返璞归真自然和谐.doc

此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除返璞归真 自然和谐解几何题难，难在作辅助线辅助线的类型总体上分为直线形和圆两种，而在平时数学教学中，对辅助线的“重直轻曲”现象一直存在. 例如文便出现了避直就迂的现象舍弃较为简捷的作辅助圆的方法，大用特用较为繁琐的作直线形辅助线解题文还指出“构造圆是一种巧法，应该选用其他较为简洁的通法”，笔者对此实在不敢苟同其实，作辅助圆不是一种巧法，而是一种重要的通法求解的方式；对于同一问题，若同时能用直线形和圆两种不同的辅助线方法求解，往往用圆的求解方法更简洁、更自然现从近年中考题中选取两例，对它们进行几种不同的方法求解，让我们共同关注作辅助圆解题例（呼和浩特市中考）如图，四边形ABCD中，DCAB,BC,ABACAD，则BD的长为（）A.B. C. D. 解法一：作相等线段，构成直角三角形如图，延长BA至E，使AEBA，连结DEADABAEBE，DEB是直角三角形ADAC，ADCACD，而CDAB，DAEADCACDCAB，等腰ADE、ABC的顶角相等CBA，又DE与BC不平行四边形CDEB是等腰梯形，DEBC在RtBDE中，BD解法二：作垂线，构成矩形如图，过点作AFCD，垂足为；再过点、分别作CEAB于，DGBA的延长线于CDAB,则四边形DGAF和四边形AFCE都是矩形设AEx，在RtAFC中，AF2AC2CF2=2 2x2；在RtBCE中，CE2CB2BE2=2（x）2 ，又AFCE；2x2 2（x）2解得x，把x代入CE22（x）2得又在ACD中，ADAC，AFCD，DFCFAE又AGDF，GBGAAB在RtDGB中，DB2DG2GB2（）2（）2 ，DB解法三：截取相等线段，构成菱形如图，在上取一点，使DE=AB=2，连结EB、EA交DB于DEAB, 且DE=AB，四边形DEBA是平行四边形又AD=AB，四边形DEBA是菱形；BEADAC，而DCAB，四边形EABC是等腰梯形EABC，由于菱形DEBA的对角线DB与EA互相垂直平分DB=2DF ，EFAE，在RtDEF中，DE=AB=2 , EFDF2DE2EF222()2，DF，BD2DF解法四：作辅助圆，用圆的性质如图，以为圆心，的长为半径作圆，延长交于，连结BE是的直径，EDB900CDAB，CDBDBE，DEBC又BE+；在RtDE中，BD点评：解法一根据已知条件AB=AD，把题设已有图形看成直角三角形的一部分，其中将BD看成直角边，AD当成斜边上的中线，这样用补形法作出相等线段构成直角三角形，再运用直角三角形、等腰三角形、等腰梯形的性质进行解答解法二通过作垂线把BD看成直角三角形的斜边，再解决两直角边的长，这又运用矩形、等腰三角形的判定和性质解题解法三运用截长法在线段CD上截取DE=AB，使之出现菱形，再利用菱形、等腰梯形的性质解答前三种方法都是作直线形辅助线，用直角三角形或矩形或菱形等直线几何图形的判定、性质解题，体现出较为繁琐的解题过程，虽为通法求解，但思维含量大，学生不易想到解法四根据题目已知条件：三条线段相等，且它们有公共端点，学生容易联想到圆的集合定义，作出以有共同端点为圆心，以等线段长为半径的圆，再用圆的有关性质解题，显得格外自然而简捷，让人耳目一新例（黄石市中考调研试题）已知：如图，在ABC中，A600,BDAC于D,CEAB于E，求证：DEBC证法一：配中点，证全等分别取AB、AC的中点M、N，连MN（如图）ADBAEC900，A600，ABDACE300ADABAM，AEACAN又为公共角，ADEAMN (SAS)则DEMNBC证法二：利用两边对应成比例且夹角相等证相似（如图6）ADBAEC900，A600，AB2AD,AC2AE，又为公共角ADEABCDEBC证法三：证对顶三角形相似（如图8）设BD、CE相交于ADBAEC900，A600ABDACE300BF2EF, CF2DF 又 BFCEFDBCFEDF DEBC证法四：作辅助圆（如图9）取BC的中点，连DF、EFBDCBEC900DFEFBC=CF=BFB、C、D、E在以BC为直径的圆上，且为圆心A600DBA300DFE600DEF是等边三角形DEDFBC点评：由结论的形式易想到要构造三角形的中位线，但要证明这两条线段（线段MN、DE）相等却难解法一正是遵循这样的思路，充分利用含600角的直角三角形的边的关系，得到两对相等线段AD=AM、AE=AN，再利用三角形全等实现证题解法二利用两个含600角的直角三角形，得出短直角边与斜边之比为1：2，从而出现比例式，再利用“两边对应成比例且夹角相等”证三角形相似，进一步运用相似的性质证题解法三通过观察题设图形，发现