高中数学 9.6棱柱、棱锥、多面体配套课件 理 新人教A版.ppt

第六节棱柱 棱锥 多面体 三年23考高考指数 1 了解棱柱的概念 掌握棱柱的性质 会画直棱柱的直观图 2 了解棱锥的概念 掌握正棱锥的性质 会画正棱锥的直观图 3 了解多面体 凸多面体的概念 了解正多面体的概念 1 以棱柱 棱锥为载体综合考查空间线面位置关系以及空间角 距离的求法是高考考查的重点 2 题型多为选择题和解答题 且以解答题为主 1 棱柱 棱锥的定义 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 这些面围成的几何体 有一个面是多边形 其余各面是有一个公共顶点的三角形 这些面围成的几何体 两个互相平行的面 多边形 其余各面 顶点到底面的距离 两个相邻侧面的公共边 侧面与底面的公共顶点 各侧面的公共顶点 两个底面的距离 即时应用 1 思考 有两个面互相平行 其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗 提示 不一定 如图所示的几何体有两个面平行 其余各面都是平行四边形 但它不满足 每相邻两个侧面的公共边都互相平行 所以它不是棱柱 2 思考 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗 提示 不一定 如图所示的几何体有一个面是四边形 其余各面是三角形 但它不是棱锥 2 棱柱 棱锥的性质 1 棱柱 棱锥的性质比较 是与底面全等的多边形 是与底面相似的多边形 平行四边形 三角形 平行且相等 交于一点 2 四棱柱的一些常用性质 平行六面体的四条对角线交于一点且被该点 直棱柱的侧棱长与高 直棱柱的侧面及过不相邻两条侧棱的截面都是 直棱柱的侧面与底面 正四棱柱与正方体的底面都是 正方体的侧面和底面都是 长方体一条体对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的 互相平分 相等 矩形 正方形 正方形 平方和 垂直 即时应用 1 判断下列四个条件是否是一个棱柱为直棱柱的必要而不充分条件 在括号内填 是 或 否 棱柱有一条侧棱和底面垂直 棱柱有一条侧棱和底面的两边垂直 棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直 棱柱有一个侧面是矩形且和底面垂直 2 若m 正四棱柱 n 直四棱柱 p 长方体 q 直平行六面体 则这四个集合之间的关系是 解析 1 是充要条件 是必要而不充分条件 是既不充分也不必要条件 是充要条件 2 由正四棱柱 直四棱柱 长方体 直平行六面体的概念可知 mpqn 答案 1 否 是 否 否 2 mpqn 3 正棱锥的定义和性质 1 定义如果一个棱锥的底面是 并且顶点在底面内的射影是底面 这样的棱锥叫做正棱锥 2 性质 侧面都是全等的 与底面所成的二面角均 侧棱均 侧棱与底面所成的角均 平行于底面的截面也是 正多边形 中心 等腰三角形 相等 相等 相等 正多边形 3 平行于棱锥底面的截面是与底面相似的多边形 它们的面积之比等于截得的棱锥与原棱锥的对应边 高 侧棱 底面的边等 的 4 棱锥平行于底面的截面将棱锥分成两部分 截得的小棱锥与原棱锥的体积比等于对应边比的 平方比 立方 即时应用 判断下列说法是否正确 在括号内打 或 1 各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 2 三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥 3 底面是正三角形的棱锥是正三棱锥 4 顶点在底面上的射影是底面多边形的内心 又是外心的棱锥必是正棱锥 解析 正棱锥必须具备两点 一是 底面为正多边形 二是 顶点在底面内的射影是底面的中心 命题 1 缺少这两个条件 命题 2 缺少第一个条件 命题 3 缺少第二个条件 而命题 4 可推出以上两个条件都具备 答案 1 2 3 4 4 多面体的体积与面积 1 体积公式 柱体体积公式为v 其中s为底面面积 h为高 锥体体积公式为v 其中s为底面面积 h为高 2 侧面积与全面积 棱柱的侧面积是各侧面平行四边形 直棱柱的侧面积是底面周长与 棱锥的侧面积是各侧面 正棱锥的侧面积是底面周长与 乘积的一半 全面积等于 与 之和 即s全 sh sh 面积之和 侧棱长的积 三角 形面积之和 斜高 侧面积 底面积 s侧 s底 即时应用 1 在平面上 