【毕业学位论文】（Word原稿）以第一原理探讨氮化铝镓铟能带结构特性-光电科技

国立彰化师范大学光电科技研究所 硕士论文 (口试版 ) 指导教授：郭艳光教授 以第一原理探讨氮化铝镓铟能带结构特性 究生：朱汉义撰 中华民国九十四年国立彰化师范大学光电科技研究所 硕士论文 研究生：朱汉义 以第一原理探讨氮化铝镓铟能带结构特性 本论文业经审查及口试合格特此证明 论文考试委员会主席 _ 委员： _ _ 指导教授：郭艳光博士 _ 所 长：吴仲卿主任 _ 中华民国九十四年六月 志 谢 我能顺利的在研究所期间完成硕士论文，要感谢许多人的帮忙与支持，首先诚心的感谢郭艳光教授与刘柏挺教授在这三年来一直指导我、督促我，无论是课业上、研究上及待人处事上，两位老师都有很多值得我学习的地方。与两位老师三年来的相处，也从您 们身上学到许多良好的习惯，尤其是两位老师对处理事情的态度，更是我所要努力学习的目标。对于郭艳光教授与刘柏挺教授不吝惜的教导，我在次致上最诚心的感谢。 接着感谢我的家人，爸爸、妈妈、弟弟、弟妹及小侄女，在研究所求学中持续不断地给我支持与勉励，回到家有伴可以陪我运动让我有充足的活力完成学业，特别感谢在我求学过程中的好友，冠均以及大学同学，由于彼此保持联络给予我精神上的支持，谢谢你们带给我相当多愉快的回忆。 最要感谢在研究上一起努力的实验室伙伴们：诒安学长及志康学长在我刚进入实验室时，相当热心的指导我，帮助我尽快 熟悉环境及提早进入状况，在研究上也协助我解决相当多问题。在此也感谢同学胜宏、正洋、孟伦及育骅，在课业上与研究上互相讨论，彼此打气一起顺利的完成课业。再来感谢学弟妹，尚卫、秀芬、嫚琳、佩璇、俊荣、永政、柏君、志力、政鸿、铭伟、少甫、清白、纪孝，感谢大家 在这段相处期间的帮助，从你们身上学到不少东西。 最后感谢在课业上教导过我的老师：陈美玲老师、黄满芳老师、黄启炎老师、石豫台老师以及多位老师，感谢您们用心对我的教导，除了课业之外，更让我对于未来人生规划有了方向，以及感谢李明宪教授拨空教导我模拟软体的操作。真诚的感 谢在研究所期间曾经帮助过我的人，在次仅以此论文献给你们。 I 目 录 目录 . I 中文摘要 . 英文摘要 . V 图表索引 . 第一章 第一原理计算方法 . 1 言 . 1 度泛函理 论 . 2 论 . 2 . 5 换相干能的局域密度近似 . 7 函微分求根及 程式 . 8 10 带理论计算 . 12 12 虚位势 . . 15 拟软体简介 . 18 参考文献 . 24 第二章 化铟镓结构特性之探讨 . 29 化铟镓晶格常数与能带特性分析 . 29 言 . 29 拟结构与参数设定 . 31 拟结果 与分析 . 33 论 . 41 化铟镓能带间隙弯曲函数 . 42 . 42 拟结构与参数设定 . 43 拟结果与分析 . 44 论 . 50 参考文献 . 51 第三章 化铝镓结构特性之探讨 . 59 言 . 59 拟结构与参数设定 . 61 拟结果与分析 . 62 论 . 73 参考文献 . 74 第四章 结论 . 78 附录一 已发表之相关论文 . 80 文摘要 首先第一章介绍第一原理所根据的密度泛函理论， 利用 理处理周期性固态晶格波函数问题，将原本无限多个单电子的周期性晶格简化为只要考虑单位晶格电子的计算。至于波函数简化则是利用无限平面波基底来展开，其中将贡献较小的高动能项省略，只留下重要的低动能项，利用虚位势的观念来取代原子真实的库仑位能，这样我们就不必去处理内层电子效应，只要处理价电子的部分。然而多电子间的交换相干能，则利用局域密度近似方式，如此一来将可以明显的减少计算量。 本文 以 拟计算固态电子结构，针对影响计算代价的因素做探讨，包含模型大小的选择、虚位势的选择、近似方法的选择、截止动能的选择及布里渊区积分时 目的选择。 在第二章中，我使用 拟软体计算 晶格常数与能带间隙值，由几何结构最佳化方法探讨晶格常数偏离线性的现象，对能带间隙与能带间隙弯曲参数所造成的影响，更进而分析 着铟浓度变化与能带间隙弯曲参数的关系。 