变量代换法在数学中的应用.doc

咸阳师范学院2014届本科毕业论文变量代换在数学中的应用摘 要变量代换法是研究和解决数学问题的方法之一，属于数学变换方法的一种，就是把将要解决而不易解决的问题先进行变量代换，使之转化。它在高等数学的学习过程中是一项非常重要的实用方法，不仅是一种重要的解题技巧，还是一种重要的数学思维方法，这种方法几乎贯穿了高等数学的全部内容，具有灵活性和多样性的特点。本文通过对变量代换法在高等数学各个章节中的运算中的应用进行了总结，对变量代换法在高等数学中某些方面的应用进行深入探讨，分析其特点和技巧，以求科学、准确地应用此方法来解决数学问题，同时使得学生能够在学习高等数学时充分把握并能够熟练、灵活运用好这种方法，提高学生的解题能力。关键词：变量代换法；数学；运用AbstractVariable substitution method is one way to study and solve math problems, a mathematical transformation method belongs, that is going to solve the problem is not easy to be the first variable substitution to make the conversion. Its in the process of learning mathematics is a very important practical methods, not only is an important problem-solving skills, mathematical thinking is an important approach that has permeated the entire contents of the higher mathematics, with flexible Features and diversity. Based on the method of calculation of variable substitution in various sections of higher mathematics are summarized in the application of variable substitution method in the application of certain aspects of higher mathematics in-depth discussion, analysis of the characteristics and skills, in order to science, accurately apply this method to solve math problems, while allowing students to fully grasp in learning mathematics and proficient, flexible use of this method is good to improve students problem-solving abilities. Keywords: Variable substitution method; Mathematics; Use18目 录1 引言12 变量代换概述22.1变量代换法的定义22.2变量代换法的意义22.3变量代换的分类33 变量代换法的应用33.1在函数部分的应用43.2在极限部分的应用43.3在积分部分的应用63.3.1在不定积分中的应用73.3.2 定积分中的应用113.4在微分部分的应用113.4.1 解一阶齐次方程113.4.2 解贝努力方程123.4.3解高阶微分方程133.4.4 解欧拉方程143.5 在级数中的应用143.5.1求幂级数的收敛区间143.5.2 求周期函数的傅立叶级数154 结束语16参考文献171 引言目前在高等数学中所说的变量代替法,其实就是将所得到的某个高数当中的式子看做是一个完整的整体,然后再使用一个其他的变量来对它进行代换,从而能够将遇到的问题从复杂变得简单,换句话说,就是用另外的变量代替一串比较复杂的式子从而能够将代数式的运算变得简单一点,其实这也就是我们曾经都学习过的换元法。