数学模型方法作为重要的解题策略，不仅教材中有许多范例，作业中也要求学生用图形展示其思考过程，并把数学模型方法作为新加坡的数学教学特色和重要的学习策略积极向外推介。 我们把 新加坡 与 我国 的 小学进行了 解题能力的测试比较，现介绍 如下 。 例 ：在一个俱乐部里，女孩比男孩多 12 人，女孩的 1/3 与男孩的 1/4 在运动场比赛，比赛的人中，女孩比男孩多 6 人，用分数表示没有参加比赛的男孩占俱乐部总人数的几 分之几？ 有关分数的应用题在小学中本来就是难点，再加上题目中是男孩的 1/4 与女孩的 1/3（单位“ 1”不同 ）进行比较又加大了问题的难度。从测试的情况来看，我国学生的解题正确率不足 10%，在与学生的访谈中，大部分学生反映 题目条件大多无从下手， 当 教师给学生画出如下 图示时，学生解答此题正确率明显提高 。 女孩 1 个单位 6 1 个单位 6 1 个单位 6 男孩 1 个单位 1 个单位 1 个单位 1 个单位 比女孩少 12 解答： 3 个单位 +3 6 个单位 1 个单位 ： 3 6 12=6 总人数 7 6+18=60 3 个单位 =3 6=18 18： 60=3/10 诸如此类的 问 题对一个小学生来说确实很难，但在新加坡，这样的题目非常普遍，学生利用模型方法和归一的思想基本都能解决问题 。 显然，把数学模型方法作为一种解题策略，打通了形象思维与抽象思维之间的“数学通道”，“能把本来只有少部分人会做的数学，变成大部分学生都能完成的问题解决”。虽然我国也有线段图，但是在解题时绝大部分学生却想不到用它来解题，即使想到了，又由于平时很少使用而盲目套用，没有上升到“策略”的高度，不利于问题的解决和思维能力的培养。 结论 ： 我国新课程虽然 注重学生解决问题能力的培养，小学数学教材在 例题的选择和呈现方式上都力求从学生的生活经验和认知水平出发，但原来的“线段图”已基本淘汰 。注重让学生在大量实例的基础上建立起数学模型，重视的是数学模型的建立过程，而不是把它作为解决数学问题的重要方法 和策略，数学建模的思想果然重要，把数学模型方法作为解决问题的策略也有其特定的作用。 在我们了解新加坡小学数学模型方法 的广泛应用与理论基础后， 能对我国正在进行的 “ 深化教学改革 ” 有所借鉴。 4、 从中、新（加坡）两国特级教师访谈及其课堂教学的 比 较中发现 中国 大陆 和新加坡两地数学特级教师作为 教学实践上的行家能手，他们对所教数学学科、对有效数学教学的认识，是否存在差异？在有效教学的具体经验方面，有没有可资 相互借鉴和学习的地方？ 本研究 通过访谈中国大 陆、新加坡的两位小学数学特级教师，进行个案对比研究，发现 共性多于差异，认为共性可能来自于数学及数学教育本身的特点，而差异则来自两国文化、教学理念，以及个人的教学经验。 （ 1） 对数学学科的认识以及对学生学习数学目的性的认识基本一致 我们选定的 两位 特级 教师 走入教学岗位之前 的初始学历都 相当于中等师范学校毕业 ，因此 从 专业 教育 背景分析，他们可能直接接触高等数学的机会相对较少，但 访谈中他们 还是用朴素的语言说明了数学是经验科学与演绎科学的辩证统一。两位特级教师都认为数学是一门揭示关系、形成方法、开发思维、并与 人们 的日常生活有密切联系的一门学科。关于对学生学习数学的目的性认识，两位老师的认识也基本一致。两位特级教师的这些共同认识， 反映 了数学教学之共性，就如 吴晓红 、 郑毓信 所指出的， 更一般地，这种共性很大程度上是由数学学科本身的特点决定的 。 （ 2） 对有效教学的认识一致，教学理念有差异 谈到对有效教学的认识， 的 两位特级教师 都一致认为 ： 有效教学意味着有效学习 。 最近几年来，教育的有效性是很多教育研究者和教师十分关注的一个问题，尤其在中国大陆作为一个热点话题有不少讨论。就如有学者所指出的，在教学上， 所谓 有效 ，主要是指通过教师在一段时间的教学后，学生所获得的具体进步或发展 。 而 有效教学 ，归根结底离不开有效地促进学生的全面发展，而学生的全面发展又是以有效地改善学生的学习方式和提升教师的专业水准为前提的 （ 钟启泉 ， 2007） 。 可见，优秀教师的一 个共同的特征是关注学生，但进一步 分析，两者关注的角度是有差异的 。新加坡的 S 老师是从与学生交朋友、向学生学习的角度来关注学生、分享知识 ， 而大陆的 C 老师是从如何合理组织教学活动，让学生主动探索，以提高学生的学习效率来关注学生。 S 老师重在考虑学生如何学，而 C 老师重在关注如何教才能促进学生的学。 以学促学 ，或是以教促学 ，反映出他们教学理念上的差异。 （ 3） 对有效教学的具体经验中有文化上的差异 为了进一步了解不同文化、不同的教学理念对教学设计 可能产生 的影响，我们请两位特级教师对同一内容 三角形的内角和 ，分 别根据自己的教学经验谈了他们的不同教学设计。 结果发现这 两位特级教师都十分注重让学生在实践中发现数学问题（都从量角开始感知），并注意引导学生自己去验证，都注意到了数学的应用。尽管从严格意义上说，两位老师所用的验证都不是数学中的演绎与证明，但他们都力求体现数学是经验性和演绎性的辩证统一的思想。如 S 老师通过向学生说明 数学家 已经证明（事实上，他们到了中学就能证明），来强调数学是需要证明的。而 边形、直至多边形让学生体会数学的知识体系。 同时，两位特级教师都十分关注学生的 知识基础，但 S 老师以其丰富的教学经验，注意关注学生可能有的想法和错误，如让每个学生任意画三个不同的三角形，避免学生产生 这只是一个特例 或 只有老师画的三角形的内角和才是 180度 的误解，又如在剪、拼前让学生给三个角涂上颜色，不仅能在展示中因色彩鲜艳而吸引学生的注意力，更可防止学生因找不到原来的三个角，而失去验证的意义，而这也正是普通老师不太容易关注到的。 C 老师则十分重视针对不同学生设计不同的教学起点，关注教学设计的有效性与课堂结构的完整性和规范性。 为了解释和验证新加坡与中国大陆在课堂结构上的差异， 我们 分别看了两位老师的课堂录像（ S 老师的是 探究怎样的六个面能围成正方体和长方体 ， 圆柱体的认识 ），并到新加坡有关小学共听了 8 位 不同老师 所教的 42 节数学课，访问了 在 新加坡 国立教育学院任教 的两位小学数学学科教学法 专家。 对比 中国大陆 小学数学课堂教学 的设计 ，发现新加坡与中国大陆在课堂结构上确有明显的差异。 中国大陆的课堂教学一般是 40 分钟（也有 30 分钟、 45 分钟、甚至 50 分钟的），每节中间休息 10 分，并按新授课、练习课、复习课等六种课型组织安排教学活动，不同课型有不同的任务 。对此， C 老师 有生动的比喻， 他 把新授课比做 是从河蚌中掏珍珠 ，练习课比做 把掏出来的珍珠擦亮 ，复习课是 把这些珍珠串成了项链 ，而 最近 新 课程改革中提倡的 综合实践活动课则 相当于把项链卖出去 ，足见中国大陆一线教师对课堂结构的重视。 张奠宙 （ 2002）曾 分析说，大陆 课堂结构的这些基本要求从前苏联传入一直沿用至今，虽已历经 多 次改革（目前的新课程改革认为是第八次课改），但仍未脱离前苏联教育家凯洛夫 五段式 入、讲授（新课）、巩固、作业 的基本框架。