在第三章中，使用 拟软体计算 晶格常数与能带间隙值，利用轨域密度分析随着铝浓度增加 由直接能隙逐渐转变为间接能隙。使用几何结构最佳化方法探讨晶格常数偏离线性的现象对于材料特性转换点的影响。最后在第四章中，我将对这篇论文模拟计算所得到的结果做回顾。 V n , I to a To a of to of to of of Its to of of We t to of We of In , I to of Its on of n , I to of Its to to I to of to of in , I of of 表索引 圖 自洽流程图 。 . . 11 圖 虚位势、虚波函数与全电子位势、全电子波函数比较图 。 . 16 圖 . 21 圖 立方晶系的 . 29 圖 氮化铟镓的晶格常数对铟浓度的关系图 。 . 37 圖 . 38 圖 (a)线性能带间隙； (b)非线性能带间隙对氮化铟镓 的铟浓度的关系图。 . 40 圖 氮化铟镓的能带间隙对铟浓度的关系图 。 46 圖 氮化铟镓的能带间隙弯曲函数对铟浓度的关系图。 . 47 圖 . 60 圖 . 60 圖 . 67 圖 . 67 圖 lN a) 在 点导电带最低点的轨域密度分布； (b) 在 . 68 圖 aN a)在 点导电带最低点的轨域密度分布； (b)在 . 69 圖 a)在 点 导电带低点的轨域密度分布； (b)在 点导电带次低点的轨域密度分布。 . 70 圖 a)在 点导电带最低点的轨域密度分布； (b)在 点导电带次低点的轨域密度分布。 . 70 圖 (a)线性能带间隙； (b)非线性能带间隙对氮化铝镓的铟浓度的关系图。 . 72 表 氮化铟及氮 化镓在不同截止动能下所得 点的上价电带厚度。 . 34 表 不同计算方法所得之氮化铟及氮化镓的晶格常数值 。 . 35 表 晶格常数 a。 . 36 表 不同铟浓度下 点之上价电带厚度 。 . 39 表 不同铟浓度下之能带间隙 。 表 氮化铟镓的能带间隙弯曲函数 。 . 48 表 氮化铝及氮化镓在 不同截止动能下所得晶格常数与总能。 . 63 表 不同计算方法所得之氮化铝及氮化镓的晶格常数值。 . 64 表 a。 . 65 表 不同铝浓度下的能带间隙值 。 . 1 1 第一章 第一原理计算方法 言 利用电脑模拟来进行 三五族氮化物半导体材料 设计，第一原理计算方法所根据的是电子密度泛函理论，不会受到实验条件的影响，并且不做太多假设，从最原始、最基础的物理定律对材料作物理特性探讨，如 此将可减少研究的变因。但对于计算量及精确度有一定的限制很难求得解析解，因此必须在精确度足够的物理定律之下进行电脑模拟。我们知道物质是由原子所构成，以致目前电脑模拟的材料设计趋势皆着重于微观的尺度，为了能正确描述电子行为以及其所决定的机械、传输、光学和电磁学等性质，需要使用量子力学的观念。第一原理计算方法是不借助实验结果，可用来计算对称性高的多原子物理系统，探讨原子间的作用力以及材料所表现的物理特性。 本文将使用 算工具 程式，这套程式是由剑桥大学卡文迪西实验室所建立出来的，使用量子力学程式，其为第一原理平面波虚位势总能计算，包含了量子力学和分子动力学。他们利用固态物理的 理处理周期性固态晶格波函数问题，将原本无限多个单电子的周期性晶格简化为只要考虑单位晶格电子的计算。至于波函数简化则是利用无限平面波基底来展开，其中将贡献较小的高动能项省略，只留下重要的低动能项，利2 用虚位势的观念来取代原子真实的库仑位能，这样我们就不必去处理内层电子效应，只要处理价电子的部分。然而多电子间的交换相干能，则利用局域密度近似方式，如此一 来将可以明显的减少计算量，相对的更容易模拟微观尺度，也有能力预测其材料特性。 度泛函理论 随着量子力学的建立，在处理单电子系统的问题时，理论上已经可以得到相当准确的结论，但对于多电子系统而言，是很难用薛丁格方程来处里，因为电子与电子之间是有交互作用存在，所以求解多电子系统的波函数是相当困难的。