课标通用高考数学一轮复习第二章与数Ⅰ2.4二次函数与幂函数学案理.docx

2.4二次函数与幂函数考纲展示1.了解幂函数的概念2结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况3理解并掌握二次函数的定义、图象及性质4能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题考点1幂函数的图象与性质五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRR_值域R_R_奇偶性_单调性_公共点_答案：x|x0x|x0y|y0y|y0y|y0奇偶奇非奇非偶奇增(，0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减(1,1)教材习题改编已知幂函数f(x)的图象过点(2，)，则函数f(x)_.答案：x解析：设f(x)x，则2，所以，故函数f(x)x.幂函数概念的误区：系数为1；指数为常数已知幂函数f(x)(m2m1)xm3，则m为_答案：2或1解析：若函数为幂函数，则m2m11，解得m2或m1.典题1(1)幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是()A BC D答案C解析令f(x)x，则42，f(x)x.(2)2017安徽江南七校联考已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A3B1 C2D1或2答案B解析由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3.当n1时，函数f(x)x2为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x)在(0，)上是减函数，所以n1满足题意；当n3时，函数f(x)x18为偶函数，其图象关于y轴对称，而f(x)在(0，)上是增函数，所以n3不满足题意，舍去故选B.(3)1.1，0.9，1的大小关系为_答案0.911.1解析把1看作1，幂函数yx在(0，)上是增函数00.911.1，0.911.1，即0.911.1.(4)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_答案(0,1)解析作出函数yf(x)的图象如图则当0k1时，关于x的方程f(x)k有两个不同的实根点石成金1.幂函数yx的性质和图象由于的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查：(1)的正负：当0时，图象经过点(0,0)和点(1,1)，在第一象限的部分“上升”；当1时曲线下凹；当01时曲线上凸，当0)，将点D(1,1)代入得，a，即y(x3) 2.考点3二次函数的图象与性质二次函数的图象和性质f(x)ax2bxca0a.二次函数单调性的求解误区：单调区间；在区间上单调已知二次函数f(x)(k21)x22x3.(1)若函数f(x)的单调递增区间是(，2，则k_；(2)若函数f(x)在区间(，2上单调递增，则k满足_答案：(1)(2)k1或1k解析：(1)显然图象开口向下，k210，且2，得k.(2)图象开口向下，k21 0，且2，得k1或1k.考情聚焦二次函数的图象与性质与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考考查频率非常高的一个热点，考查求解一元二次不等式、一元二次不等式恒成立及一元二次方程根的分布等问题主要有以下几个命题角度：角度一二次函数的图象和应用典题32017四川雅安诊断 如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()ABCD答案B解析因为图象与x轴交于两点，所以b24ac0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1,2ab0，错误；结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a.又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确角度二二次函数的单调性问题典题4已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)若yf(x)在区间4,6上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)当a1时，求f(|x|)的单调区间解(1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.所以实数a的取值范围是(，64，)(2)当a1时，f(x)x22x3，所以f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x6,6，且f(x)所以f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,0角度三二次函数的最值问题题型1轴定，区间动类型典题5若函数yx22x3在区间0，m上有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围解作出函数yx22x3的图象如图由图象可知，要使函数在0，m上取得最小值2，则10，m，从而m1，当x0时，y3；当x2时，y3，所以要使函数取得最大值为3，则m2，故所求m的取值范围为1,2题型2轴动，区间定类型典题6求函数f(x)ax22x在区间0,1上的最小值解f(x)a2.(1)当a0时，f(x)2x在0,1上递减，f(x)minf(1)2.(2)当a0时，函数f(x)的图象的开口方向向上，且对称轴为x.当1，即a1时，函数f(x)的图象的对称轴在0,1内，f(x)在上递减，在上递增f(x)minf.当1，即0a1时，函数f(x)的图象的对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.(3)当a0时，函数f(x)的图象的开口方向向下，且对称轴x0，在y轴的左侧，f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x)min 题点发散若将本例中的函数改为f(x)x22ax，其他不变，应如何求解？解：f(x)x22ax(xa)2a2，对称轴为xa.当a0时，f(x)在0,1上是增函数，f(x)minf(0)0；当0a1时，f(x)minf(a)a2；当a1时，f(x)在0,1上是减函数，f(x)minf(1)12a.综上所述，f(x)min 角度四二次函数中的恒成立及零点问题典题7(1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_答案解析作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0.(2)若方程x2(k2)x2k10的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是_答案解析设f(x)x2(k2)x2k1，由题意知即解得k0时，图象过原点和点(1,1)，在第一象限的图象上升；当0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立易错防范1.对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况2幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 真题演练集训 12016新课标全国卷已知a2，b4，c25，则()AbacBabcCbcaDcab答案：A解析：因为a216，b4 16，c25，且幂函数yx在R上单调递增，指数函数y16x在R上单调递增，所以bac.22015四川卷如果函数f(x)(m2)x2(n8)x1(m0，n0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为()A16B18C25D答案：B解析：当m2时， f(x)在上单调递减， 0n8，mn2n0)，g(x)logax的图象可能是()ABCD答案：D解析：当a1时，函数f(x)xa(x0)单调递增，函数g(x)logax单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0a0)单调遂增，函数g(x)logax单调递减，且过点(1,0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知B错，故选D.42013重庆卷(6a3)的最大值为()A. 9B C. 3D 答案：B解析：易知函数y(3a)(a6)的两个零点是3，6，对称轴为a，y(3a)(a6)的最大值为y2，则的最大值为，故选B.52014辽宁卷对于c0，当非零实数a，b满足4a22ab4b2c0且使|2ab|最大时，的最小值为_答案：2解析：设2abx，则2axb，(xb)2b(xb)4b2c0，x23bx6b2c0，即6b23xbx2c0.9x246(x2c)0，3x28x28c0，x2c.当|2ab|x|取最大时，有(2ab)2c，4a24abb2c.又4a22ab4b2c，ba.将ba代入，得4a22aaa24c，a，b或a，b.当a，b时，有5222，当，即c时等号成立此时a，b.当a，b时，0，综上可知，当c，a，b时，min2. 课外拓展阅读 构造二次函数解决问题二次函数是中学数学的一个重要知识，它与一元二次不等式、一元二次方程的联系是诸多命题者的关注点对于有些问题若能充分利用二次函数的性质，则会迎刃而解下面就给出几种构造二次函数解决问题的例题1构造二次函数求根式函数的最值典例1求函数yx2的最值思路分析利用换元法转化为二次函数求最值解令u，则x21u2，且0u1.所以y1u2u2，所以1y，故ymin1，ymax.2构造二次函数解不等式(1)从结论的外形结构作形式联想进行构造典例2已知abc，求证：a2bb2cc2aab2bc2ca2.思路分析观察结论的特点，若将不等式移项后，有a2bb2cc2a(ab2bc2ca2)0，设Aa2bb2cc2a(ab2bc2ca2)(bc)a2(c2b2)a(b2cbc2)，考虑到a是按降幂排列的，故可联想到构造二次函数f(x)(bc)x2(c2b2)x(b2cbc2)求解证明令Aa2bb2cc2a(ab2bc2ca2)(bc)a2(c2b2)a(b2cbc2)设f(x)(bc)x2(c2b2)x(b2cbc2)(bc)(xb)(xc)，因为bc，