其中隐含有两对对顶三角形CDF和BEF，DEF与CDF，利用前者(两个含300角的直角三角形)的直角边与斜边关系，得出后者的一对对顶三角形相似，并运用相似的性质进行证题前三种证法虽然都是运用直线形知识进行的通法求解，但解答此题对考生的识图、辨图的能力和要求较高上面的证法看似精炼、简洁，但解题思维过程的长度被隐藏，其难度是我们老师无法想象的实际上在考试中，鲜有学生能用前三种方法来解题其实，也有不少考生采用作辅助圆的方法来解决问题这是因为题目的已知条件和图形已具备作辅助圆的鲜明特征：BDC和BCE都是直角三角形，且它们有公共边BC，取BC的中点后，用圆的定义构造以BC为直径的圆，再综合运用圆的有关性质，则问题易于解决从上面两例可以看出：根据已知条件，添加适当的辅助圆，可使分散的条件集中，隐蔽的条件明显，为沟通条件与结论之间的内在联系而起到事半功倍的作用相比其他三种直线形解法，作辅助圆解题较为贴近学生的认知水平，也接近学生的“最近发展区”，符合学生通常的思维习惯，有利于学生的理解和接受，有利于培养和发展学生的思维能力、创新意识因此作辅助圆是数学解题中一种不可缺少、不可忽视的通用的思维方法平时教学中，对于可作辅助圆的一类问题应作详细分析、重点讲解，应展示解题的思维过程，让学生知道为什么能够做出辅助圆，作出辅助圆的目的，之后又怎样去运用圆的性质解答等等，这样能使学生体会到作辅助圆的由来和用圆知识解题的简捷；进行例题讲解后，还应该及时补充一定量的相关习题，进行专题训练，这样学生就会熟练掌握，融汇贯通、熟能生巧，进而把辅助圆作为一种必不可少的解题工具、思维方法，自觉运用到解题中去不少几何问题明明可用作辅助圆的方法解决，学生为什么弃之不用呢？经笔者调查、分析和思考，主要原因有这么几种：（1）学生不习惯把圆作为解决问题的工具我们知道，圆是平面几何中的基本图形，也是除直线图形之外的另一特殊曲线图形；圆是初中数学极其重要的章节, 在平几中举足重轻，它比较系统的研究了圆的概念、性质、圆中有关的角、点与圆、直线与圆、圆与圆、圆与正多边形之间的位置、数量关系虽然现行教材对圆的内容作了大幅度删减，比如：弦切角、相交弦、切割线、四点共圆等，但圆的基本知识、结构、框架还在，相比其他章节，其知识点仍然庞杂，性质定理繁多，运用灵活特别是圆与三角形、四边形、多边形、全等、相似、几何变换、函数图像相结合后，综合性强，难度大，学生难以在短时间内学好另外，圆一章被安排在九年级上册，在相似、二次函数之前，讲授圆时，由于受内容限制，大都只按部就班，学完课本的知识点，便草草了事；而与其它知识点相关联的内容（特别是与相似）都没有纳入教学之中，而圆与相似相结合是初中数学最为华彩的篇章这样，对圆的学习仅仅停留在浅层次的运用上，对圆的深层次的运用几乎为空白最终导致不少学生对圆的内容较陌生，甚至谈“圆”色变 （2）缺少对圆辅助线的归纳和总结现行教材虽经专家精心设计，但在平时教学中，我们仍不能照本宣科，而应不断加强相关内容的总结、反思和拓展学习圆的内容时，应适时补充与圆有关一些重要定理、性质，并进行运用，启发、引导学生对圆的内容的深入探讨和细致研究，这样便能充分挖掘教材潜在的教学功能，使学生的数学思维和创新能力得到进一步的培养和提高平时教学中，让学生体会到圆是平几的重要图形，它不仅能反映图形中诸多角的关系，也能建立很多线段间的关系应引导学生归纳、总结圆的基本运用、辅助线做法构造辅助圆的基本思路是：根据圆的定义添补辅助圆、根据“圆周角的性质”作辅助圆、根据圆内（外）角与圆周角的关系作辅助圆、根据“任何三角形都有一个外接圆” 作辅助圆、根据点与圆的位置关系作辅助圆、根据直线与圆的交点个数作辅助圆、根据圆与圆的交点个数作辅助圆等，解题时应因题而异，灵活处理（3）对作辅助圆的作用认识不够圆是平面几何中的重要内容，对培养学生的识图能力、空间转换能力、逻辑推理能力有着重要作用在中考数学试卷中，不光体现在基础知识检测上，也体现在综合解题能力上例如：由圆和直线图形、函数图象可以组合成一些复杂的综合题，由圆的一些性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了涉及面广、图形变化大、综合性强的中考压轴题解答它们，往往要较强的分析问题、解决问题的能力学生在初学圆时，一些题目往往无从下手，这时如果能够添加适当的辅助线，问题就简单的多了作辅助圆求解几何问题，能化繁为简、化难为易，彰显了独特的解题魅力，它渗透了一些基本的数学思想方法，能拓展思路、开阔视野，甚至也会获得问题解决有易如反掌、势如破竹的快乐体验，真可谓“直线诚可贵，曲线价更高” 在教学过程中，既要重视作直线型辅助线的解法，也要重视作辅助圆的解法，以培养学生敏锐的观察、深刻的思维与探究能力，提高数学素养