但在真实世界中，几乎所有的物理性质探讨都离不开多电子系统问题，然而密度泛函理论 (可以解决多电子系统波函数间复杂之交互作用问题的一种方法。 论 可以将一个与时间无关的稳定态单一粒子薛丁格方程式的本征值问题可由哈米尔顿 H 及波函数 (r)表示为式 (1)而 H 可表示为式 (2)： )()( ， (1) )()(2 22 ， (2) 3 双电子系统的薛丁格方程式可表示为式 (3)： ),(),(),(22 212121222212 ， (3) 在式 (3)中 V(r1,的 以像这样简单的双电子薛丁格方程式就已经没有解析解了，而我们所要处理的问题却都是大量数目的电子。 从量子力学的观点得知，我们只要知道总波函数就可以决定系统的总能量，如式 (4)： ),. . ,( 321 ， (4) 而 1对多电子系统基态提出两个重要的观念，就是所谓的 论，两个主要陈述，如下： 首先，可将基态的总能 此将简化为式 (5)所示，使得计算过程的自由度大大的减少。 )(),. . ,( . ， (5) 其次，如果代入的并不是基态电荷密度 r)，则基态的总能可表示为式 (6)： )()( . ， (6) 基态电荷密度 r)经由变分法可求出系统基态总能 (r)最小值。 由 论提出的两个观点得知，如果我们想得到总能，就必须利用方法猜测 (r)并代入 (r)求值，一直尝试代入不4 同的值，直到产生最低的能量为止，如此我们就可以确定该能量是基态的总能，该电荷分布也可保证是基态的电荷密度分布。 对于非简并的基态波函数 r)，当基态电荷密度决定时，则其所对应到的外加位势 (唯一决定，其证明可由归谬法论证如下： 当一多电子系统的外加位势为 r)，则其哈米尔顿 H 可由式 (7)表示： 0 ， (7) 其中 动能项， 交互作用项， 外加势能项。假设其基态波函数 r)为非简并态，若两不同外加位势 r)、 Vr)，对应到同一个电荷密度分布 (r)，表示为式 (8)、式 (9)： ； i 0 ， (8) ； 0 i ， (9) 若 . ，则 。其中 E 和 E分别为 H 与 H之基态能量。根据变分法，可将关系式写成式 (10)、式 (11)： 0 i )( ， (10) 同理可得 )( ， (11) 将式 (10)、式 (11)相加得到式 (12)： (矛盾 ) ， (12) 5 所以两个不相同的外加位势，并不会对应到同一基态电荷密度 (r)，除非 V V 因此外加位势可由电荷密度 (r)唯一决定。 到此虽然只能求得基态的总能及电荷分布，但却已经可以预测相当多的物理特性，例如，分子的键长，振动频率，固体的晶 胞边长、弹性系数张量，甚至是化学键的断裂或是生成，这些对电子而言都是基态的性质。因此，能预测系统的基态对了解材料特性来说是非常重要的。 然而 论并未对于其内容提出明确的形式或公式，只是证明了 (r)的存在，所以我们也只能写下 (r)的近似，再将近似的基态总能分为动能与位能两部分，如式 (13)： )()()( . ， (13) 其中由总电荷密度 (r)去得到位能 (r)比 较容易，从库 仑 定律告诉我们只要知道电荷分布就可知道空间中会建立怎样的静电位势，但是同样给定电荷分布在空间中的函数，却无法经由物理定律精确的告诉我们基态的总动能 (r)，所以导致它对于预测材料物性上仍有很大的改进空间。 法 若要描述一个多电子系统的基态总能泛函，原本可由式 (14)三项泛函构成： 6 ， (14) 其中 是多电子的动能，表示为 (r1,.) | i | (r1,.)其密度泛函的形式是未知； 是电子对电子间交互作用能，表示为 (r1,.) |ij ji (r1,.)故其密度泛函的形式也是未知；而至于 则是外界施加之位势对此粒子密度分布所获得之能量，表示为 )()( ，其中 r)视问题不同而给定，故此项泛函之形式为己知。 但是 2,3从密度泛 函形式未知的两个部分 与里，针对物理学家己经知道有公式可描述的效应部分，抽离出各粒子在独自运动时的总动能 ，以及古典静电分布的库 仑 位能，至于 与 剩下的部分，则合并在一起称为交换相干能 。