这从另一个角度思考，说明这种课堂结构具有一定的有效性，而且结构本身的内涵 在不断的丰富与发展。如 C 老师把原来的 复习引入 改为 创设情景，初步感知 ，把原来的 新授 改为 探究与验证 ，把原来的 巩固 ，改为 应用与拓展 等，体现了作为特级教师对原有课堂结构在继承基础上的创新。 中国大陆的教师更多的会考虑如何设计教学过程使教学有效，有些设计可谓到了经典的程度，总之是想尽一切办法完成教学任务。 新加坡的课堂结构多是根据学生的实际情况安排教学环节 。 新加坡 教师 有时会在一节课 30 分钟里，把 20 分钟都用于复习或订正作业，而把剩下的 10 分钟用于讲授新知识，有时会连上两节一个小时，半小时讲解或讨 论，半小时做作业。有时会整堂课都讲例题，且有五、六个例题，结束后也很少有小结，而这在中国大陆都认为是不规范的。新加坡没有我们平常理解的一节课的概念，一般每天从上午 7 点半到下午 1 点半连续不断地上课，下午放学或安排其他课外活动，每节课中间没有休息（除了九节课中间的半小时 休息 时间） 。 新加坡的教师更多的会考虑学生已经掌握了多少，还能学习多少，顺着学生的学习进度安排教学进程。 但 值得指出的是， 他们都遵循了数学教学的一般规律： 感知 抽象 理解 应用 ，数学教学效果都令世界各国瞩目 (关于中国大陆和新加坡学生在国际 大型数学成绩比较研究中的表现，可见 范良火 , 2005)。 2008 年 11 月，我们专程请新加坡的这位特级教师（访谈中 S 老师）与大陆的特级教师林良富（访谈中的 空间与图形的教学内容进行课堂教学展示，下面是课题组成员杨宏老师听课后的 理解和发现 。 “回顾罗 （ S） 老师的整个教学过程，师生对话中没有一句定义概念的语言，但是抽象的概念却在学生直观的操作活动中被生动地建立起来了。正如荷兰数学家弗莱登塔尔所说的： 学一个活动的最好方法是做， 通过再创 造获得的知识与能力要比以被动方式获得者，理解得更好也更容易保持。 对比我自己的教学，我不由得为这位新加坡老师的教学智慧所折服，容积 ，这个我们一直以来都认为并非教学重点的几何 概念，一般是不会花费很多时间去教学的，然而到了新加坡老师这里，容积 却成了一个 重要的研究问题，她抓住学生形象思维占优势的认知特点，精心设计了 制作 比 较 的实验活动，把原本很抽象、难以感知的几何概 念转变成学生看得见、摸得着、可比较的事物，让学生在动手实践中去创造 几何概念，亲身体验概念的产生和表现，从而建立起几何概念的正确表象，我觉得这样的几何教学扎实而有深度，带给学生的感受远比我的简单引入所要深刻的多。 事实上，小学阶段学习的几何应该属于直观几何，学习直观几何就得采用儿童喜欢的剪一剪、折一折、搭一搭、量一量等具体的活动方式，让学生亲自接触、观察、测量、制作和实验，把视觉、触觉、运动觉等协同起来，才能促进学生的知识内化，从而掌握几何概念，形成空间观念。 我觉得，今天新加坡老师能让学生把容积做出来，那么在我们今后的几何教学中，是否应该给学生更多的机会去做呢？相信 他们也能做 出表面积、体积、面积、周长 此外，罗老师的课堂教学还带给我另一思想上的冲击，仔细回味她的两个实验活动， 不论是课始的周长相同、面积不同的长方形比较，还是课中的侧面积相同、容积不同的长方体 比较，无不体现出数学重在思维的特点，可以说，罗老师的课堂是朴素而有深度的，她在教给 孩子知识的同时更教给了学生思维的方法。