小题也可大做

小题也可大做 以一道段考题为例 黄锦书 沈惠娟特级教师工作坊 一 试题再现 把二次函数 2 的图象绕原点转 180 得 到的图象的关系式为 这道题是我校前年期中考试试题中的一道 是道简单 的小题 解法简单 原抛物线顶点坐标是 1 2 它关于原点 对称点是 一 1 一 2 旋转后不改变图形的形状大小 只是 改变开口方向 所以所求的函数解析式为 2 二 另辟蹊径 罗增儒教授曾说过 如果仅仅满足于解出来就行了的 话 那无异于入宝山而空返 我们一定要进行解题回顾 想想以前碰到类似的题吗 解题思路是怎样想到的 途中 又遇到了哪些障碍 又怎样绕过这些障碍 还有其他解法 吗 还能对它进行变式吗等等 1 孙维刚老师也说过 做题 要一题多变 一题多解 多解归一 多题一解 特别是对 于精彩的题目更应如此 2 此题条件中函数解析式恰好是顶点式 所以运用二次 函数和原点对称的性质很容易得出答案 若改成一般式且 结果也要求用一般式来表示 若用配方法转化成顶点式或 利用顶点坐标来求顶点式最后再转换成一般式 这样做的 话就很麻烦 举个例子 求 y x2 x 绕原点转 180 得 5 3 7 4 2 11 到的图象解析式 怎么做呢 李邦河院士曾说过 数学 根本上是玩概念的 不是玩技巧 技巧不足道也 3 因为 性质 定理 公式都是由概念推导得到的 概念 性质 定理 公式等这些数学冰冷的美丽下掩藏着数学家们火热 的思考 概念是怎样形成 性质定理公式是怎样得来 如 果我们数学老师能还原这过程 让学生经历再发现再创造 的过程 享受发现的乐趣和成功的喜悦 体会并掌握数学 的灵魂 数学思想方法 就可让他 她 们拥有 一双 能用数学视角观察世界的眼睛 一个能用数学思维思考世 界的头脑 下面先研究此题的解法 大道至简 从概念入手 得 到 解法 绕原点转 180 就是关于原点对称 什么是关于原 点对称 几何图形的基本要素点 关于原点对称的 点的坐标是 所以原函数解析式中当自变量为 时 函数值等于 由 2 可 5 3 7 4 2 11 得到所求的函数解析式为 y x x 在原题利用此法解 5 3 7 4 2 11 如下 由 2 可得 2 再根据二次函数图象和性质及原点对称概念入手得到 解法 要确定二次函数解析式 ax2 bx c 关键求出各 项系数 图象的形状和大小不改变 开口方向改变 所以 a 就变成 a 对称轴符号由 a b 来决定 原来 a b 同号 那么旋转后 a b 异号 若原来 a b 异号那么旋转后 a b 同号 旋转 180 后 抛物线与 y 轴交点的位置与原来相反 所以 c 变成 c 根据以上分析易知 a 变成 b 与 a 同号还是 5 3 c 变成 所以函数解析式为 y x x 在原题利 7 4 2 11 5 3 7 4 2 11 用此法解如下 因为 a 变 对称轴符号变 c 变 2 解法 用配方法转化成顶点式或利用顶点坐标来求顶点 式最后再转换成一般式 略 解法 利用待定系数法求 找出较好算的三个点的对称 点的坐标 略 比较上面 种方法可知 对于一般式 解法 与解法 要比解法 简单多 就算是顶点式 利用解法 也要比 解法 快 对知识我们只有做到深刻理解 融会贯通 才 能灵活运用 三 变式探究 除了顶点式变为一般式 还可把二次函数变为一 次函数或反比例函数 解法 是通法 对于一次函数 解 法 x 中 不变 相反 因为反比例函数图象 关于原点对称 所以反比例函数图象绕原点转 180 得到的 图象解析式与原来一样 除了关于原点对称还可变为关于 轴或 轴对称 解法 依然通用 解法 