因此可将原式改写为式 (15)： ， (15) 如此一来，除了交换相干能 之外，各泛函项就都有明确的公式可表示了，其中 的部分如式 (16)： ii ()(2 ， (16) 其中 (r)为式 (17)所示： 7 i i )()( ， (17) 并必须满足归一化条件如式 (18)： i ii )()()( ， (18) 这里所写的 i(r)代表的是单独粒子的波函数，而不是系统的总波函数(., 论引入电荷密度的观念，放弃使用总波函数作自变数来使总能泛函简化，但 法为了求得精确的动能，又把多电子的问题简化为只有多个单电子系统的问题，而将电子与电子间的交互作用归为交换相干能项，可减少由论所带来的误差。 换相干能的局域密度近似 在古典静电位能 的部分则表示为式 (19)： 33 )()()()( ， (19) 其中 3)()( ，称 为 就是静电库 仑 位势。比较容易的是外加位势影响下的位能，其电荷密度的泛函可表示为式(20)： )()( ， (20) 8 就算我们不知道交换相干能的公式，但仍然可以定义类似位势的(r) (如式 (21)： )()( ， (21) 在式 (15)中 (r)仍然是未知， 法的第二个重要观念，就是针对交换相干能效应加以近似，可表示为式 (22)： )()( D ， (22) 这代表着原本需要知道整个 (r)函数分布才知道空间中各点的 小，而现在近似成只要给定位置 入 (r)可得到该位置的 0，也就可得到该位置的 ，所以， 电荷密度大小有关，也可称作是局域密度近似 (2,3。 将原本未知的 (r)，经由 出的均匀电子气体模型，计算各种不同密度 之下的基态能量，因为均匀电子气体基态电荷分布是均匀的，故 是常数函数。可由此得到 E ，依照公式减去可由密度求得之 、 及 ，剩下的即是 。这样我们将可得到由不同的 所对应到的 ，建立了类似查表的动作，而在实际操作上我们将它拟合成一个参数式 。如此，在总能泛函里的每一项都有明确的表示公式，接下来我们就可以利用不同的 r)去猜测 (r)进而求出基态能量。 9 函微分求根及 程式 现在我们要找出当 (r)为何， (r)，不能随意的乱猜，而密集式的搜索也可能会遗漏掉，所以我们回想在数学上当我们要找平滑函数 f(x)最小时，会代入怎样的 方便的做法就是当函数在极值时其斜率为零，在平滑的函数我们会令其一阶导数 f(x)为零来求解 x。 在这总能泛函找极小的问题里，一样用斜率为 零的方法求解，只是总能泛函求导数比一般函数求导数要复杂一点，但本质上原理是一样的。泛函微分的公式可由变分学原理证明，在此我们用到的是最简单的形式，将 E (r)中的每一项对 i*(r)变分的结果如式 (23)、 (24)、(25)、 (26)， i(r)为复数值函数，因此 i(r)与 i*(r)视为两个独立函数。 )(2)( 22* ， (23) )()()( * ， (24) )()()( * ， (25) )()()( * ， (26) 另外波函数需满足归一化条件式 (18)，综合各式可得 程表示如式 (27)： )()()(222 ， (27) 求解这微分方程式的本征值，可得到各个 i，利用数值模拟求解量子力学的问题中，使用有限个正交基底函数展开波函数 i。刚开始波函数 i 尚未被求出，也就无法知道正确的 ，在求解过程必须先猜一组 i(1)求出 (1)，解出 i(2)后再求出 (2)，直到当 (n)与 (n+1)的差异小于设定的条件为止，这称为自洽场 (算。 洽场 (算 由 得知可由不同的 求出对应的 ，因此在多电子系统中，给定系统初始的 电荷密度 in(r)，可算出各项的位势，而求得有效位势 r)，代入 程式求解，可求出各个能阶及对应的波函数，再算出新的电荷密度 r)，如果新的电荷密度与初始电荷密度不相同，则经由混合过程再产生一个新的电荷密度，重复运算过程，直到差异小于设定的条件为止，称为 算。详细过程如下： 1. 给系统一个起始的电荷密度 in(r)。 2. 利用电荷密度计算出有效位势 r)。 