新加坡总理曾说过，新加坡要培养会思考的人 ，从今天的课堂上这 句话得到了印证。反思我们正在进行中的课程改革，不少专家都在疾呼不要让数学课失去数学味 ，但实际的课堂中又因为过分强调数 学与生活的联系，使我们的许多课堂走进情境创设的误区，太多花哨的非数学素材削弱了数学的思维性，表面上很热闹的课堂却很少带给学生从数学的角度去思考，新加坡老师无疑为我们作出了榜样：关注学生、关注思维的课堂才是真正具有数学味的课堂。 ” 结论： （ 1）小学数学教学的 认识上 两国的 共性多于差异 在对数学学科与有效教学的认识上，两 国 教师的观点趋于一致，都认为数学是经验性与演绎性的辨证统一，有效教学意味着有效学习。都注意关注学生，以促进学生的全面发展作为教学是否有效的主要衡量标准。这从一个侧面反映随着国际交流的不断加强， 以及数学作为 最具公共语言的一门学科 ，使 各国数学及数学教育具有很大的一致性 （ 吴晓红 、 郑毓信 ， 2007）。 这种共性 为我们进一步研究奠定了基础。 张奠宙 曾指出， 数学教育研究的目的，是揭示数学教育的基本原理、特有规律，把隐藏在大量实践背后的因果线索理清楚，并上升到理论 （转引自 范良火 ， 2003） 。两国 教师对数学与数学教育、有效教学的一致认识，从一个侧面说明数学 教学要 重视经验性与演绎性的辨证统一，不 能 搞极端化，也就是说，数学教育不仅要关注数学 自身 的 逻辑 推演过程，也要 合理地帮助学生经历获得 数学 知识结论 的具体经验，在经验的基础上 发展和 形成 关于数学的 结构和体系， 而 在演绎的过程中 也应 注意 对所得到的 数学 知识结论的 解释与应用， 这可能是 数学教育改革应遵循 的基本原理和特有规律 之一。 （ 2） 教学设计上的差异受 两 国文化、教学理念与个人教学经验的影响 在具体内容的教学设计与教学方法上， 中国大陆和新加坡的数学 特级教师也有许多共性，但受各 自不同的 文化、教学理念与个人教学经验的影响， 也存在明显的 差异。新加坡多是根据学生的实际情况自由地安排教学环节， 以学促学 ，而中国大陆则是根据教学目的规范性地组织课堂教学， 以教促学 。 我们 认为，这些差异 各有所长 ， 但 其最终目的都是为了促进学生的有效学习，值得互相借鉴和学习。 5、从 小学数学课堂教学实证研究 中发现 （ 1） 重视 小学生数学元认知能力的培养 能提高学生的学习成绩，增强学习情感 我们看 实验前后随机抽查作业反馈表可见一斑。 表 3 镇安小学五年级实验班与非实验班学习情况对比 数据 项目 实验班 （ N=40） 对照班 （ N=40） Z P 实验前 格式正确、书写整齐 53 6% 58 9% 形、图表正确 71 4% 69 6% 算准确无误 78 6% 82 1% 理合乎逻辑 53 6% 58 9% 题简捷巧妙 21 4% 25% 验后 格式正确、书写整齐 91 1% 55 4% 算准确无误 92 8% 80 3% 理合乎逻辑 80 4% 57 1% 题简捷巧妙 55 4% 28 6% 们 发现实验班作业情况明显改观的 主要原因有两个方面 其一， 通过对学生的学习过程进行元认知训练，使学生能够意识到学什么，如何学，何时学，为何学，学习受何种因素的影响及其相互间的关系的自我意识和体验，并通过这种自我意识和自我体验、监控他们的学习能力 ，能提高 学生的数学学习策略水平。 其二 ， 由于学生的数学学习策略水平得到了提高，使他们在数学学习上获取了成功，这种成功的体验促进了他们的数学学习情感。