高中数学 第三章 空间向量与立体几何阶段复习课课件 新人教A版选修21 .ppt

阶段复习课第三章 核心解读 1 证明空间任意三点共线的方法设空间三点p a b 1 2 对空间任一点o 3 对空间任一点o 2 证明空间四点共面的方法设空间四点p a b c 1 x y为有序实数对 2 对空间任一点o 3 对空间任一点o x y z 1 3 空间向量运算的坐标表示设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 1 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a a1 a2 a3 a b a1b1 a2b2 a3b3 2 重要结论a b a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 r a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 4 模 夹角和距离公式 1 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 a cos a b 2 设a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 则 5 空间向量的结论与线面位置关系的对应关系 1 设直线l的方向向量是u a1 b1 c1 平面 的法向量v a2 b2 c2 则l u v u v 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 l u v u kv a1 b1 c1 k a2 b2 c2 a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 k r 2 设直线l m的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为u v 则l m a b a kb k r l m a b a b 0 l a u a u 0 l a u a ku k r u v u kv k r u v u v 0 6 空间向量与空间角的关系 1 设异面直线l1 l2的方向向量分别为m1 m2 则l1与l2的夹角 满足cos cos 2 设直线l的方向向量和平面 的法向量分别为m n 则直线l与平面 的夹角 满足sin cos 3 求二面角的大小 如图 ab cd是二面角 l 的两个半平面 内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 如图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足cos cos或 cos 主题一空间向量概念及运算 典例1 1 2014 贵州高二检测 下列说法中正确的是 a 若 a b 则a b的长度相同 方向相同或相反b 若向量a是向量b的相反向量 则 a b c 空间向量的减法满足结合律d 在四边形abcd中 一定有 2 如图 在正方形abcd中 已知ab 2 m为bc的中点 若n为正方形内 含边界 任意一点 则的最大值为 自主解答 1 选b a b 说明a与b模长相等 但方向不确定 对于a的相反向量b a 故 a b 从而b正确 空间向量只定义加法具有结合律 减法不具有结合律 一般的四边形不具有只有平行四边形才能成立 故a c d均不正确 2 由数量积公式得 表示向量在向量的方向上的投影 要使值最大 只需最大 又因点n在正方形内 含边界 所以当点n与c重合时 过点c作ch am 垂足为h 得最大 故由ab 2 m为bc的中点可得所以的最大值为6 答案 6 延伸探究 题 2 中若结论改为则结果如何 解析 由数量积公式得表示向量在向量的方向上的投影 要使值最大 只需最大 又因点n在正方形内 含边界 所以当点n与c重合时 cb ab 得最大 故的最大值为4 方法技巧 空间向量运算的几何意义 1 加法 减法 其几何意义体现在平行四边形法则与三角形法则中 2 数乘运算 其几何意义体现的是在有向直线上的向量长度与方向的转化 3 数量积公式 其几何意义体现在夹角与模的理解上 如利用 a 2 a a可以解决线段长度问题 在单位向量e方向上的投影为 补偿训练 在以下四个式子中a b c a b c a b c a b a b 表达正确的有 a 1个b 2个c 3个d 0个 解析 选a 根据数量积的定义 b c是一个实数 a b c无意义 实数与向量无数量积 故a b c 错 a b a b cos a b 只有a b c 正确 主题二空间向量的坐标运算 典例2 1 若向量a 4 2 4 b 6 3 2 则 2a 3b a 2b 2 若a x 5 x 2x 1 b 1 x 2 2 x 当取最小值时 x的值等于 自主解答 1 因为2a 3b 10 13 14 a 2b 16 4 0 所以 2a 3b a 2b 10 13 14 16 4 0 212 答案 212 2 由点a b坐标 得 1 x 2x 3 3x 3 所以当x 时 取最小值 答案 方法技巧 熟记空间向量的坐标运算公式设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 1 加减运算 a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 2 数量积运算 a b x1x2 y1y2 z1z2 3 向量夹角 cos 4 向量长度 设m1 x1 y1 z1 m2 x2 y2 z2 则提醒 在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算 拓展延伸 向量坐标运算的综合应用向量运算的坐标表示公式要熟记 从而能准确快速地进行计算 专门运算的题目很少 一般与共面向量定理 共线向量定理组合出题 熟练掌握这两个定理也是运算的基础 共面向量 利用p与a b向量共面 p xa yb时 