所谓换元法,它的实际就是要将代数式进行一定程度的转换,在这个过程中关键的就是要构造元和设置元,也就是构造一个变量和设置出一个变量,在这个过程中所涉及到的理论依据就是需要进行等量的代换,然后才能够将不同的对象进行变换研究,将需要解决的问题从复杂的代数式中转移到相对比较简单的用变量代替之后的代数式中,也就是将问题从旧的对象中移出来到新的对象所存在的知识背景中去,然后再进行相应的研究,从而能够使得非标准型的问题变得标准化,使复杂的问题在一定程度上能够变得简单、变得让我们更加容易对其进行相应的处理。当我们在高等数学中应用变量代换法的时候,应该遵循应用变量代换这种方法能够将运算变得简便、将得到的代数式子变得标准化的这样一个原则,也可以说是运用了变量代换法之后能够在运算中达到的效果,在进行变量代换之后对于新使用的变量的范围要重新进行选取,一定要让新使用的变量的存在范围落于原变量本来的取值范围之中,不能有缩小当然也不能有扩大,这样才能够在高等数学的学习当中达到使用变量代换法所想要达到的效果。本文在介绍变量代换法的基础上进行了变量代换法在高等数学中的应用的总结，以希望通过这种总结给学习变量代换的同学带来思维上的冲击，使得将其作为难点的同学开拓思维，拿捏得当的运用这种方法，减少学生学习数学的压力，提高学生的解题能力。2 变量代换概述2.1变量代换法的定义变量代换法的字面定义为：对于一些结构较为复杂、变元较多的数学问题 ，引入一些新的变量进行代换，以简化其结构，从而达到解决问题的目的这种方法叫做变量代换法。实际上由于变量代换法的依附性较强，因此其应用在不同的领域中就拥有了不同的定义。2.2变量代换法的意义变量代换法是一种非常有效的解题方法，尤其是处理一些复杂的不等式问题，效果明显。合理代换往往能简化题目的信息，凸显隐含条件，沟通量于量之间的关系，对发现解题思想，优化解题过程有着重要的作用。例如在解决不等式问题时常采用三角代换法和增量代换法往往使得三角函数问题变得简单；在解决极限问题时，倒数代换法能够起到简化计算，求解容易的效果；同时变量代换在一重积分、二重积分和三重积分中均有实际应用效果。2.3变量代换的分类上文中已经提到变量代换可运用到不同的领域当中，因此这种方法也具有不同的分类。分类包括局部代换法（在整体中的某一个难以直接运算的小部分进行代换）、整体代换法（全部函数式进行代换）、三角代换（通过设定一个未知数代替原有的三角函数）、分式代换（设定为未知数代替原有的分式，简化计算）、对称代换法（利用函数的对称特点，设定未知数进行替换）、增量代换法（利用未知数替换原有增量式）。3 变量代换法的应用变量代换法是研究和解决数学问题的方法之一，属于数学变换方法的一种。就是把将要解决而不易解决的问题先进行变量代换，使之转化。 即通过变换问题中函数的自变量或因变量、化繁为简、化难为易、将未解决的问题转化成已解决的问题。这种方法在求极限、求导、积分计算、解微分方程以及级数中用的很多，几乎贯穿了高等数学的全部内容!具有灵活性和多样性的特点。下面通过各类计算中的典型例子加以具体阐述变量代换法在高等数学教学中应用。3.1在函数部分的应用变量代换法运用到函数当中，主要是利用变量代换法求函数解析式、函数值等。例如：已知，求的表达式。解：可以令x+y=u，x-y=v，此时依次为一个一元二次方程，可以求解出，然后原表达式就变为：经过化简之后，可以得到：将u，v为x，y所替代，就可以得到元f（x，y）的表达式。3.2在极限部分的应用如果函数直接求极限有困难,可以考虑作一次变量代换,使之关于新变量的函数形式比较容易求极限。例1 求解。分析：这种类型的题目可以看作是1的类型，直接求解是十分困难的，先作变量代换，然后再利用原高等数学中的重要极限公式进行求解就能轻而易举将这种题型解决。解：首先将这个函数式进行简单变换可得；然后可令，则x+1=1/t+1/2，从而可知原式= 例2 求解。分析：这种类型的题目可以0型的问题，如果直接求解十分困难，分母为0难以进行求解，若先进性变量代换，再进行求解，问题就迎刃而解。解：可以令x=1-t，原式可以化为：此时问题就被简化为模型的问题，分母为0的问题得到了实际的解决。例3 求解。分析：上式可归结为型的问题，很明显直接通过计算是无法实现的，因此可以选择首先进行变量代换，然后再进行计算。解：可以令ax-1=t，则原式可以变化为：=lna例4 求解。分析：这种类型的题目是作为无理根式的极限代表，类型与上一题类似，但是是一个根式问题，直接通过极限运算无法实现，需要经过变量代换。解：首先可以令=t，将原式转化为：再将分母化简，即可以得到：=1/2例5 求解。分析：这是一类求解多元函数的极限问题，因此常规方法无法实现，利用变量代换可以起到事半功倍的效果。