2020届高三1月大联考数学（文）试题（解析版）

2020届广东省高三1月大联考数学（文）试题一、单选题1在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】先对复数进行乘法运算,整理至的形式,即可得出复数在复平面内对应的象限.【详解】解：因为,所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算及复平面,考查运算求解能力.2设集合，若，则的最大值为（ ）A2B2C3D4【答案】C【解析】先将整理至,根据得到,即可得出的最大值.【详解】解：因为,且,所以所以的最大值为3.故选：C【点睛】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法,考查运算求解能力与推理论证能力.3已知函数，则（ ）AB在上为增函数C为偶函数D的定义域为【答案】D【解析】由函数的解析式,分别求值、求单调性、求奇偶性、求定义域,即可得出结论.【详解】解：因为,因为,所以A错误；因为,所以B错误；因为,为奇函数,所以C错误；由,得,所以的定义域为,所以D正确.故选：D【点睛】本题考查函数的性质,考查运算求解能力与推理论证能力.4已知向量，若，三点共线，则（ ）A10B80C10D80【答案】A【解析】根据,三点共线,得到,根据平面向量基本定理即可求得,得到向量,即可求得.【详解】解：因为,三点共线,所以,则,所以,故.故选：A【点睛】本题考查共线向量与平面向量的数量积,考查运算求解能力.5若函数的最小正周期为，则在上的值域为（ ）ABCD【答案】B【解析】先根据最小正周期求出,得到函数解析式,再根据定义域为求出函数值域.【详解】解：因为,所以,因为,所以,所以.故选：B【点睛】本题考查三角函数的周期与值域,考查运算求解能力.62019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人，其中关注此次大阅兵的有5位，若从这6位外国人中任意选取2位做一次采访，则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】先设这6位外国人分别记为,其中未关注此次大阅兵,列举出从这6位外国人中任意选取2位的基本事件总数,再选出2位都关注大阅兵的基本事件数,代入古典概型公式即可求得概率.【详解】解：这6位外国人分别记为,其中未关注此次大阅兵,则基本事件有,共15个,其中被采访者都关注了此次大阅兵的基本事件有10个,故所求概率为.故选：C【点睛】本题考查古典概型,考查运算求解能力.7已知椭圆：的焦距为，分别为的右顶点、上顶点.若的对称中心到的距离为，则的长轴长为（ ）A4BCD【答案】B【解析】根据题目给出椭圆的焦距为即可得到,根据得,又根据原点到直线的距离公式有,即可求得,则得出长轴长.【详解】解：依题意可得,则,所以,又,解得,从而的长轴长为.故选：B【点睛】本题考查椭圆的方程与性质,考查运算求解能力.8已知，且，则（ ）A2BC3D【答案】A【解析】由同角三角函数的基本关系计算可得、，再根据两角差的正切公式计算可得.【详解】解：因为，所以，又，所以，则，所以.故选：【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题.9我国古代数学名著九章算术里有一个这样的问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价几何？”为了解决这个问题，某人设计了如图所示的程序框图，运行该程序框图，则输出的，分别为（ ）A30，8900B31，9200C32，9500D33，9800【答案】D【解析】根据算法的功能，可知输出的，是方程组的解，解方程即可.【详解】解：根据算法的功能，可知输出的，是方程组的解，解此方程可得故选：【点睛】本题考查程序框图，考查运算求解能力，属于基础题.10在四棱锥中，平分，则四棱锥的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据四棱锥中的棱长可得,则,同理可得,即可证得平面,又因为,且平分,可求得四边形的面积为,最后根据锥体的体积公式即可求得锥体的体积.【详解】解：依题意可得,则,同理可得,因为.所以平面,则.因为,所以.因为,且平分,所以四边形的面积为,从而四棱锥的体积为.