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一 旋转体的体积二 平行截面面积为已知的立体的体积三 小结 定积分的几何应用 体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 一 旋转体的体积 旋转体的体积为 解 星形线是内摆线的一种 点击图片任意处播放开始或暂停 大圆半径R a 小圆半径 参数的几何意义 当小圆在圆内沿圆周滚动 时 小圆上的定点的轨迹为内摆线 星形线 或 例2 计算摆线 的一拱与y 0 所围成的图形分别绕x轴 y轴旋转而成的立体体积 解 绕x轴旋转而成的体积为 利用对称性 绕y轴旋转而成的体积为 注意上下限 注 分部积分 利用 偶倍奇零 利用这个公式 可知上例中 补充1 柱壳法 如果旋转体是由连续曲线 直 线 及 x 轴所围成的曲边梯 形绕 y 轴旋转一周而成的立体 体积为 偶函数 奇函数 注 解 一 体积元素为 二 利用坐标平移 u v 补充2 柱壳法 如果旋转体是由连续曲线 直 线 及 x 轴所围成的曲边梯 形绕 x m b 旋转一周而成的立体 体积为 二 平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体 但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积 那么 这个立体的体积也可用定积分来计算 立体体积 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 思考 可否选择y作积分变量 此时截面面积函数是什么 如何用定积分表示体积 提示 三 旋转体的侧面积 补充 设平面光滑曲线 求 积分后得旋转体的侧面积 它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 取侧面积元素 注 侧面积元素 若光滑曲线由参数方程 给出 则它绕x轴旋转一周所得旋转体的 注意 侧面积为 的线性主部 不是薄片侧面积 S 例5 计算圆 x轴旋转一周所得的球台的侧面积S 解 对曲线弧 应用公式得 当球台高h 2R时 得球的表面积公式 旋转体的体积 平行截面面积为已知的立体的体积 绕轴旋转一周 绕轴旋转一周 绕垂直于坐标轴的直线旋转一周 旋转体的侧面积 补充 四 小结 解 交点 立体体积 思考与练习 2 设 在x 0时为连续的非负函数 且 形绕直线x t旋转一周所成旋转体体积 证明 证 利用柱壳法 故 3 设平面图形A由 与 所确定 求 图形A绕直线x 2旋转一周所得旋转体的体积 提示 选x为积分变量 由柱壳法旋转体的体积为 若选y为积分变量 则 4 求曲线 与x轴围成的封闭图形绕直线 y
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