若两个正三角形的边长之比为1 2 则它们的面积之比为1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长之比为1 2 则它们的体积之比是 2 若正方体的棱长为 则该正方体的表面积是 以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 解析 1 2 s表 12 由题意知 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体 即两个同底等高的正四棱锥 所有棱长均为1 其中每个正四棱锥的高均为 故正八面体的体积v 2v正四棱锥 答案 1 2 12 5 多面体与正多面体 1 多面体若干个 围成的几何体 叫做多面体 2 凸多面体把多面体的任何一个面伸展为平面 如果所有其他各面都在这个平面的 这样的多面体叫做凸多面体 3 正多面体每个面都是有相同边数的 且以每个顶点为其一端都有相同数目的 的凸多面体 叫做正多面体 平面多边形 同侧 正多边形 棱 即时应用 思考 正多面体共有哪几种 提示 正多面体只有五种 即正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 棱柱 棱锥的概念与性质 方法点睛 1 棱柱性质的比较 2 棱锥性质的比较 例1 设有四个命题 底面是矩形的平行六面体是长方体 棱长都相等的直四棱柱是正方体 有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 对角线相等的平行六面体是直平行六面体 其中真命题的个数是 a 1 b 2 c 3 d 4 解题指南 根据棱柱的概念 理清各种棱柱之间的联系与区别 逐个判定即可 规范解答 选a 命题 是假命题 因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体 底面是矩形 侧棱不垂直于底面 这样的四棱柱仍是斜平行六面体 命题 是假命题 底面是菱形 底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体 命题 是假命题 因为有两条侧棱垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直 命题 是真命题 如图所示 平行六面体abcd a1b1c1d1中所有对角线相等 对角面b1bdd1是平行四边形 因为对角线bd1 b1d 所以四边形b1bdd1是矩形 即bb1 bd 同理四边形a1acc1是矩形 所以aa1 ac 由aa1 bb1知bb1 底面abcd 即该平行六面体是直平行六面体 反思 感悟 解决此类题的关键是理清各种空间几何体的概念及其之间的关系 要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题 对于正棱锥要注意它与正多面体的区别与联系 棱柱的性质比较简单 棱锥的性质实际上就是侧棱 斜高及锥体的高等之间的关系 变式训练 下列命题中 真命题是 a 顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥 b 底面是正三角形 各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 c 底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥 d 底面是正三角形 并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥 解析 选d 对于选项a 到三角形各顶点距离相等的点为三角形的外心 该三角形不一定为正三角形 故该命题是假命题 对于选项b 如图所示 abc为正三角形 若pa ab pa ac pb pc 则 pab pac pbc都为等腰三角形 但若此时侧棱pa pb pc 则该命题是假命题 对于选项c 顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心 底面为任意三角形皆可 故该命题是假命题 对于选项d 顶点在底面上的射影是底面三角形的外心 又底面三角形为正三角形 故该命题是真命题 棱柱 棱锥中的线 面关系 方法点睛 1 棱柱 棱锥中的线面关系的证明在棱柱 棱锥中进行线线 线面 面面的平行与垂直的证明 除了要正确使用判定定理与性质定理外 