解：首先可以令=t，那么原式可以化为=03.3在积分部分的应用所谓变量代换法在求积分当中的应用,包括了将变量代换法在进行不定积分的求解过程中的应用和将变量代换法在进行定积分的求解过程中的应用。而将变量代换法在进行不定积分的求解过程中的应用的过程中需要利用基本的一些积分方面的公式和关于积分的一些特殊的性质,在计算过程中所涉及到的不定积分应该是非常有限的,不过如果将运算过程中的中间变量运变量代换法进行一定的代换,就能够将在复合函数运算过程中使用的微分法在这里进行反过程的运用用来求解不定积分,这样也能够得到相应的解答,这样的运算方法就是换元积分法。换元积分法又分为两种积分方法,简称之为第一类的换元积分法和第二类的换元积分法。在第一类换元积分法中所涉及到的定理公式是: 。也就是将f（x）假设其为连续函数，而其中的u=（x）和当然都是存在的并且也是连续的函数，而且，这样才能够得出上面的公式。而第二类换元积分法所涉及到的公式则是。同样也是将f（x）假设其为连续的函数，其中和也都是连续的，而所涉及到的的反函数是存在的并且是连续的函数，然后再加上，这样才能够得出上面的公式。而将变量代换法在进行定积分的求解过程中的应用中则是需要假设f(x)函数是在区间a,b之中连续的,然后在其中用x=(t)来做变量代换法的应用,其中的(t)函数是在封闭的区间A,B之中有着连续导数(t)的一个函数,而当t的取值范围是在和之间并且包括中两个数值的时候,(t)的取值范围则是在a和b之间,并且包括了a和b这两个数值,并且()=a,()=b,在这样的条件之下才会得出在使用变量代换法的定积分的运算中所需要的。3.3.1在不定积分中的应用如果不容易计算出来，而可以看成是，则可以令=u，原式则可以转化为，如果容易计算，求出积分以后，再将u换回，则问题得到解决。例1 求解。分析：首先仔细分析可以看出，则可以从这个方面入手进行计算。解：首先可以令，原式则变成，此时则很容易计算出结果。原式=如果不容易计算，可以考虑作一变量代换，其中单调可导，并且连续，不等于0，则原式可以化为，如果关于t的积分容易计算出，那么求出原函数之后将t换为x的函数即可。例2 求解。分析：这种类型的题目属于被积函数中含有，则可以令=t，就可以消去根式化为关于t的有理式易于积分。被积分的函数式含有可以看作是中c=0，d=1的特殊情形。解：为了消除两个根式，我们可以令，就可以达到这个目的，此时将原式化为：进行完这种转化以后，消除t，则积分过程变为常规积分过程，积分简单。例3 求解。分析：如果被积函数中含有，可以令x=asint或者x=accost，利用三角函数之间的平方关系化去二次根式，转化为三角函数的积分问题。类似地，如果被积函数中含有，可以令x=atgt或者x=actgt；如果被积函数中含有，可以令x=asect或者x=acsct。解：这个题中含有如上所说的，所以可以令x=asint，原式可以转化为：得到这个式子以后就可以就变成常规的三角函数的积分。如果被积函数中含有，还可以利用，令x=acht化去根式；如果被积函数中含有，则令x=asht，化成容易积分的函数。例4求解。分析：此题如果令x=acht，原式转化，则极易计算。解：根据上文中的分析，首先令，则原式可以转化为：运算到此处则计算结果显而易见，变量代换极大减轻了积分难度。如果被积函数中含有二次根式或者是以及分母中含有x的幂，可以令倒代换化去根式变成关于t的有理式。例5 求解。分析：这类题型符合上述倒代换的特点，此时可令，从而将原式简化。解：可以令，则此时原式可以化为：此时只要围绕进行积分，便可以运用常规方法进行积分。对于三角函数有理式的积分，有些不容易进行积分，但是sinx，cosx都与有关，所以如果令，那么就有，原积分就可以化为关于t的有理函数的积分。例6 求解。分析：这种类型的题目符合上述的万能公式的特点，因此可以进行上文中提到的求解方法。解：可以令，原式可以化为，此时只需要围绕t+2进行积分即可，积分难度大大降低。有些题目没有上文中提到的所有方法的一般规律，不容易直接积分，可以按照第二换元法的思想选择作一变量代换，使被积函数形式关于新变量而言易于积分。如下例题所示。例7 求解。分析：这类题型直接积分显然十分困难，同时根据上文中提到的一些方法也难以实现，此时需要进行观察获得信息。解：通过观察可以发现lnx的特点，可以令=t，原式可以变为：此时只需要针对t进行积分即可，问题顺利得到解决。3.3.2 定积分中的应用例1 证明如果为一连续函数，则有。分析：观察等式左右两端，左端被积式为，右端被积式为，而，所以考虑作一变量代换令，则，因为，所以可以得到，整理可以得到：。3.4在微分部分的应用如果遇到了需要用变量代换法进行解答的式子,则可以应用如下的解答公式。