数学人教版九年级上册实际问题与二次函数（2）.doc

二次函数三、实际问题与二次函数（2）教学目标 1、经历利用二次函数分析和解决简单的商品利润实际问题，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识，体会利用函数知识解决问题的步骤.2、经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型，并使学生理解用函数知识解决最值问题的思路.3、通过学习和合作交流，了解数学带给人们的价值及美感，感受数学的应用价值.教学重点与难点重点：用函数知识解决最值问题.难点：建立函数模型.教学过程设计一、复习旧知，引入新课问题：当取何值时，下列函数有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？ （1）； （2）.引入：抛物线（）的最值：如果，则当时，；如果，则当时，.前面我们结合实际问题，讨论了二次函数，看到了二次函数在解决实际问题中的一些应用，下面我们进一步用二次函数讨论一些实际问题.二、师生合作，探究新知1、活动探究：某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件.市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件；每降价元，每星期可多卖出件.已知商品的进价为每件元，如何定价才能使利润最大？分析：要使利润最大，商品需涨价还是降价？本题中，商品价格上涨，销售量会随之下降；商品价格下降，销售量会随之增加.这两种情况都会导致利润变化.因此本题需考虑两种情况，即需要分类讨论.（1）涨价情况：设每件涨价元，则每星期售出商品的利润随之变化.我们先来确定随变化的函数式.涨价元时，每星期少卖件，实际卖出件，销售额为元，买进商品需付元.因此，所得利润为：，即：.配方得： （）.根据上面的函数，填空：当时，最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价元，即定价元时，利润最大，最大利润是元.（2）降价情况：设每件降价元，则每星期售出商品的利润随之变化.我们先来确定随变化的函数式.降价元时，每星期多卖件，实际卖出件，销售额为元，买进商品需付元.因此，所得利润为：，即：.配方得： （）.根据上面的函数，填空：当时，最大，也就是说，在降价的情况下，降价元，即定价元时，利润最大，最大利润是元.综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元，利润最大，最大利润为元.说明：学生在探究、尝试解决问题时，教师要重点关注：（1）学生利用函数模型时是否注意分类了；（2）在每一种情况下，是否注意自变量的取值范围了；（3）是否对两种情况的最大值进行比较；（4）对问题的讨论是否完善.2.例题讲解：（2007南通）某商场将每台进价为元的彩电以元的销售价售出，每天可销售出台.假设这种品牌子的彩电每台降价（为整数）元，每天可以多销售出台（注：利润=销售价进价）.（1）设商场每天销售这种彩电获得的利润为元，试写出与之间的函数关系式；（2）销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？解：（1）每台彩电的利润是元，每天销售台，则由题意可得：.（2）当或4时，.当时，彩电单价为元，每天销售台，营业额为元；当时，彩电单价为元，每天销售台，营业额为元.所以销售该品牌彩电每天获得的最大利润是元，此时每台彩电的销售价是元时，能保证彩电的销售量和营业额较高.说明：套用有关结论，当时，有最大值，这肯定是不对的，因为题中明确告诉我们：是正整数，怎么办呢？这是利用二次函数求最值的一种变化的情况.本题中，由于自变量是正整数，它的图象只是抛物线上的一系列点，函数的最大值是图象上最高点的纵坐标，抛物线的对称轴是，由对称性知：当或4时，有最大值元.再分别求出销售量与营业额，比较即得.猜想：如果本题中对称轴是，情况会怎样呢？3、方法总结：（1）利用二次函数解决实际问题的一般步骤：审清题意，理解问题；分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系；列出函数关系式；求解数学问题；求解实际问题.（2）运用函数关系解决实际问题时要考虑自变量的取值范围，因而要检验解的合理性.（3）求解“最大利润”的问题时，一般是先运用“总利润总售价总成本”或“总利润每件商品的利润销售数量”建立利润与价格之间的函数关系式，求出这个函数关系式的顶点坐标，然后再求出最大利润.三、课堂练习，巩固提高（2016泉州）某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是元/千克，根据以往的销售情况描出销售量（千克/天）与售价（元/千克）的关系，如图所示.（1）试求出与之间的函数关系式；（2）求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润.进口产品检验，运输等过程需耗时天，该“特产”最长的保存期为一个月（天），若售价不低于元/千克，则一次进货最多只能多少千克？四、总结反思，情意发展本节课你学习了什么?你有哪些收获？通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么？1、知识内容：本课讨论的是二次函数的应用问题，主要探讨二次函数作为一类最优值问题的数学模型在实际问题中的具体应用，运用二次函数的知识求实际问题中的最大（小）值.具体应用时一般分为两步：首先根据实际问题中所提供的变量之间的关系，构建二次函数模型（写出函数表达式）；接着利用二次函数的图象及其性质求函数的最大（小）值.求二次函数的最大（小）值一般选用配方法和公式法.2、思想方法：问题的解决借助函数思想和分类讨论的思想，力求使学生经历运用逻辑思维和非逻辑思维再创造的过程，让学生既获得了知识，又发展了智力，同时提升了能力.3、需要注意的问题：最值特别注意顶点横坐标是否在自变量的取值范围内.（1）若顶点横坐标在自变量的取值范围内：当时，函数有最 值，并且当 时， ；当时，函数有最 值，并且当 时， ；并且考虑在端点处是否取得最值.（2）若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值.五、布置作业，拓展延伸1.预习新知，作业前置：书本第页习题复习巩固第、题. （1）某种商品每件的进价为元，在某段时间内若以每件元出售，可卖出（）件，应如何定价才能使利润最大？（2）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是.飞机着陆后滑行多远才能停下来？2.某宾馆有个房间供游客居住.当每个房间每天的定价为元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出元的各种费用.房价定为多少时，宾馆利润最大？3.（2016咸宁）某网店销售某款童装，每件售价元，每星期可卖件.为了促俏，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖件.已知该款童装每件成本价元.设该款童装每件售价元，每星期的销售量为件.（1）求与之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？（3）若该网店每星期想要获得不低于元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？4.（2008河北）研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为（吨）时，所需的全部费用（万元）与满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系.（注：年利润年销售额全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，请你用含的代数式表示甲地当年的年