对几何体本身所具有的性质也要正确把握 如正棱柱 正棱锥的特性 特殊三角形 特殊梯形的使用等 其次还要注意各种平行与垂直之间的相互转化 如将线线平行转化为线面平行或面面平行来解决 2 正棱锥中的一些特殊关系在解正棱锥的问题时 要注意利用四个直角三角形 如图所示 o为底面正多边形的中心 g为ab的中点 四个直角三角形为rt voa rt ago rt vga和rt vog 它们包含了棱锥的高 斜高 侧棱 底边长的一半 底面正多边形的外接圆半径 内切圆半径 侧棱与底面所成的角 侧面与底面所成的角 提醒 棱锥的高线是解决与棱锥有关的问题时常作的一条辅助线 例2 如图 在多面体abcdef中 四边形abcd是正方形 fa 平面abcd ef bc fa 2 ad 3 ade 45 点g是fa的中点 1 求证 eg 平面cde 2 在棱bc上是否存在点m 使gm 平面cde 若存在 找出点m 若不存在 说明理由 a b c d f e g 解题指南 1 要证eg 平面cde 可先证明ge ed 再证明cd 平面adef ge cd 即可得证 2 要证明gm 平面cde可转化为证明线线平行 因为g为af的中点 故可取de的中点h 构造中位线gh 然后在bc上取一点m 使四边形chgm为平行四边形即可 规范解答 1 ef bc ad bc ef ad 在四边形adef中 fa 2 ad 3 ade 45 过e作en ad于n 连结dg 则en dn 2 ef an 1 de ge dg dg2 ge2 de2 eg de 又由fa 平面abcd 得af cd 正方形abcd中cd ad cd 平面adef eg 平面adef cd eg cd de d eg 平面cde 2 在bc上存在点m 即bc 3bm时 使gm 平面cde 取de的中点h 连结gm gh ch 在梯形adef中 g是af的中点 gh ad ef 2 gh ad bc ad bc ad 3 bc 3bm cm 2 gh gh cm 四边形chgm是平行四边形 gm ch gm 平面cde 反思 感悟 证明线面垂直 首先要考虑能否转化为证明线线垂直 如本题 1 的关键是证明eg ed 解决问题 2 的关键是抓住条件 g是fa的中点 要有 遇到中点 再找中点构造中位线 的解题思想 从而把握住解题的突破口使问题得以顺利解决 变式训练 如图所示 在四棱锥p abcd中 侧面pad是正三角形 且垂直于底面 又底面abcd是矩形 e是侧棱pd的中点 1 求证 pb 平面ace 2 求证 平面ace 平面pcd 证明 1 连结bd 交ac于点o 连结oe 因为e o分别为pd bd的中点 所以eo pb 而eo 平面ace 所以pb 平面ace 2 因为 pad是正三角形 且e为pd的中点 所以ae pd 又平面pad 平面abcd 而底面abcd为矩形 所以cd ad 所以cd 平面pad 而ae 平面pad 所以ae cd 于是ae 平面pcd 因而 平面ace 平面pcd 棱柱 棱锥中的角与距离 方法点睛 1 解决空间角应注意的问题 1 解决空间角问题 应特别注意垂直关系 如果空间角为90 就不必转化为平面角来求 2 注意求角应放在某一三角形中解决 2 求空间距离应注意的问题 1 要善于借助辅助平面 将空间距离转化为平面距离求解 2 棱锥体积具有自等性 即把三棱锥的任何一个顶点看作顶点 相对的面作为底面 利用等积法可求得点到平面的距离 例3 1 点p在正方形abcd所在平面外 pd 平面abcd pd ad 则pa与bd所成角的度数为 a 30 b 45 c 60 d 90 2 如图四棱锥p abcd中 底面abcd为矩形 pa 底面abcd pa ab 点e是棱pb的中点 求直线ad与平面pbc的距离 若ad 求二面角a ec d的平面角的余弦值 解题指南 1 欲求pa与bd所成角的度数 必须先找出异面直线pa和bd所成的角 将图形补成一个正方体 利用正方体中线与线间的平行关系 即可知道是哪一个角为所求 最后求出该角即可 2 由于ad 平面pbc 所以ad与平面pbc的距离可转化为直线ad上任意一点到平面pbc的距离 连结ae 证明ae 平面pbc 再求ae即可 作出二面角a ec d的平面角并证明 再构造三角形求平面角的余弦值 规范解答 1 选c 将图形补成一个正方体如图 则pa与bd所成的角等于bc 与bd所成的角即 dbc 在等边三角形dbc 中 dbc 60 即pa与bd所成角为60 故选c 2 连结ae 