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第一节不定积分的概念及其计算法概述 一 原函数与不定积分的概念 二 基本积分表 三 不定积分的性质及简单计算 四 小结 例 定义 一 原函数与不定积分的概念 原函数 关于原函数有以下三个问题 1 满足什么条件 其原函数一定存在 原函数存在定理 若在区间i内连续 则在区间i内一定存在的原函数 简言之 连续函数一定有原函数 2 若f x 有原函数 原函数是否唯一 例 即 若f x 有原函数 则f x 的原函数有无穷多个 3 f x 的全体原函数如何表示 1 若 则对于任意常数 2 若和都是的原函数 则 为任意常数 关于原函数的两个说明 若f x 是f x 的一个原函数 则f x 的全体原函数可表示为f x c c为任意常数 不定积分的定义 若f x 是f x 在区间i内的一个原函数 则f x 在区间i内的全体原函数称为f x 在区间i内的不定积分 例1求 解 解 例2求 不定积分的几何意义 不定积分称为积分曲线族 且在横坐标相同的每条曲线上的切线斜率相等 为平面上的一条曲线 为平面上的一族曲线 设f x 是f x 的一个原函数 结论 求不定积分的运算与微分运算是互逆的 不定积分与微分 导数 的关系 由此根据微分公式可得积分公式 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的 因此可以根据求导公式得出积分公式 二 基本积分表 基本积分表 是常数 说明 简写为 例3求积分 解 根据积分公式 2 证 等式成立 此性质可推广到有限多个函数之和的情况 三 不定积分的性质及简单计算 例4求积分 解 根据不定积分的运算性质和基本函数的积分公式 可计算简单函数的不定积分 例5求积分 解 例6求积分 解 例7求积分 解 例8求积分 解 例9求积分 解 例10求积分 解 例11求积分 解 说明 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形 才能使用基本积分表 注意 1 导数是唯一的 但不定积分不唯一 2 任一初等函数都可求导数 且导数一般也为初等函数 但一些初等函数的不定积分就不能用初等函数来表示 这些不定积分的原函数存在 但不能用初等函数来表示 基本积分表 1 不定积分的性质大家
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