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相交线与平行线复习及练习题相交线与平行线复习及练习题 2 知识点梳理知识点梳理 一 知识定义一 知识定义 邻补角 邻补角 两条直线相交所构成的四个角中 有公共顶点且有一条公共边的两个 角是邻补角 对顶角 对顶角 一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线 像这样的两个角 互为对顶角 垂线 垂线 两条直线相交成直角时 叫做互相垂直 其中一条叫做另一条的垂线 平行线 平行线 在同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线 同位角 内错角 同旁内角 同位角 内错角 同旁内角 同位角 1 与 5 像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角 内错角 2 与 6 像这样的一对角叫做内错角 同旁内角 2 与 5 像这样的一对角叫做同旁内角 命题 命题 判断一件事情的语句叫命题 平移 平移 在平面内 将一个图形沿某个方向移动一定的距离 图形的这种移动叫 做平移平移变换 简称平移 对应点 对应点 平移后得到的新图形中每一点 都是由原图形中的某一点移动后得到 的 这样的两个点叫做对应点 三 定理与性质三 定理与性质 对顶角的性质 对顶角的性质 对顶角相等 垂线的性质 垂线的性质 性质 1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 性质 2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段最短 平行公理 平行公理 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 平行公理的推论 平行公理的推论 如果两条直线都与第三条直线平行 那么这两条直线也互相 平行 平行线的性质 平行线的性质 性质 1 两直线平行 同位角相等 性质 2 两直线平行 内错角相等 性质 3 两直线平行 同旁内角互补 平行线的判定 平行线的判定 判定 1 同位角相等 两直线平行 判定 2 内错角相等 两直线平行 判定 3 同旁内角相等 两直线平行 三 经典例题三 经典例题 题型一 互余与互补 例1 一个角的余角比它的补角的少20 则这个角为 A 30 B 40 C 60 D 75 分析 若设这个角为x 则这个角的余角是90 x 补角是180 x 于是构造 出方程即可求解 解 设这个角为x 则这个角的余角是90 x 补角是180 x 则根据题意 得 180 x 90 x 20 解得 x 40 故应选B 1 2 说明 处理有关互为余角与互为补角的问题 除了要弄清楚它们的概念 通常 情况下不要引进未知数 构造方程求解 题型二 平行线的性质与判定 例2 判断题 1 不相交的两条直线叫做平行线 2 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 3 两直线平行 同旁内角相等 4 两条直线被第三条直线所截 同位角相等 答案 1 错 应为 在同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线 2 错 应为 过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行 3 错 应为 两直线平行 同旁内角互补 4 错 应为 两条平行线被第三条直线所截 同位角相等 例3 已知 如图1 l1 l2 1 50 则 2的度数是 A 135 B 130 C 50 D 40 分析 要求 2的度数 由l1 l2可知 1 2 180 于是由 1 50 即可求解 解 因为l1 l2 所以 1 2 180 又因为 1 50 所以 2 180 1 180 50 130 故应选B 说明 本题是运用两条直线平行 同旁内角互补求解 例4 如图2 已知直线l1 l2 1 40 那么 2 度 分析 如图2 要求 2的大小 只要能求出 3 此时由直线l1 l2 得 3 1即 可求解 解 因为l1 l2 1 40 所以 1 3 40 又因为 2 3 所以 2 40 故应填上40 说明 本题在求解过程中运用了两条直线平行 同位角相等求解 图3 例5 如图3 已知AB CD 1 30 2 90 则 3等于 A 60 B 50 C 40 D 30 分析 要求 3的大小 为了能充分运用已知条件 可以过 2的顶点作EF AB 由有 1 AEF 3 CEF 再由 1 30 2 90 求解 解 如图3 过 2的顶点作EF AB 所以 1 AEF 又因为AB CD 所以EF CD 所以 3 CEF 而 1 30 2 90 所以 3 90 30 60 故应选A 说明 本题在求解时连续两次运用了两条直线平行 内错角相等求解 例6 如图4 AB CD 直线EF分别交AB CD于E F两点 BEF的平分线交 CD于点G 若 EFG 72 则 EGF等于 A 36 B 54 C 72 D 108 2 1 图 2 图 1 F 图 3 E 分析 要求 EGF的大小 由于AB CD 则有 BEF EFG 180 EGF BEG 