在矩形abcd中 ad bc 从而ad 平面pbc 故直线ad与平面pbc的距离为点a到平面pbc的距离 因为pa ab 由pa ab知 pab为等腰直角三角形 又点e是棱pb的中点 故ae pb 因为pa 底面abcd 所以pa bc 又因为bc ab 所以bc 平面pab 故bc ae 从而ae 平面pbc 故ae的长即为直线ad与平面pbc的距离 在rt pab中 pa ab 所以ae 过点d作df ce 交ce于f 过点f作fg ce 交ac于g 则 dfg为所求的二面角的平面角 由 知bc 平面pab 又ad bc 得ad 平面pab 故ad ae 从而de 在rt cbe中 ce 由cd 知 cde为等边三角形 故f为ce的中点 且df cd sin因为ae 平面pbc 故ae ce 又fg ce 知fgae 从而fg 且g点为ac的中点 连结dg 则在rt adc中 dg 所以cosdfg 所以二面角a ec d的平面角的余弦值为 互动探究 在本例 2 的条件下 求直线ed与平面abcd所成的角 解析 设f为ab的中点 连结ef fd efpa pa 平面abcd edf为直线ed与平面abcd所成的角 又 ef pa fd tanedf 又 edf 0 edf 故直线ed与平面abcd所成的角为 反思 感悟 在解决 2 题问题 时 易忽视证明ad 平面pbc 直接指出a点到平面pbc的距离即为直线ad与平面pbc的距离 造成解题步骤不完整而失分 在解决问题 时 作二面角的平面角比较容易 但应注意运算的准确性 变式备选 如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 aa1 平面abc acb 90 ab 2 bc 1 d是棱cc1的中点 1 证明 a1d 平面ab1c1 2 求平面a1b1a与平面ab1c1所成的锐二面角的大小 解析 1 acb 90 bc ac 三棱柱abc a1b1c1中 aa1 平面abc cc1 aa1 bc cc1 ac cc1 c bc 平面acc1a1 a1d 平面acc1a1 bc a1d 而bc b1c1 则b1c1 a1d 在rt acc1与rt dc1a1中 acc1 dc1a1 ac1c da1c1 ac1c c1da1 90 即a1d ac1 又b1c1 ac1 c1 a1d 平面ab1c1 2 如图 设a1d ac1 h 过a1作ab1的垂线 垂足为g 连结gh a1h 平面ab1c1 ab1 a1g ab1 gh a1gh为二面角a1 ab1 c1的平面角 在rt aa1b1中 aa1 a1b1 2 ab1 a1g 在rt aa1c1中 aa1 a1c1 ac1 3 a1h 在rt a1gh中 sina1gh a1gh arcsin即平面a1b1a与平面ab1c1所成的锐二面角的大小为arcsin 棱柱 棱锥的表面积与体积 方法点睛 求几何体体积的常见方法 1 公式法 直接利用柱体 锥体的体积公式求解 2 体积转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量 面积或高 不易求出时 可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解 该方法特别适合于求三棱锥的体积 3 割补法 在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时 经常要用到割补法 割补法是割法与补法的总称 补法是把不熟悉的 或复杂的 几何体延伸或补加成熟悉的 或简单的 几何体 把不完整的图形补成完整的图形 割法是把复杂的几何体切割成简单的几何体 割与补是对立统一的 是一个问题的两个方面 例4 2011 福建高考 如图 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad 点e在线段ad上 且ce ab 1 求证 ce 平面pad 2 若pa ab 1 ad 3 cd cda 45 求四棱锥p abcd的体积 解题指南 1 由ce ab联想到 要证ce 平面pad 只需证ce pa ce ad即可 2 用公式v四棱锥p abcd s四边形abcd pa求体积 规范解答 1 因为pa 平面abcd ce 平面abcd 所以pa ce 因为ab ad ce ab 所以ce ad 又pa ad a 所以ce 平面pad 2 由 1 可知ce ad 