安徽宣城三校郎溪中学、宣城二中、广德中学高二数学期中联考理

安徽省宣城市三校（郎溪中学、宣城二中、广德中学）2017-2018学年高二数学上学期期中联考试题 理（含解析）一、选择题1. 某高中生共有2400人，其中高一年级800人，高二年级700人，高三年级900人，现采用分层抽样抽取一个容量为48的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为（）A. 15，21，12 B. 16，14，18 C. 15，19，14 D. 16，18，14【答案】B【解析】由分层抽样在各层中的抽样比为,则在高一年级抽取的人数是人, 在高二年级抽取的人数是人, 在高三年级抽取的人数是人,故选B.2. 把45化为二进制数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】所以,故选A.3. 如图所示的程序框图中,若输入的值分别为.则输出的值为（ ）A. B. C. D. 以上都不对【答案】B【解析】输入故,第一次循环: ;第二次循环: ;第三次循环: ;输出故选B.4. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩，已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中位数为16，则的值分别为（ ）A. 8，6 B. 8，5 C. 5，8 D. 8，8【答案】A【解析】由茎叶图知,甲的数据为: ,则,解得;乙的数据为,则,解得,故选A.5. 下列说法：将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；设有一个回归方程，变量增加一个单位时，平均增加个单位；老师在某班学号为150的50名学生中依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是系统抽样；其中正确的个数是()A. B. 2 C. D. 0【答案】B【解析】对于,将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，数据的稳定性不变,即方差恒不变,正确;对于, 回归直线的一次项系数为-5，则当变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位,命题错误;对于,抽取的学号间隔相等,故为系统抽样,命题正确;综上可得,正确的命题个数是2个,选B.6. 四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：()与负相关且. 与负相关且与正相关且 与正相关且其中正确的结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由回归直线方程可知, 与负相关, 与正相关, 正确,故选C.点睛: 两个变量的线性相关:(1)正相关:在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关(2)负相关:在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系为负相关(3)线性相关关系、回归直线:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 ，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线7. 连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是( )A. 事件“”的概率为 B. 事件“是奇数”与“”互为对立事件C. 事件“”与“”互为互斥事件 D. 事件“”的概率为【答案】D【解析】对于A,则概率为,选项错误;对于B, “是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和,其对立事件为都是奇数或都是偶数,选项错误;对于C,事件“”包含在“”中,不为互斥事件,选项错误;对于D, 事件“”的点数有: ,共9种,故概率为,选项正确;综上可得,选D.点睛:事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则事件A与事件B互斥,从集合的角度即;若A交B为不可能事件,A并B为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生,其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.8. 下列选项中，的一个充分不必要条件的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】选项A中，当时，成立，但不成立，故A不正确；选项B中，由可得，故一定成立，反之不成立，故B正确；选项C中，当时，成立，但不成立，故C不正确；选项D中，由得，但不一定成立，故D不正确。综上选项B正确。选B。点睛：解答本题时容易因为不理解题意和要求而感到无从下手。判断p是q的什么条件，需要从两方面分析，一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.本题的意思是选出的选项能推出，反之不成立。解题时对各个选项逐一排除即可，要注意举反例在解题中的应用。9. 设双曲线的实轴轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题知, 则,则双曲线的渐近线方程为,故选C.10. 点P是双曲线上的点，是其焦点，双曲线的离心率是，且,若的面积是18，则的值等于（ ）A. 7 B. 9 C. D. 【答案】C【解析】不妨设点P是双曲线右支上的点，,则,解得,则的值等于,故选C.11. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，且|AB|=4，则此双曲线的离心率为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】D【解析】双曲线的一条渐近线,圆心到渐近线的距离为,即,解得,此双曲线的离心率为,故选D.12. 已知椭圆的标准方程为，为椭圆的左右焦点，O为原点，P是椭圆在第一象限的点，则的取值范围（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设,则 ,则 ,因为所以, ,故选C.点睛:本题考查椭圆的第二定义以及分式型的函数的值域问题,属于中档题. 设,则根据椭圆的第二定义可知, 再根据两点间距离公式求出|PO|,由P在椭圆上,将代入,把原式写成关于的函数形式,根据反比例类型的函数特点求出取值范围即可.二、填空题13. 