一定要注意a b不能共线 反之利用p xa yb p与a b向量共面时 则不需要a b不共线的条件 常见结论 空间任一点o和不共线三点a b c 则 x y z 1 是p a b c四点共面的充要条件 补偿训练 设点c 2a 1 a 1 2 在点p 2 0 0 a 1 3 2 b 8 1 4 确定的平面上 则a的值为 a 7b 4c 16d 16 解析 选d 1 3 2 6 1 4 根据共面向量定理 设 x y r 则 2a 1 a 1 2 x 1 3 2 y 6 1 4 x 6y 3x y 2x 4y 所以解得x 7 y 4 a 16 主题三空间向量与平行 垂直问题 典例3 1 已知a b c三点的坐标分别为a 4 1 3 b 2 5 1 c 3 7 若则 等于 a 28b 28c 14d 14 2 2014 银川高二检测 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 ad 1 e为cd的中点 求证 b1e ad1 在棱aa1上是否存在一点p 使得dp 平面b1ae 若存在 求ap的长 若不存在 说明理由 自主解答 1 选d 2 6 2 1 6 3 因为所以 2 1 6 6 2 3 0 解得 14 2 以a为原点 的方向分别为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系 如图 设ab a 则a 0 0 0 d 0 1 0 d1 0 1 1 e 1 0 b1 a 0 1 故 0 1 1 1 1 a 0 1 1 0 因为 0 1 1 1 1 0 所以b1e ad1 假设在棱aa1上存在一点p 0 0 z0 0 z0 1 使得dp 平面b1ae 此时 0 1 z0 又设平面b1ae的法向量n x y z 由得 取x 1 得平面b1ae的一个法向量n 1 a 要使dp 平面b1ae 只要n 有 az0 0 解得z0 又dp 平面b1ae 所以存在点p 满足dp 平面b1ae 此时ap 方法技巧 利用空间向量证明空间中的位置关系 1 线线平行 证明两条直线平行 只需证明两条直线的方向向量是共线向量 2 线线垂直 证明两条直线垂直 只需证明两直线的方向向量垂直 3 线面平行 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量 利用共面向量定理 即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示 4 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量平行 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题 5 面面平行 证明两个平面的法向量平行 即是共线向量 转化为线面平行 线线平行问题 6 面面垂直 证明两个平面的法向量互相垂直 转化为线面垂直 线线垂直问题 补偿训练 如图所示 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 m n分别是c1d1 ab的中点 e在aa1上且ae 2ea1 f在cc1上且cf fc1 试证明me nf 证明 由平行六面体的性质知所以又m e n f不共线 所以me nf 主题四利用空间向量求空间角 典例4 1 2012 四川高考 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是棱cd cc1的中点 则异面直线a1m与dn所成的角的大小是 2 2013 江苏高考 如图 在直三棱柱a1b1c1 abc中 ab ac ab ac 2 a1a 4 点d是bc的中点 求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值 求平面adc1与平面aba1所成二面角的正弦值 自主解答 1 设正方体的棱长为1 建立如图所示的空间直角坐标系dxyz 则d 0 0 0 n 0 1 a1 1 0 1 m 0 0 所以 1 1 0 1 所以所以 90 所以异面直线a1m与dn所成的角的大小为90 答案 90 2 以a为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系axyz 则a 0 0 0 b 2 0 0 c 0 2 0 d 1 1 0 a1 0 0 4 c1 0 2 4 所以 2 0 4 1 1 4 因为所以异面直线a1b与c1d所成角的余弦值为 设平面adc1的法向量为n1 x y z 因为 1 1 0 0 2 4 所以n1 0 n1 0 即x y 0且y 2z 0 取z 1 得x 2 y 2 所以n1 2 2 1 是平面adc1的一个法向量 取平面aa1b的一个法向量为n2 0 1 0 设平面adc1与平面aba1所成二面角的大小为 由 cos 得sin 因此 平面adc1与平面aba1所成二面角的正弦值为 方法技巧 用向量法求空间角的注意点 1 异面直线所成角 两异面直线所成角的范围为0 90 需找到两异面直线的方向向量 借助方向向量所成角求解 2 直线与平面所成的角 要求直线a与平面 所成的角 先求这个平面 的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos n a 易知 n a 或者 n a 3 二面角 如图 有两个平面 与 分别作这两个平面的法向量n1与n2 则平面 与 所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补 所以首先应判断二面角是锐角还是钝角 补偿训练 2013 江西高考 如图 四棱锥p abcd中 pa 平面abcd e为bd的中点 g为pd的中点 dab dcb ea eb ab 1 pa 连接ce并延长交ad于f 1 求证 ad 平面cfg 2 求平面bcp与平面dcp的夹角的余弦值 解题指南 1 利用判定定理证明线面垂直时 需证线线垂直 