而EG平分 BEF EFG 72 所以可以求得 EGF 54 解 因为AB CD 所以 BEF EFG 180 EGF BEG 又因为EG平分 BEF EFG 72 所以 BEG FEG 54 故应选B 说明 求解有关平行线中的角度问题 只要能熟练掌握平行线的有关知识 灵 活运用对顶角 角平分线等知识就能简洁获解 课堂作业 如图 已知 于 D 为上一点 于ABC ADBC EABEFBC F 交 CA 于 G 求证 DGBA12 例7 已知 如图 AB CD 求证 B D BED 分析 可以考虑把 BED变成两个角的和 如图5 过E点引 一条直线EF AB 则有 B 1 再设法证明 D 2 需证 EF CD 这可通过已知AB CD和EF AB得到 证明 过点E作EF AB 则 B 1 两直线平行 内错角相等 AB CD 已知 又 EF AB 已作 EF CD 平行于同一直线的两条直线互相平行 D 2 两直线平行 内错角相等 又 BED 1 2 BED B D 等量代换 图 4 B D GF C A E A B E D C F 变式1已知 如图6 AB CD 求证 BED 360 B D 分析 此题与例1的区别在于E点的位置及结论 我们通常所说的 BED都是指小于平角的角 如果把 BED看成是大于平角的角 可以 认为此题的结论与例1的结论是一致的 因此 我们模仿例1作辅助线 不难解决此题 证明 过点E作EF AB 则 B 1 180 两直线平行 同旁内角互补 AB CD 已知 又 EF AB 已作 EF CD 平行于同一直线的两条直线互相平行 D 2 180 两直线平行 同旁内角互补 B 1 D 2 180 180 等式的性质 又 BED 1 2 B D BED 360 等量代换 BED 360 B D 等式的性质 变式2已知 如图7 AB CD 求证 BED D B 分析 此题与例1的区别在于E点的位置不同 从而结论也不同 模仿例1 与变式1作辅助线的方法 可以解决此题 证明 过点E作EF AB 则 FEB B 两直线平行 内错角相等 AB CD 已知 又 EF AB 已作 EF CD 平行于同一直线的两条直线互相平行 FED D 两直线平行 内错角相等 BED FED FEB BED D B 等量代换 变式3已知 如图8 AB CD 求证 BED B D 分析 此题与变式2类似 只是 B D的大小发生了变化 证明 过点E作EF AB 则 1 B 180 两直线平行 同旁内角互补 AB CD 已知 又 EF AB 已作 EF CD 平行于同一直线的两条直线互相平行 FED D 180 两直线平行 同旁内角互补 1 2 D 180 1 2 D 1 B 180 180 等式的性质 2 B D 等式的性质 即 BED B D 例8 已知 如图9 AB CD ABF DCE 求证 BFE FEC 证法一 过F点作FG AB 则 ABF 1 两直线平行 内错角相等 过E点作EH CD 则 DCE 4 两直线平行 内错角相等 FG AB 已作 AB CD 已知 FG CD 平行于同一直线的两条直线互相平行 又 EH CD 已知 FG EH 平行于同一直线的两条直线互相平行 2 3 两直线平行 内错角相等 1 2 3 4 等式的性质 即 BFE FEC 证法二 如图10 延长BF DC相交于G点 AB CD 已知 1 ABF 两直线平行 内错角相等 又 ABF DCE 已知 1 DCE 等量代换 BG EC 同位角相等 两直线平行 BFE FEC 两直线平行 内错角相等 如果延长CE AB相交于H点 如图11 也可用同样的 方法证明 过程略 证法三 如图12 连结BC AB CD 已知 ABC BCD 两直线平行 内错角相等 又 ABF DCE 已知 ABC ABF BCD DCE 等式的性质 即 FBC BCE BF EC 内错角相等 两直线平行 BFE FEC 两直线平行 内错角相等 题型三 尺规作图 例9 已知角 和线段c如图5所示 求作等腰三角形ABC 使其底角 B 腰长 AB c 要求仅用直尺和圆规作图 写出作法 并保留作图痕迹 分析 要作等腰三角形ABC 使其底角 B 腰长AB c 可以先作出底角 B 再在底角的一边截取BA c 然后以点A为圆心 线段c为半径作弧交 BP于点C 即得 作法 1 作射线BP 再作 PBQ 2 在射线BQ上截取BA c 3 以点A为圆心 线段c为半径作弧交BP于点C 4 连接AC 则 ABC为所求 如图6 例10 如图7 已知 AOB和射线O B 用尺规作图法作 A O B AOB 要求保 留作图痕迹 分析 只要再过点O 作一条射线O A 使得 A O B AOB即可 作法 1 以O为圆心 任意长为半径 画弧 交OA OB于点C D A OB B O 图 7 A D C D C 图 5 c A 图 6 c c B C P 2 以O 为圆心 同样长为半径画弧 交O B 于点D 3 以D 为圆心 CD长为半径画弧与前弧交于点C 4 过点O C 作一条射线O A 如图7中的 A O B 即为所求作 说明 在实际答题时 根据题目的要求只要保留作图的痕迹即可了 课后作业 1 选择题 1 下列说法中 正确的是 A 一条射线把一个角分成两个角 这条射线叫做这个角的平分线 B P 是直线 L 外一点 A B C 分别是 L 