一年 的教学实践使学生初步养成了良好的学 习习惯：他们通常做到先预习后上课、先复习后作业，重思考，多反思，碰到困难学会先自己解决再寻求帮助；在学习的进程中，有计划、有目标；在学习写数学日记的过程中学会寻找生活中的数学资源，对不懂的问题能自己学着思考，并尝试运用多种方法进行解答。学生们一改被动学习的状态，积极主动地学习数学，在改变学习态度的同时，也改变了学习方式。 学生的学习情感有了良好的变化。 （ 2） 小学数学 采用大 单元教学策略 是可行的 本课题通过 对小学数学教材进行整理和重组，形成大单元教学序列。主要采用以下四种策略 对单元内容进行细化 新课程教材 以单元的形式呈现数学知识，教师对于内容的安排和具体的教学有很大的主动性，教学参考仅仅给出了每一单元的总体课时安排和教学建议，我们对新课程一 六年级的各册内容进行分课时安排，细化到每一个课时的内容安排，并对单元的教学提出学习意见。 对教学单元进行重组 从认知角度来看，学生学习的过程是一个认知结构学习的过程。学生通过同化和顺应两种方式对认知结构进行不断地调整和完善。如下图： 存贮 移 转 加工、处理（ 顺应、平衡） 输出（同化） 我们在数学教学的过程中发现，很多知识单元是以逐步呈现的方式进行编排，这样有利于教学难点的分散，让学生不断对认知结构进行微调，适合学习起点比较低的学生。而对学习能力较强的学生而言，在教学中先建立一个新的认知结构，形成一个整体的认识，再进行分步练习，有利于学习效率的提高。我们在实践中有的是对本单元内容的重组，对单元知识点的教学过程进行优化。有的则是对整册内容进行了重组。 对难点内容进行分解 在教材的编排中，还有部分单元存在着学生普遍难以掌握的问题 。这就需要我们根据实际情况，把这些知识点进行合理分解，降低难度，帮助学生顺利的建构认知结构。 对同类内容进行移并 同样的教学内容，如果编排的顺序不同，所产生的教学效果也会完全不同。从学生的学习心理出发，根据学生的实际情况，对学习方法相似的内容进行移并，有利于学生的知识迁移和辨析。 经过一年多的实证研究，在小学数学教学中采用大单元教学法是可行的，也是有效的，这些研究结论我们都通过案例的形式发表在系列实践教材小学数学常规课和创新课教学设计（宁波出版社， 2010）中（详见五上 196 页），成为我们课堂教学研究 的重要资源。 新 信 息（问题） 原有认知结构 新 的 认知结构 解决问 题 （ 3） 小学数学综合实践活动 需要根据不同内容采用不同的活动模式 综合实践活动课性质决定了这类课程在确定内容时必须真正回归学生的生活世界，从学生真实的生活世界中选取那些具有一定的综合性、实践性、现实性的问题和事件、现象来设计课程内容。不再局限于书本知识的传授，让学生亲自参与、主动实践，在实践中综合运用所学知识解决各种实际问题，提高解决实际问题的能力，是综合实践活动的最根本特点。实践内容是丰富的，实践方式也是多样的。实践并不仅仅意味着让学生作社会调查、参观、访问，注重实践更重要的是为学生营造实践情景 ，通过引导，让学生自己能够发现问题、提出问题、解决问题。特别是使学生能够面对生活世界的各种现实问题，综合运用所学知识，主动地去探索、发现、体验、重演、交往，亲历亲为，获得解决现实问题的真实经验，从面培养能力。 我们的研究基本上分成两大板块，板块一研究小学数学综合实践活动课程实施的模式；板块二研究开发一些有效的实践活动课程内容。不同研究阶段各有侧重，但也并非截然分开，而是交叉、螺旋地上升。 通过研究，我们发现： 小学数学“实践与综合应用”教学的过程一般分为四个阶段： 具体有以下几种 活动