3. 对布里渊区上各个 k 点进行 程式求解，得出对应11 能阶 4. 求费米能阶 F ( 5. 从波函数求各 k 点的加权参数 出电荷密度为式 (28)： 2)( nk u t r ， (28) 6. 判断 in(r)与 r)是否满足设定的收敛条件，若收敛则得出基态电荷密度，如果不收敛则利用混合方法 (式 (29)，产生下一个起始电荷密度，重复运算过程，直到 in(r)与 r)的值满足收敛条件。 io u )()1()(1 ， (29) 自洽场的流程图如图 示： 图 洽流程图。 in(r) r) 解 程 求得F r) 收敛否？ )()1()(1 是 完成 否 12 带理论计算 量子力学用波函数来描述粒子出现在空间中的机率分布，其中量子态的本征能量决定了粒子状态或转移。当在求解薛丁格方程式时，粒子的能量本征值与粒子的波函数都是很重要的，如果要处理的粒子是在晶体之中，由于固态系统的晶格是周期性的排列，则波函数就必须考虑晶格周期性的行为，经由 理知道若位势具有周期性时，则当其平移向 量 R 时位势不变，如式 (30)： )()( ， (30) 原本薛丁格方程式的解一定满足式 (31)的形式： e)()( ， (31) 其中 k 代表不同的解， uk(r)可表示为式 (32)周期函数： )()( ， (32) 因此只要计算一个晶胞范围内的原子与电子即可。这么多 k 值是因为庖利不相容原理的关系，所有电子都不被允许具有一样的量子态。 带结构 (算 由 理得知 )()(，将 k(r)代入薛丁格方程式 ，求uk(r)及 k(r)之能量本征值 解范围已经简化到只在一个单位晶胞之内。求解微分方程式型的本征值问题，会有无限多组解，以能带指标 n 来标示其本征值与本征函数为 En,k与 un,k(r)。 13 能带是 由同一能带指标 n 及所有 k 值所构成的量子态的集合，每个态有自己的 En(k)，相近的 k 其 En(k)也相近，而 k 是分布在布里渊区的三度空间中，则如果要作图显示 En(k)并不容易，习惯取一个 k 的维度与一个 E 的维度来画出二维的能带结构图。研究相关领域的学者习惯的作法是选择几条具高对称性的 k 点，将前后相连成一维之路径，再作屏风式的展开，这样将可在二维的图中看到多个 k 路径上的 En(k)图，也就是能带结构图。 对半导体而言，最高占据态到最低未占据态之间的能量差称为能带间隙 (光学性质涉及从占 据态到未占据态的跃迁矩阵，其能带间隙的大小对材料的光学性质有很大的影响。当电子离开所占据的量子态而跃迁到不同 k 的态，这过程不只要遵守能量守恒，连动量守恒也要满足，光子的动量转移小，主要是激发时的垂直跃迁。由材料的能带跃迁模式 k 不变垂直跃迁及 k 改变不垂直跃迁来分类所需要的最低能量代价，就是所谓的直接能隙与间接能隙材料之分别。 当计算能带结构时，如果晶体或表面等本身就具有周期性的系统，在计算过程会比较方便，而对于非周期性的系统，则须采够大的超晶胞 (之分开，被模拟的独立物件要能与其它 的周期性影像隔的够开，而不致于相互影响产生非物理的结果。这样只需求解 函数中的 uk(r)部分，由傅立叶展开理论知道，周期性的系统须用傅立叶级数展开如式 (33)： 14 kk e)( , ， (33) 其中 e 为平面波基底函数，展开波函数所需要的平面波基底函数数目，依照模拟计算所使用的虚位势而不同，由于虚位势的价电子波函数平滑程度不一致，所需基底 数也不同。 布里渊区是由 k 点所构成，离原点最近的所有 k 点所围成的区域恰好是原点在反空间中的 就是第一布里渊区。在割出来的范围里，所有的点都离 中心点最近，若有某一个点离另一个 中心点更近，则其并定会被包含在另一个 。 若要求得正确的总电荷密度分布，在求解薛丁格方程式时 uk(r)中的 k 应该取越多越好，由于电荷密度是由波函数平方加总而来，每个 于有 N 个晶胞的材料其总 k 点也是 N 个，而 N 是 10的 23 次方的数 量级。