类比以上方法进行探讨 举个例 子 求 y x x 关于 轴对称的解析式 关于 轴对称 开口方向变 所以 a 变为 轴对称变换后对称轴不变 原来 a b 异号那么后来 a b 依然异号 所以 与 a 异号变为 c 变为 所以解析式为 y x x 关 于 轴对称则开口方向不变 轴对称变 c 不变 y x x 关于 y 轴对称的解析式为 y x x 波利亚在 怎样解题 一书中指出 一个好的教师 应该懂得并且传授给学生下述看法 没有任何问题是可以 解决得十全十美的 总剩下些工作要做 经过充分的探讨 与钻研 我们能够改进这个解答 而且在任何情况下 我 们总能提高自己对这个解答的理解水平 4 经过思考 此题还可做变式如下 绕原点顺时针或逆 时针旋转 90 无论是一次函数还是二次函数都可以 反 比例函数图象旋转 90 简单略 只不过解法 1 需要用到高 中的知识 平面直角坐标系中一点 x1 y1 绕原点顺时针旋 转 90 后得到的点的坐标为 x2 y2 则 x2 rcos 90 rcos r y1 所以 y1 x2 同理90 sin y2 r r rcos x1 所以sin90 sin 90 x1 y2 同理 平面直角坐标系中一点 x1 y1 绕原点逆 时针旋转 90 后得到的点的坐标为 x2 y2 有 x1 y2 y1 x2 解法 2 要利用待定系数法 下面举两个 例子 例 1 求一次函数 2x 1 图象绕原点顺时针旋转 90 后得到的函数图象解析式 解法 1 为了好区分 把原来的函数解析式 2x 1 变 为 y1 2x1 1 绕原点顺时针旋转 90 后 x1 y2 y1 x2 上面已说明 把 x1 y2 y1 x2代入 函数解析式 y1 2x1 1 可得 x2 2y2 1 所以 y2 x2 1 2 再把 x2 y2换成 x y 即可得到所求的函数解析式为 1 2 y x 1 2 1 2 解法 2 略 找 个对应点坐标后利用待定系数法求 解法 利用斜截式求 互相垂直的两条直线的斜率 的积 k1k2 1 k1 2 求出 k2 原函数图象与 x 轴交点 1 2 坐标为 0 所以绕原点顺时针旋转 90 后与 轴交 1 2 点坐标为 0 所以 b 所以所求函数解析式为 y 1 2 1 2 x 1 2 1 2 例 求二次函数 y x 1 2 2 为了好理解 用原题 图象绕原点逆时针旋转 90 后得到的函数图象解析式 解法 1 和例 1 的解法 1 类似 为了好区分 把原来的 函数解析式 y x 1 2 2 变为 y1 x1 1 2 2 绕原点逆时针旋转 90 后得到的点的坐标为 x2 y2 有 x1 y2 y1 x2 上面 已说明 把 x1 y2 y1 x2代入函数解析式 y1 x1 1 2 2 可得 x2 y2 1 2 2 所以 x2 y2 1 2 2 再把 x2 y2换成 x y 即可得到所求的函数解析式为 x y 1 2 2 解法 由二次函数图象性质可知 y ax2 bx c 的图象 开口向上或向下 抛物线 y x 1 2 2 绕原点逆时针旋转 90 后得到的图象开口向左 它依然是一条抛物线 所以也是 二次函数 每一个 y 值都有一个 x 值跟它对应 所以在这里 x 是 y 的函数 设 x ay2 by c 找 3 个对应点坐标后利用待 定系数法求 比如点 0 3 的对应点 3 0 点 1 2 对应点 点 对应点 3 3 b c 4a 2b c 解得 所以所求解析式为 x y2 y 即 x y 1 2 2 四 一点经验 在考试当中我们力求小题小做 快速简捷 但在平时 我们应当小题