上的三点 已知 PA 1 PB 2 PC 3 则点 P 到 L 的距离一定是 1 C 相等的角是对顶角 D 钝角的补角一定是锐角 2 如图 1 直线 AB CD 相交于点 O 过点 O 作射线 OE 则图中的邻补角一 共有 A 3 对 B 4 对 C 5 对 D 6 对 1 2 3 3 若 1 与 2 的关系为内错角 1 40 则 2 等于 A 40 B 140 C 40 或 140 D 不确定 4 如图 哪一个选项的右边图形可由左边图形平移得到 5 a b c 为平面内不同的三条直线 若要 a b 条件不符合的是 A a b b c B a b b c C a c b c D c 截 a b 所得的内错角的邻补角相等 6 如图 2 直线 a b 被直线 c 所截 现给出下列四个条件 1 1 5 2 1 7 3 2 3 180 4 4 7 其中能判定 a b 的条件的序号是 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 3 4 7 如图 3 若 AB CD 则图中相等的内错角是 A 1 与 5 2 与 6 B 3 与 7 4 与 8 C 2 与 6 3 与 7 D 1 与 5 4 与 8 8 如图 4 AB CD 直线 EF 分别交 AB CD 于点 E F ED 平分 BEF 若 1 72 则 2 的度数为 A 36 B 54 C 45 D 68 4 5 6 9 已知线段 AB 的长为 10cm 点 A B 到直线 L 的距离分别为 6cm 和 4cm 则符合条件的直线 L 的条数为 A 1 B 2 C 3 D 4 10 如图 5 四边形 ABCD 中 B 65 C 115 D 100 则 A 的度数为 A 65 B 80 C 100 D 115 11 如图 6 AB EF CD EF 1 F 45 那么与 FCD 相等的角有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 12 若 A 和 B 的两边分别平行 且 A 比 B 的 2 倍少 30 则 B 的度数为 A 30 B 70 C 30 或 70 D 100 二 填空题二 填空题 本大题共 8 小题 每小题 3 分 共 24 分 把答案填在题中横线上 13 如图 一个合格的弯形管道 经过两次拐弯后保持平行 即 AB DC 如果 C 60 那么 B 的度数是 14 已知 如图 1 ABC ADC 3 5 2 4 ABC BCD 180 将下列推理过程 补充完整 1 1 ABC 已知 AD 2 3 5 已知 AB 3 ABC BCD 180 已知 16 已知直线 AB CD 相交于点 O AOC BOC 50 则 AOC 度 BOC 度 17 如图 7 已知 B C E 在同一直线上 且 CD AB 若 A 105 B 40 则 ACE 为 7 8 9 18 如图 8 已知 1 2 D 78 则 BCD 度 19 如图 9 直线 L1 L2 AB L1 垂足为 O BC 与 L2相交于点 E 若 1 43 则 2 度 20 如图 ABD CBD DF AB DE BC 则 1 与 2 的大小关系是 三 解答题三 解答题 本大题共 6 小题 共 40 分 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 22 7 分 如图 AB A B BC B C BC 交 A B 于点 D B 与 B 有什么 关系 为什么 23 6 分 如图 已知 AB CD 试再添上一个条件 使 1 2 成立 要求 给出两个答案 24 6 分 如图 AB CD 1 2 3 1 2 3 说明 BA 平分 EBF 的道 理 25 7 分 如图 CD AB 于 D 点 F 是 BC 上任意一点 FE AB 于 E 且 1 2 3 80 求 BCA 的度数 26 8 分 如图 EF GF 于 F AEF 150 DGF 60 试判断 AB 和 CD 的位置关系 并说明理由 课堂作业答案 ADBC FEBC 90EFBADB EFAD 23 22 A F 1 DGF 对顶角相等 31DGBA 12 又 1 2 DGF 2 DB EC 同位角相等 两直线平行 DBA C 两直线平行 同位角相等 又 C D DBA D DF AC 内错角相等 两直线平行 A F 两直线平行 内错角相等 课后作业答案课后作业答案 1 D 2 D 点拨 图中的邻补角分别是 AOC 与 BOC AOC 与 AOD COE 与 DOE BOE 与 AOE BOD 与 BOC AOD 与 BOD 共 6 对 故选 D 3 D 4 C 5 C 6 A 7 C 点拨 本题的题设是 AB CD 解答过程中不能误用 AD BC 这个条件 8 B 点拨 AB CD 1 72 BEF 180 1 108 ED 平分 BEF BED BEF 54 1 2 AB CD 2 BED 54 故选 B 9 C 点拨 如答图 L1 L2两种情况容易 考虑到 但受习惯性思维的影响 L3这种 情况容易被忽略 10 B 11 D 点拨 FCD F A 1 ABG 45 故选 D 12 C 点拨 由题意 知或 230 AB AB 180 230 AB AB 解之得 B 30 或 70 故选 C 13 12