对于相邻近的 k 点，其对应的能量本征值与波函数也都很相近，因此可以采用 k 点取样的技术，在 k 所定义的范围内尽量均匀公平的取点，就能得到符合所希望之精确程度的电荷分布与系统总能。一般学者常用的 样法 4,5是一种均匀、等间隔取点，叫做 k 网格 (除了符合均匀公平的取点原则之外，有机会让很多 k 点之间具有对称性的关系，那么它们之间的本征能量与本征函数就不用全部进行量子力学计算，因此更进一步减化计算量。 15 位势 在材料的特性上价电子扮演相当重要 的角色，包含了电荷转移与键结，而内层电子比较不受到原子周遭环境的影响造成遮蔽现象，因此解波函数的时候，只要处理价电子的部分。将内层电子与原子核的效应和在一起考虑，可以节省计算时间，希望找到一个虚位势(6,7，它能够表现出原子核及内层电子对价电子应有的作用。既然要模仿真正的原子核与内层电子所行成的位势，则量子态的能阶与电子云的分布是最重要的，量子态的能阶决定了电子的去处，也就是电荷如何转移，而电子云的分布表现了化学键的类型与强度。如果能正确获得这两点，假的离子就可以模仿真 的离子。 如图 示，实线分别是代表真实位势 Z/r 与包含全部价电子的波函数 v，取距原子中心 对 内的波函数加以改造。将震荡激烈的波函数以一变化缓慢的波函数取代，且必须是没有节点的，如虚线 了剧烈的震荡对于展开波函数，就只要相对很少的平面波就能精确的描述整个波函数，而且没有节点的波函数也代表没有比它本征值更低的量子态来与它正交。也就是说，不需要求解内层电子。 取代的虚位势必须满足几点要求，虚位势求得的价电子能阶与全电子计算的能阶相同，在 外虚波函数要与全电子计算的波函数完全一致，且 虚位势计算该原子的激发态，其价电子之能阶与全电子计算之结果须相仿。 16 图 位势、虚波函数与全电子位势、全电子波函数比较图。 原子位势具有球对称性，可将薛丁格方程式做分离变数，原子轨域可写成径向波函数 Rl(r)与球谐函数 , )的乘积， l 为角量子数，其中径向波函数 l(r)=rR(r)及原子轨域的本征值 34)求解： 0)()1()(2)( 222 rd ， (34) 当解出 l(r)后，开始选定 l,ps(r)取代 l(r)，希望虚位势Vl,ps(r)带入式 (28)能重现本征值 l(r)，也就是 Vl,ps(r)须满足式 (35)所示： 0)()1()(2)( ,2,2,2 rd ， (35) 在式 (29)中 l,ps(r)已知，因此求解过程已经不是解微分方程式的17 问题，只须移项就可以求出 Vl,ps(r)，表示为式 (36)： )()1(2)()(21)(,22,2, (36) 因为等号右边的量都是已知，将式 (36)整理过后，虚位势可以完全被定出为式 (37)： 22,2,)1()()(21)( (37) 计算电子能带结构及总能量的方法大致可以分成以下几种，不同的计算方法，就会对应不同波函数的取法。利用虚位势 (法，也称做电子数守恒虚位势方法 (6,7。使用平面波虚位势 (8,9方法，以平面波为波 函数。应用 10之线性理论 (方法，将波函数展开成泰勒级数至一次项，如此只须针对波函数及波函数对能量微分的导式来求解，这两个函数经过证明是线性独立的，因此薛丁格方程式的一般解是由这两个线性独立函数的线性和，称为线性的调适平面波 (法11 13，此方法以平面波为波函数。而对于线性原子球轨道 (法 14 20，使用原子球轨道为波 函数，这种轨道波函数在原子球外是球面汉克尔函数 (为一指数函数可以简化计算量。另外可将 法简化18 为原子球近似法 (21,22，让原子球可以重迭 ，就不用处理原子球间较困难的区域。以目前电脑的计算能力，所有这些计算方法都能将电子的有效位势算的很准，而这些方法的主要差异在于波函数的取法。 拟软体简介 本文使用国科会高速电脑中心的 拟软体来做理论的计算 23， 由剑桥大学卡文迪西实验室的凝体理论组所发展出来解量子力学问题的程式。 他们利用 理处理周期性固态晶格波函数问题，将原本无限多个单电子的周期性晶格简化为只要考虑单位晶