故选：A【点睛】本题考查线面垂直与四棱锥体积的计算,考查空间想象能力与运算求解能力.11现有下列四条曲线：曲线；曲线；曲线；曲线.直线与其相切的共有（ ）A1条B2条C3条D4条【答案】C【解析】先求出直线的斜率为,然后对曲线函数求导,代入求切点,如果切点在,即直线与曲线相切,即可求得直线与四条曲线相切的共有几条.【详解】解：直线的斜率为,若,则由,得,点在直线上,则直线与曲线相切；若,则由,得,则直线与曲线相切；若,则由,得,都不在直线上,所以直线与曲线不相切；若,则由,得,其中在直线上,所以直线与曲线相切.故直线与其相切的共有条.故选：C【点睛】本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.12已知为双曲线：（，）左支上一点，分别为的左、右焦点，为虚轴的一个端点，若的最小值为，则的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据双曲线的定义可得，又即可得到关于的方程，解得.【详解】解：，即，化简得，即，解得或，所以.故选：【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想.二、填空题13在正方体的12条棱中，与平面平行的棱共有_条.【答案】2【解析】根据题意画图,由图象可得与平面不相交的棱即为平行的棱.【详解】解：根据题意画图,观察图象可知：在正方体的条棱中,与平面平行的为棱与棱.故答案为： 【点睛】本题考查线面平行的判定,考查直观想象的核心素养.14若，满足约束条件则的取值范围为_.【答案】【解析】先作出不等式组表示的可行域,令,平移直线至点时,即可取得最小值.【详解】解：作出不等式组表示的可行域,如图所示,当直线经过点时,取得最小值3.故.故答案为：【点睛】本题考查线性规划,考查数形结合的数学思想.15已知，现有下列四个结论：；.其中所有正确结论的编号是_.【答案】【解析】先由指数与对数的互化将、化为、,再进行对数运算得出结论.【详解】解：由,得,则,.故答案为：.【点睛】本题考查指数、对数运算,考查运算求解能力与推理论证能力.16设，分别为内角，的对边.已知，则_，的取值范围为_.【答案】 【解析】根据正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式可求角，由余弦定理知，根据余弦函数的性质求出范围.【详解】解：因为，所以，所以，即，又，所以，则，因为，所以，而，故.故答案为：；【点睛】本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力本题是一个易错题，学生容易忽略不能等于0，属于中档题.三、解答题17在公差为2的等差数列中，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据等差数列的公差为,得到,再根据,成等比数列,由等比中项公式得出首项,代入通项公式即可得通项.（2）由（1）得,数列,是等差加等比的形式,所以数列求和用分组求和即可.【详解】解：（1）的公差为,.,成等比数列,解得,从而.（2）由（1）得,.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和分组求和,是数列中最基本的运算,属于基础题.18国家每年都会对中小学生进行体质健康监测，一分钟跳绳是监测的项目之一.今年某小学对本校六年级300名学生的一分钟跳绳情况做了统计，发现一分钟跳绳个数最低为10，最高为189.现将跳绳个数分成，6组，并绘制出如下的频率分布直方图.（1）若一分钟跳绳个数达到160为优秀，求该校六年级学生一分钟跳绳为优秀的人数；（2）上级部门要对该校体质监测情况进行复查，发现每组男、女学生人数比例有很大差别，组男、女人数之比为，组男、女人数之比为，组男、女人数之比为，组男、女人数之比为，组男、女人数之比为，组男、女人数之比为.试估计此校六年级男生一分钟跳绳个数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留整数）.【答案】（1）优秀的人数为（2）平均数【解析】（1）根据频率分布直方图求出优秀的频率为,再根据该校六年级学生总人数和概率求出优秀的人数.（2）先求出频率分布直方图每组数值的中间值,然后分别乘以对应的频数,再相加,最后除以总数即可得平均数.【详解】解：（1）由图可知,优秀的频率为：,故该校六年级学生一分钟跳绳为优秀的人数为.