这个二阶方程来做例子，将其中的，这样就可以让原来的方程化解成为，这就变成了一个关于变量x和p的一个一阶的微分方程，就可以很简单的进行进一步的求解。这种通过进行变量代换法的应用来使得高阶的微分方程得到降阶从而使得代数式的运算变得简单的过程，不仅仅使用于以上的形式,还适用于解答类似于这样的方程，当遇到这种情形的时候也是将，并且在同时利用复合函数运算过程中会使用到的求导的方法将转化成为y的导数这个式子与上述的式子类似是一个关于变量y和变量p的一个一阶微分方程,在进行了以上化解的基础上对式子进行进一步的解答就能够相对比较简单的将代数式解答出来,大大的减少了解答代数式的运算量。3.4.1 解一阶齐次方程一阶齐次方程的通式为。例1 求解。分析：初看原方程并不是一个一阶微分方程，因此需要进行一定变形和变量代换才能够实现方程的变形。解：原方程可以化为：变化为上式以后，可以很明显选择设令=u，则此时y=xu，于是方程可以进一步变化为：这是一个关于x，u的一阶可分离变量的微分方程，容易求解。此时直接利用一阶方程的求解公式便可以求出。3.4.2 解贝努力方程求解贝努力方程。分析：贝努力方程实际上是一阶线性方程的变异类型，因此仍然可以沿用求解一阶线性微分方程的解法。解：方程两端同时除以，可以得到原式为：，令，则，则原方程可以化为：，即，这是一个关于x，u的一阶线性非齐次方程，进一步可以用常数变易法进行求解。例1 求解的通解。分析：此题为n=2的贝努力方程，则可以按照上述方法进行求解。解：两边同时除以，原方程可以变化为：然后令，这上述式子可以再次转化为：转化完成以后的方程式即为简单的一阶线性方程，容易求解。3.4.3解高阶微分方程如二阶方程，令，则原方程可以转化为，这是一个关于变量x，p的一阶微分方程，进一步可以进行求解。这种通过变量代换使得微分方程降阶的解法还适用于这一类的方程。此种情形仍然令，并利用复合函数的求导法则把化为对y的导数，这是一个关于x，p的一阶可分离变量的微分方程，容易求解。例1 求的通解。分析：这种类型的题目为类型，按照上述解法方程进行转化，可以转化为关于x，p的一阶可分离变量的微分方程。解：可以令，则此时，将这些变量带入到上述原式当中，可以将原式化简为：此方程式为一个简单的一阶微分方程，求解较为容易。3.4.4 解欧拉方程欧拉方程，其中（p1、p2、p3.pn为常数）作变换，或者t=lnx，则，同理可得。如果采用极好D表示对于t的求导的运算，则上述结果可以写成，一般地有。把它们代入欧拉方程,便得到一个以t为自变量的n阶常系数线性微分方程,在求出这个方程的解后,把t换成lnx,即得原方程的解。例1 求解的通解。分析：此题为n=3的欧拉方程，采用上面所述的解法进行化简计算，即可以得到一个三阶的非齐次方程，求解方便。解：利用欧拉公式可以将上述的方程进行化简可得：这是一个极为容易求解的三阶线性常系数微分方程，通过这种转化，使得方程求解方便。3.5 在级数中的应用3.5.1求幂级数的收敛区间例1 求幂级数的收敛区间。分析：如果直接进行收敛区间的计算显然十分费力，经过观察可以在x-5的基础上进行变量代换。解：可以令x-5=y，则原级数可以转化为：对于这个新级数，可以首先进行的求解，因此收敛半径R=1/=1，那么收敛区间即为（-1,1）。然后将上文中的x-5=y带入，即x=y+5就可以得到原级数的收敛区间为（4,6）。3.5.2 求周期函数的傅立叶级数周期为2的函数f（x）的傅立叶级数为，同时其中的，（n=0,1,2,3.）；，（n=0,1,2,3.），那么要得到周期为2l的函数f（x）的傅立叶级数，只要作变量代换z=x/l，于是区间就变换为。故其傅立叶级数便为，其中，（n=0,1,2,3.）; ,(n=0,1,2,3.)。综合上述分析可以看到，变量代换法在高等数学中的应用是极其广泛的。它的基本思维特征是在变化中寻求问题的解，它的主要功能在于启示人们寻求解决问题的途径和方法。当然并非每一个数学问题都能通过变量代换的方法解决，即尽管变量代换法是一个应用很广的数学方法，但绝非万能；另一方面,使用变量代换法去解决一个数学问题时所用的变量代换常常不是唯一的，因此，应注意在各种可能的代换中先进行一番选择。总之，应当不断总结经验,掌握使用变量代换法的特点和技巧，提高根据不同问题灵活机动地使用变量代换法解决问题的能力。4 结束语通过以上例子的解法可以看出：变量代换法在高等数学计算中普遍使用。作为一种基本的运算技巧，对问题的求解具有十分重要的意义。它是高等数学教学中将复杂的数学形式及不可直接求解的形式通过变量替换进行形式转化，使