把“五进制”数转化为“七进制”数：_【答案】152【解析】,把十进制化为七进制: 所以 ,故填152.14. 命题p：“x0R，x0210”的否定p为_【答案】【解析】命题p：“x0R，x0210”的否定p为:,故填.15. 已知命题p：若，则；命题q：若，则. 在命题；中，真命题是_(填序号)【答案】【解析】依题意易知：命题p为真，命题q为假，则q为真，p为假所以命题为假；命题为真；命题为真；命题为假故正确的命题是故答案为点睛：“或”命题：一真俱真；“且”命题：一假俱假.16. 已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是_【答案】【解析】设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,根据椭圆及双曲线的定义: ,解得,设 则在中,由余弦定理可得:,化简得,即 ,故填.点睛:本题考查椭圆和双曲线的几何性质以及余弦定理的应用.解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.三、解答题17. 在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入，已知研发投入 (十万元)与利润 (百万元)之间有如下对应数据：2345624567若由资料知对呈线性相关关系。试求：（1）线性回归方程； （2）估计时，利润是多少？附：利用“最小二乘法”计算a,b的值时,可根据以下公式：【答案】(1) ;(2) 1200万元.【解析】试题分析:(1)根据y对x呈线性相关关系,相关信息列表的数据,利用最小二乘法做出b的值,根据样本中心点一定在直线上,求出a的值;(2)根据上一问做出的结果写出线性回归直线方程,把所有的自变量的值代入,预报y的值,即估计使用10年时,维修费用的值.试题解析:（1） ， ， ， 所以，线性回归方程为 .（2）当x=10时，y=12，所以利润为1200万元. 18. 已知命题：方程表示椭圆，命题：，.（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若为真，为真，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析:(1) 命题为真，根据一次函数和二次函数的图象讨论和,求出范围即可;(2)根据复合命题的关系可知p真q假,求出m的取值范围即可.试题解析:（1）命题为真，当 时，；当时，不等式恒成立.综上，. （2）若为真，则. .若为真，为真，为假.19. 为了解消费者购物情况，某购物中心在电脑小票中随机抽取张进行统计，将结果分成6组，分别是：，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在元的区间内）.（1）若在消费金额为元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票来自元和元区间（两区间都有）的概率；（2）为做好春节期间的商场促销活动，商场设计了两种不同的促销方案.方案一：全场商品打八五折.方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免.利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由.【答案】(1) ;(2) 详见解析.【解析】试题分析:(1)由直方图可知, 按分层抽样在内抽6张，则内抽4张，在内抽2张，分别列举从中任选2张和满足条件的基本事件,根据古典概型求出概率;(2) 由直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05,分别计算出两种方案的平均费用,对比可得答案.试题解析:（1）由直方图可知，按分层抽样在内抽6张，则内抽4张，记为，在内抽2张，记为，设两张小票来自和为事件，从中任选2张，有以下选法：共15种.其中，满足条件的有，共8种，. （2）由直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05.方案一购物的平均费用为：（元）.方案二购物的平均费用为：（元）.方案二的优惠力度更大.20. 已知点在圆上，的坐标分别为，线段的垂直平分线交线段于点（1）求点的轨迹的方程；（2）设圆与点的轨迹交于不同的四个点，求四边形的面积的最大值及相应的四个点的坐标.【答案】(1) ;(2) ，【解析】试题分析：（1）由线段垂直平分线性质得，再根据椭圆定义确定轨迹，最后根据基本量求方程（2）由题意得四边形为矩形，各点关于对称轴对称，因此可设点坐标，表示四边形的面积，再根据基本不等式求最值，最后求对应点坐标试题解析：解：（）由已知得：，而，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆，设，所以点的轨迹的方程： （）由对称性可知，四边形为矩形，不妨设为椭圆上第一象限的点，则， 而，且，所以， 当且仅当，即，时，取“”，所以矩形的面积的最大值为，此时，四个点的坐标为：，21. 已知椭圆：，曲线上的动点满足：.（1）求曲线的方程；（2）设为坐标原点，第一象限的点分别在和上，求线段的长.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析:(1) 由已知，动点到点，的距离之和为，且，根据椭圆的定义求出曲线的方程;(2)两点的坐标分别为，由及（1）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为,分别联立直线AB与曲线和,得出点A,B的坐标,根据两点间的距离公式求出弦长即可.试题解析:（1）由已知，动点到点，的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，而，所以，故椭圆的方程为. （2）解：两点的坐标分别为，由及（1）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为.将代入中，得，所以，将代入中，得，所以，又由，得，即，解得，故. 22. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若的面积为，求直线的方程.【答案】(1) ;(2) 或【解析】试题分析:(1) 设椭圆的方程为： ，根据已知点和离心率列方程解出a,b,求出椭圆的方程;(2) 由已知直线过左焦点, 当直线与轴垂直时，经检验不合题意; 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：,与椭圆方程联立,消去y,得出关于x的一元二次方程,写出韦达定理,根据面积公式求出k的值,可得直线方程.试题解析:（1）设椭圆的方程为： ，由已知：得：，所