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超级狩猎者整理2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二考研真题与全面解析(Word版)一、选择题:18小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 若,则 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】()【解析】由重要极限可得 ,因此, 或用“洛必达”:,故 ,选(B).2. 下列函数中在处不可导的是( )(A) (B)(C) (D)【答案】()【解析】根据导数定义,A. ,可导;B. , 可导; C. ,可导;D. ,极限不存在。故选().3. 设函数,若在上连续,则( ).(A) (B) (C) (D)【答案】()【解析】 令,则 因为函数连续,所以极限值等于函数值,即,故选 (D).4. 设函数在上二阶可导。且,则 ( )(A)当时, (B)当时,(C)当时, (D)当时,【答案】()【解析一】有高于一阶导数的信息时,优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断,展开点为 。将函数在处展开,有,其中。两边积分,得,由于 ,所以,应选(D).【解析二】排除法。(A)错误。令,易知,但是。(B)错误。令,易知,但是。(C)错误。令,易知,但是。故选 (D).5. 设,则( )(A) (B) (C) (D)【答案】()【解析】积分区间是对称区间,先利用对称性化简,能求出积分最好,不能求出积分则最简化积分。,令,则,当时,当时,故 对,有,因而,故。应选().6. ( ) (A) (B) (C) (D)【答案】()【解析】还原积分区域,如图所示:积分区域关于轴对称,被积函数中关于是奇函数,所以,故选(C)。7. 下列矩阵中阵,与矩阵相似的是( )(A) (B) (C) (D)【答案】()【解析】记矩阵,则秩,迹,特征值(三重)。观察四个选项,它们与矩阵的秩相等、迹相等、行列式相等,特征值也相等,进一步分析可得:,,, 。如果矩阵与矩阵相似,则必有与相似(为任意常数),从而),故选(A),8. 设是阶矩阵,记为矩阵 的秩,表示分块矩阵,则( )(A) (B) (C) (D)【答案】()【解析】把矩阵 按列分块,记,则向量组 可以由向量组线性表出,从而与,等价,于是,故选()。,二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.9. 若 。 【答案】 1.【解析】【方法一】 由拉格朗日中值定理可得 其中 , 可知 ,而 ,根据夹逼定理可得,。【方法二】型未定式的极限必须化成商式。 。10. 曲线在其拐点处的切线方程为 。 【答案】.【解析】函数的定义域为,;。令 ,解得 ,而,故点 是曲线唯一的拐点。曲线在该点处的斜率,所以切线方程为 。11. ;【答案】。【解析】 。12. 曲线,在对应处的曲率 。【答案】。【解析】有参数方程求导公式可知 , ,故曲率 ,代入,可得。13. 设函数由方程确定,则 。【答案】。【解析】方程两边同时对求导,得 ,将 代入原方程可得,整理可得 。14. 设为3阶矩阵,为线性无关的向量组,则的实特征值为 。【答案】.【解析】 ,令 , 则 , 可逆,故相似于,于有相同的特征值。解得矩阵的实特征值为 。,三、解答题:1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本题满分10分)求不定积分.【解析】16. (本题满分10分)已知连续函数 满足 (I)求;(II)若在区间上的平均值为 ,求的值。【解析】令 ,则 ,从而,原方程化为 ,等式两边对求导,得,且 ,由于连续,可知可导,进而有 可导。上式再求导可得 。由一阶线性微分方程的通解公式可得,将代入,解得,于是 有 。(II)根据题意可知,将代入,可得 。17.(本题满分10分)设平面区域由曲线 与围成,计算二重积分。【解析】画积分区域的草图,化二重积分为二次积分,利用边界曲线方程换元,其中 ,故 。18. (本题满分10分)已知常数,证明:。【分析】该题的本质是:证明“大于号左边式子构成的函数的最小值为0”。由于左边式子是两个因式的乘积且较为简单,因此只需要以的正负来论证另一个因式的各种变化即可。【证明】当(的定义域是)时,仅需证 ;当时,仅需证 。令 ,则,令,则。(1)当时,单调递减,从而 ,单调递增,于是有 ,命题成立。(2)当 时,;当时,。故 在 内的最小值在取得,而,因此,当 时,从而 ,且仅在处可能有。于是,当时,单调递增,也即 。 综上所述,对任意的,均有 。19. (本题满分10分)将长为的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形,三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值。 【答案】面积之和存在最小值,。【解析】设圆的半径为,正方形的边长为,三角形的边长为,则,三个图形的面积之和为 ,则问题转化为 “在条件,下,求三元函数 的最小值”。 令 解方程组,得到唯一驻点由实际问题可知,最小值一定存在,且在该驻点处取得最小值。最小面积和 为.20. (本题满分11分)已知曲线,点,点。设是上的动点,直线与直线及曲线所围图形的面积。若运动到点时沿轴方向的速度是,求此时关于时间的变化率。【解析】画草图,可以看出所求面积等于一个梯形面积减去一个曲边三角形(空白部分)面积。设时刻,动点的坐标为,则面积,所求变化率为 。21. (本题满分10分)设数列满足 。证明收敛,并求。【证明一】因为 ,所以 。根据拉格朗日中值定理,存在,使得 ,即,因此。完全类似,假设 ,则,即 ,故数列单调减少且有下界,从而数列收敛。设 ,在等式 两边取极限,得 ,解方程得 唯一解 ,故 。【证明二】首先证明数列有下界,即证明:当时, 。根据题设 ,由 可知 ;假设当时, ;则当时, ,其中,可知 。根据数学归纳法,对任意的, 。再证明数列的单调性:,(离散函数连续化)设 ,则当时,单调递减,即 。从而 ,故,即数列的单调递减。综上,数列的单调递减且有下界。由单调有界收敛原理可知收敛。设 ,在等式 两边同时令,得 ,解方程得 唯一解 ,故 。22. (本题满分11分)设二次型 ,其中是参数。(I)求 的解;(II)求 的规范型。【解析】(I)由 可得对上述齐次线性方程组的系数矩阵作 初等行变换得当时, 只有零解:。当时, 有非零解:, 为任意常数。(II)当时,若不全为0,则二次型 恒大于 0,即二次型为正定二次型,其规范型为。当 时,二次型对应的实对称矩阵 ,其特征方程为解得特征值 ,可知二次型的规范型为。23.(本题满分11分)设是常数,且矩阵 可经过初等列变换化为矩阵。(I)求;(II)求满足的可逆矩阵?【解析】(I)由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,故 。对矩阵作初等行变换,得,
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