在rt ecd中 de cd cos45 1 ce cd sin45 1 又因为ab ce 1 ab ce 所以四边形abce为矩形 所以s四边形abcd s矩形abce s ecd ab ae ce de 1 2 1 1 又pa 平面abcd pa 1 所以v四棱锥p abcd s四边形abcd pa 1 反思 感悟 求几何体的体积要先确定底面和高 然后根据题目条件求出相应的值代入公式求解即可 本题 2 将四边形abcd的面积转化为矩形abce与三角形ecd的面积之和是解决本题的关键 变式训练 如图 四棱锥f abcd的底面abcd是菱形 其对角线ac 2 bd ae cf都与平面abcd垂直 ae 1 cf 2 1 求二面角b af d的大小 2 求四棱锥e abcd与四棱锥f abcd公共部分的体积 解析 1 连结ac bd交于菱形的中心o 过o作og af g为垂足 连结bg dg 由bd ac bd cf得bd 平面acf 故bd af 于是af 平面bgd 所以bg af dg af bgd为二面角b af d的平面角 a e g d c b o f 由fc ac fc ac 2 得 fac og 由ob og ob od 得 bgd 2 bgo 所以二面角b af d的大小为 2 连结eb ec ed 设直线af与直线ce相交于点h 则四棱锥e abcd与四棱锥f abcd的公共部分为四棱锥h abcd 过h作hp 平面abcd p为垂足 a b c d e f p h 因为ea 平面abcd fc 平面abcd 所以平面acfe 平面abcd 从而p ac hp ac 由 1 得hp 又因为s菱形abcd ac bd 故四棱锥h abcd的体积v s菱形abcd hp 变式备选 如图 ab为圆o的直径 点e f在圆o上 ab ef 矩形abcd所在的平面和圆o所在的平面互相垂直 且ab 2ad 2ef 2 1 求证 af 平面cbf 2 设fc的中点为m 求证 om 平面daf 3 设平面cbf将几何体efabcd分成的两个锥体的体积分别为vf abcd vf cbe 求vf abcd vf cbe 解题指南 1 紧扣线面垂直判定定理 将线面垂直转化为线线垂直 2 由m是cf的中点 利用三角形中位线和平行四边形的性质 确定平面daf中与om平行的直线即可证明 3 据条件 将vf abcd及vf cbe表示出来 再求其比值 当然 要由vf cbe vc bef等积法求vf cbe 解析 1 平面abcd 平面abef cb ab 平面abcd 平面abef ab cb 平面abef af 平面abef af cb 又 ab为圆o的直径 af bf 又 bc bf b af 平面cbf 2 设df的中点为n 连结mn an 则mncd 又aocd 则mnao 所以四边形mnao为平行四边形 om an 又an 平面daf om平面daf om 平面daf 3 过点f作fg ab于g 平面abcd 平面abef fg 平面abcd vf abcd s矩形abcd fg fg cb 平面abef vf cbe vc bfe s bfe cb ef fg cb fg vf abcd vf cbe 4 1 满分指导 关于棱柱解答题的规范解答 典例 12分 2011 湖北高考 如图 已知正三棱柱abc a1b1c1的各棱长都是4 e是bc的中点 动点f在侧棱cc1上 且不与点c重合 1 当cf 1时 求证 ef a1c 2 设二面角c af e的大小为 求tan 的最小值 解题指南 1 由题意可知 该三棱柱的各侧面为正方形 由于a1c为侧面的一条对角线 故可考虑作出ef在平面acc1a1内的射影 然后利用三垂线定理解决 2 利用二面角的定义作出二面角的平面角 建立 与 fac的关系求解 规范解答 过e作en ac于n 连结ef 1分 1 如图 连结nf ac1 由直棱柱的性质知 底面abc 侧面a1c 又底面abc 侧面a1c ac 且en 底面abc 所以en 侧面a1c nf为ef在侧面a1c内的射影 3分在rt cne中 cn cecos60 1 则由 得nf ac1 5分又ac1 a1c 故nf a1c 由三垂线定理得ef a1c 6分 2 如图 连结af 过n作nm af于m 连结me 由 1 知en 侧面a1c 根据三垂线定理得em af 所以 emn是二面角c af e的平面角 即 emn 8分设 fac 则0 45 在rt cne中 ne