本题易证 ef ad gf ad 2 建立空间直角坐标系 借助空间向量求出 解析 1 在 abd中 因为e是bd的中点 所以ea eb ed ab 1 故 bad abe aeb 因为 dab dcb 所以 eab ecb 从而有 fed bec aeb 所以 fed fea 故ef ad af fd 又因为pg gd 所以fg pa 又pa 平面abcd 所以gf ad 又gf ef f 故ad 平面cfg 2 以点a为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 则a 0 0 0 b 1 0 0 所以设平面bcp的法向量n1 1 y1 z1 则解得即n1 同理 设平面dcp的法向量n2 1 y2 z2 则解得即n2 1 2 从而平面bcp与平面dcp的夹角的余弦值为cos 主题五空间向量解决空间的探索性问题 典例5 2013 北京高考 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 aa1c1c是边长为4的正方形 平面abc 平面aa1c1c ab 3 bc 5 1 求证 aa1 平面abc 2 求二面角a1 bc1 b1的余弦值 3 证明 在线段bc1上存在点d 使得ad a1b 并求的值 自主解答 1 因为a1acc1是正方形 所以aa1 ac 又因为平面abc 平面a1acc1 交线为ac 所以aa1 平面abc 2 因为ac 4 bc 5 ab 3 所以ac ab 分别以ac ab aa1为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 则a1 0 0 4 b 0 3 0 c1 4 0 4 b1 0 3 4 4 0 0 0 3 4 4 3 0 0 0 4 设平面a1bc1的法向量为n1 x1 y1 z1 平面b1bc1的法向量为n2 x2 y2 z2 所以所以 所以可取n1 0 4 3 由可得可取n2 3 4 0 所以cos n1 n2 由图可知二面角a1 bc1 b1为锐角 所以余弦值为 3 设点d的竖坐标为t 0 t 4 在平面bcc1b1中作de bc于e 根据比例关系可知d t 4 t t 0 t 4 所以 t 4 t t 0 3 4 又因为所以 4 t 4t 0 所以t 所以 方法技巧 探索性问题的处理策略用空间向量研究立体几何中的探索性 或存在性 问题的关键是构建向量及空间直角坐标系 然后利用空间向量的数量积 向量模的投影公式处理空间平行 垂直等位置关系问题 可避开传统的 作 证 算 中的难点 具有较强的可操作性 提醒 利用空间几何体的位置关系转化为向量运算的关系式 建立方程是动点存在性问题得以解决的关键 补偿训练 在底面是菱形的四棱锥p abcd中 abc 60 pa ac a pb pd 点e在pd上 且pe ed 2 1 在棱pc上是否存在一点 使bf 平面aec 证明你的结论 解析 以 为坐标原点 直线ad ap分别为y轴 z轴 过点a作垂直于平面yoz的直线为x轴 建立空间直角坐标系 由题知a 0 0 0 bc d 0 a 0 p 0 0 a e 设点 是棱pc上的点 其中0 1 则令得 即当 时 亦即f是pc的中点时 共面 又bf 平面aec 所以当f是棱pc的中点时 bf 平面aec 强化训练 1 已知a 1 0 2 b 6 2 1 2 若a b 则 与 的值可以是 a 2 b c 3 2d 2 2 解析 选a 因为a b 所以存在实数k 使b ka 即 6 2 1 2 k k 0 2k 所以所以或 2 在长方体abcd a1b1c1d1中 下列关于的表达式 正确的个数是 a 1个b 2个c 3个d 4个 解题指南 可借助空间几何体中的有向线段 利用平行四边形法则 三角形法则结合所对应的向量进行表示 解析 选b 通过题意 可知又所以 正确 对于 所以 错误 同理 错误 对于 易得所以 正确 故选b 3 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 以d为原点建立空间直角坐标系 e为bb1的中点 f为a1d1的中点 则下列向量中能作为平面aef的法向量的是 a 1 2 4 b 4 1 2 c 2 2 1 d 1 2 2 解析 选b 设平面aef的法向量n x y z 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 则a 1 0 0 e 1 1 f 0 1 故由即所以只有选项b满足 故选b 4 若向量a 1 2 b 2 1 2 a b夹角的余弦值为则 等于 解析 cos a b 所以 2或答案 2或 5 a 1 t 1 t t b 2 t t 则 b a 的最小值是 解析 b a 1 t 2t 1 0 因为 b a 2 1 t 2 2t 1 2 5t2 2t 2 所以 b a min 答案 误区警示 求向量b a的模时 不能先进行向量的坐标运算 再求向量模 而是直接利用 b a 而导致计算烦琐 6 2013 重庆高考 如图 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd bc cd 2 ac 4 acb acd f为pc的中点 af pb 1 求pa的长 2 求二面角b af d的正弦值 解题指南 建立空间直角坐标系 写出相应点的坐标 根据af pb可求出pa的长 再通过求平面的法向量可以求出二面角的正弦值 解析 1 如图 连接bd交ac于o 因为bc cd 即 bcd为等腰三角形 又ac平分 bcd 故ac bd 以o为坐标原点 的方向分别为x轴 y轴 z轴的正方向 建立空间直角坐标系oxyz 则oc cdcos 1 而ac 4 得ao ac oc 3 又od cdsin故a 0 3 0 b 0 0 c 0 1 0 d 0 0 因pa 底面abcd 可设p 0 3 z 由f为pc边中点 f 0 1 又因af pb 故 0 即6 0 z 舍去z 所以即pa长为 2 由 1 知 3