（2）组男生人数为,的中点值为25,组男生人数为,的中点值为55,组男生人数为,的中点值为85,组男生人数为,的中点值为115,组男生人数为,的中点值为145,组男生人数为,的中点值为175,故可估计此校六年级男生一分钟跳绳个数的平均数为.【点睛】本题考查频率分布直方图,用样本估计总体,考查平均数的求法,属于基础题.19已知函数.（1）求的单调区间；（2）若函数在上只有一个零点，求的取值范围.【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为（2）【解析】（1）先求函数的定义域,然后对函数求导,令导等于,得出,判断导在区间内的正负,即可得出函数的单调性.（2）令,得.根据函数在上只有一个零点,得,且,又,即可得的取值范围为.【详解】解：（1）的定义域为,令,则,在上,；在上,.所以的单调递减区间为,单调递增区间为.（2）由,得.因为,且,又,所以的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性,利用导数和函数零点求参数,属于中档题.20已知直线与抛物线：交于，两点，且的面积为16（为坐标原点）.（1）求的方程.（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求该定值及的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在,【解析】（1）将代入，得，即可表示出的面积，计算可得.（2）设直线的方程为，联立直线与曲线方程，根据焦点弦长公式计算出，求出线段的垂直平分线与轴交于点的坐标，设，则可用含，的式子表示，即可分析当为何值是为定值.【详解】解：（1）将代入，得，所以的面积为.因为，所以，故的方程为.（2）由题意设直线的方程为，由得.设，则，所以.因为线段的中点的横坐标为，纵坐标为,所以线段的垂直平分线的方程为,令，得，所以的横坐标为，设，则，所以当且仅当，即时，为定值，且定值为2，故存在点，且的坐标为.【点睛】本题考查求抛物线的标准方程，直线与抛物线的综合应用问题，属于中档题.21设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，且平面平面.（1）求球的表面积；（2）证明：平面平面，且平面平面.（3）与侧面平行的平面与棱，分别交于，求四面体的体积的最大值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】（1）先取的中点,连接.根据,得出的外心为.再因为,则.平面平面,平面平面,所以平面,球心在上.得出是线段上靠近点的一个三等分点.然后求出球的半径,则得出球的表面积为.（2）根据在上,则平面,又平面,则有平面平面.再证平面平面,所以有平面,又平面,即可证得平面平面.（3）先求到平面的距离.设,到平面的距离为.由平面平面,得到三角形相似,则可得的面积,求出,得到到平面的距离为,则四面体的体积.转化为函数,利用导函数求得最大值.【详解】（1）解：取的中点,连接.因为,所以的外心为.因为,所以.又平面平面,平面平面,所以平面,所以在上.因为是等边三角形,所以是线段上靠近点的一个三等分点.由题意得,解得,所以球的半径,球的表面积为.（2）证明：因为在上,所以平面,又平面,所以平面平面.连接,则,又平面平面,所以平面,又平面,所以平面平面.（3）解：因为,所以到平面的距离.设,到平面的距离为.因为平面平面,所以,则的面积为.又,所以到平面的距离为,所以四面体的体积.设,当时,；当时,.所以,即四面体的体积的最大值为.【点睛】本题考查三棱锥外接球面积的求法,考查面面垂直的证明以及利用导函数求体积的最大值,属于综合性较强的题目.22在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）若，求与的普通方程；（2）若与有两个不同的公共点，求的取值范围.【答案】（1）的普通方程为,的普通方程为（2）【解析】（1）根据即可消去参数，得到曲线的普通方程，代入消元得到直线的普通方程.（2）将直线的参数方程化为普通方程，曲线表示圆的上半部分，画出图象，数形结合分析可得.【详解】解：（1）的普通方程为.因为，所以的普通方程为.（2）的普通方程为，曲线表示圆的上半部分，如图当经过时，当与圆的上半部分相切时，且，解得，故的取值范围为.【点睛】本题考查参数