一阶微分方程积分因子探讨.doc

一阶微分方程积分因子的求法研究 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导教师：郑 丽 职称：教授摘 要：针对满足某些条件的微分方程，本文将给出几种直接、有效地求积分因子的方法关键词：一阶微分方程；积分因子前言 一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础，一般的有两种处理方式：一是以变量可分离的方程为基础，通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方程；另外就是以全微分方程为基础，采取积分因子法把一个一阶微分方程化为全微分方程求这里我们讨论了积分因子存在的充要条件，给出了确定若干特殊类型的积分因子的求法1积分因子的定义若对于一阶微分方程 其中，在矩形域内是的连续函数，且有连续的一阶偏导数若存在连续可微的函数，使得，为一恰当方程，即存在函数，使则称为方程的积分因子通过计算可得，函数为积分因子的充要条件为：，即 这是个以为未知数的一阶线性偏微分方程，要想通过解方程来求积分因子通常很困难，但在若干特殊情况下，求积分因子还是容易的，下面总结了几种可以方便求出特殊类型的积分因子的方法2积分因子存在的充要条件定理1 方程具有形如的积分因子的充要条件为：证明 因为有积分因子的充要条件为令，则有，即并由此得出其积分因子为根据这个定理可以得出以下特殊类型的积分因子的充要条件2.1 具有形式的积分因子方程具有特殊因子的充要条件为，这里仅为的函数于是积分因子为例1求的积分因子解 因为，且，则，于是积分因子为2.2 具有形式的积分因子方程具有特殊因子的充要条件为，这里仅为的函数于是积分因子为例2求的积分因子解 因为，且，于是积分因子为2.3 具有形式的积分因子方程具有特殊因子的充要条件为例3求方程的积分因子解 因为， ，且，只与有关，于是有积分因子2.4 具有形式的积分因子方程具有特殊因子的充要条件为例4 求方程的积分因子解 因为， ，且，于是积分因子为推广 方程具有特殊因子的充要条件是：2.5 具有形式的积分因子方程具有特殊因子的充要条件为由此又可分为二种类型： 方程具有特殊因子的充要条件为; 方程具有特殊因子的充要条件为例5 求方程的积分因子解设积分因子为，于是有，或写成上式对任意和都满足时，必须有，解之得，于是有积分因子注 此种类型中，的确定可用待定系数法以上所讨论的是微分方程具有特殊因子的求法而有些方程具有特殊结构，我们可根据其特殊结构求出其积分因子3特殊结构方程的积分因子定理2 方程有积分因子：定理3 如果，而和皆为次齐次函数，则方程有积分因子：综上所述，该文介绍一些特殊类型的积分因子的求法及部分特殊结构的微分方程的积分因子的求法，只要掌握这几种方法，就能很容易的解出一些方程的积分因子，将大大提高解微分方程的效率和可操作性参考文献：1 焦宝聪，王在洪，时红廷常微分方程M北京：清华大学出版社，20082 孙清华，李金兰常微分方程内容、方法和技巧M武汉：华中科技大学出版社，20063 钱伟长常微分方程的理论及其解法M北京：国防工业出版社19924 丁同仁，李承浩常微分方程教程M北京：高等教育出版社19915 王高雄，周之铭，王寿松常微分方