2018年高等数学二试题及完全解析(Word版)

超级狩猎者整理2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二考研真题与全面解析（Word版）一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 若，则 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】()【解析】由重要极限可得 ，因此， 或用“洛必达”：，故 ，选（B）.2. 下列函数中在处不可导的是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】()【解析】根据导数定义，A. ，可导；B. , 可导； C. ，可导；D. ，极限不存在。故选（）.3. 设函数，若在上连续，则（ ）.（A） （B） （C） （D）【答案】（）【解析】 令，则 因为函数连续，所以极限值等于函数值，即，故选 （D）.4. 设函数在上二阶可导。且，则 （ ）（A）当时， （B）当时，（C）当时， （D）当时，【答案】（）【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为 。将函数在处展开，有，其中。两边积分，得，由于 ，所以，应选（D）.【解析二】排除法。（A）错误。令，易知，但是。（B）错误。令，易知，但是。（C）错误。令，易知，但是。故选 （D）.5. 设，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（）【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。，令，则，当时，当时，故 对，有，因而，故。应选（）.6. （ ） （A） （B） （C） （D）【答案】（）【解析】还原积分区域，如图所示：积分区域关于轴对称，被积函数中关于是奇函数，所以，故选（C）。7. 下列矩阵中阵，与矩阵相似的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（）【解析】记矩阵，则秩，迹,特征值（三重）。观察四个选项，它们与矩阵的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：,，, 。如果矩阵与矩阵相似，则必有与相似（为任意常数），从而），故选（A）,8. 设是阶矩阵，记为矩阵 的秩，表示分块矩阵，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（）【解析】把矩阵 按列分块，记，则向量组 可以由向量组线性表出，从而与，等价，于是，故选（）。,二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9. 若 。 【答案】 1.【解析】【方法一】 由拉格朗日中值定理可得 其中 ， 可知 ，而 ，根据夹逼定理可得，。【方法二】型未定式的极限必须化成商式。 。10. 曲线在其拐点处的切线方程为 。 【答案】.【解析】函数的定义域为，；。令 ，解得 ，而，故点 是曲线唯一的拐点。曲线在该点处的斜率，所以切线方程为 。11. ；【答案】。【解析】 。12. 曲线，在对应处的曲率 。【答案】。【解析】有参数方程求导公式可知 ， ，故曲率 ，代入，可得。13. 设函数由方程确定，则 。【答案】。【解析】方程两边同时对求导，得 ，将 代入原方程可得，整理可得 。14. 设为3阶矩阵，为线性无关的向量组，则的实特征值为 。【答案】.【解析】 ，令 , 则 , 可逆，故相似于，于有相同的特征值。解得矩阵的实特征值为 。,三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （本题满分10分）求不定积分.【解析】16. （本题满分10分）已知连续函数 满足 （I）求；（II）若在区间上的平均值为 ，求的值。【解析】令 ，则 ，从而，原方程化为 ，等式两边对求导，得，且 ，由于连续，可知可导，进而有 可导。上式再求导可得 。由一阶线性微分方程的通解公式可得，将代入，解得，于是 有 。（II）根据题意可知，将代入，可得 。17.（本题满分10分）设平面区域由曲线 与围成，计算二重积分。【解析】画积分区域的草图，化二重积分为二次积分，利用边界曲线方程换元，其中 ，故 。18. （本题满分10分）已知常数，证明：。【分析】该题的本质是：证明“大于号左边式子构成的函数的最小值为0”。由于左边式子是两个因式的乘积且较为简单，因此只需要以的正负来论证另一个因式的各种变化即可。【证明】当（的定义域是）时，仅需证 ；当时，仅需证 。令 ，则，令，则。（1）当时，单调递减，从而 ，单调递增，于是有 ，命题成立。（2）当 时，；当时，。故 在 内的最小值在取得，而，因此，当 时，从而 ，且仅在处可能有。于是，当时，单调递增，也即 。 综上所述，对任意的，均有 。19. （本题满分10分）将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。 【答案】面积之和存在最小值，。【解析】设圆的半径为，正方形的边长为，三角形的边长为，则，三个图形的面积之和为 ，则问题转化为 “在条件，下，求三元函数 的最小值”。 令 解方程组，得到唯一驻点由实际问题可知，最小值一定存在，且在该驻点处取得最小值。最小面积和 为.20. （本题满分11分）已知曲线，点,点。设是上的动点，直线与直线及曲线所围图形的面积。若运动到点时沿轴方向的速度是，求此时关于时间的变化率。【解析】画草图，可以看出所求面积等于一个梯形面积减去一个曲边三角形（空白部分）面积。设时刻，动点的坐标为，则面积，所求变化率为 。21. （本题满分10分）设数列满足 。证明收敛，并求。【证明一】因为 ，所以 。根据拉格朗日中值定理，存在，使得 ，即，因此。完全类似，假设 ，则，即 ，故数列单调减少且有下界，从而数列收敛。设 ，在等式 两边取极限，得 ，解方程得 唯一解 ，故 。【证明二】首先证明数列有下界，即证明：当时， 。根据题设 ，由 可知 ；假设当时， ；则当时， ，其中，可知 。根据数学归纳法，对任意的， 。再证明数列的单调性：，(离散函数连续化)设 ，则当时，单调递减，即 。从而 ，故，即数列的单调递减。综上，数列的单调递减且有下界。由单调有界收敛原理可知收敛。设 ，在等式 两边同时令，得 ，解方程得 唯一解 ，故 。22. （本题满分11分）设二次型 ，其中是参数。（I）求 的解；（II）求 的规范型。【解析】（I）由 可得对上述齐次线性方程组的系数矩阵作 初等行变换得当时， 只有零解：。当时， 有非零解：， 为任意常数。（II）当时，若不全为0，则二次型 恒大于 0，即二次型为正定二次型，其规范型为。当 时，二次型对应的实对称矩阵 ，其特征方程为解得特征值 ，可知二次型的规范型为。23.（本题满分11分）设是常数，且矩阵 可经过初等列变换化为矩阵。(I)求；（II）求满足的可逆矩阵？【解析】（I）由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，故 。对矩阵作初等行变换，得，