第8讲-因动点产生的线段和差问题

1 第第 8 8 讲讲 因动点产生的线段和差问题因动点产生的线段和差问题 例例 1 1 福州市中考第福州市中考第 2626 题题 如图 1 抛物线 y x2 4x 与 x 轴交于 O A 两点 P 为抛物线上一点 过点 P 的直线 y x m 与抛物线的对称轴交于点 Q 1 这条抛物线的对称轴是 直线 PQ 与 x 轴所夹锐角的度数是 2 若两个三角形的面积满足 S OQP S PAQ 求 m 的值 1 3 3 当点 P 在 x 轴下方的抛物线上时 过点 C 2 2 的直线 AC 与直线 PQ 交于点 D 求 PD DQ 的最大值 PD DQ 的最大值 图 思路点拨思路点拨 1 第 2 题 OQP 与 PAQ 是同底三角形 把面积比转化为对应高的比 进而确定线段 OA 的分 点的位置 从而得到直线 PQ 与 y 轴的交点坐标 2 第 3 题中 CQD 保持等腰直角三角形的形状 满分解答满分解答 1 抛物线的对称轴为直线x 2 直线PQ与x轴的夹角为45 2 因为 OQP与 PAQ有公共边PQ 所以它们的面积比等于对应高的比 如图2 作OM PQ于M AN PQ于N 当S OQP S PAQ时 1 3 1 3 OM AN 设直线PQ与x轴交于点H 那么 1 3 OHOM AHAN 由y x2 4x x x 4 得A 4 0 所以OA 4 如图2 当点H在线段OA上时 OH 1 H 1 0 此时m 1 2 如图3 当点H在AO的延长线上时 OH 2 H 2 0 此时m 2 3 如图 4 由 A 4 0 C 2 2 得直线 AC 与 x 轴的夹角为 45 点 C 在抛物线的对称轴上 又因为直线PQ与x轴的夹角为45 所以 CDQ是等腰直角三角形 作点Q关于直线AC的对称点Q 那么 CQQ 是等腰直角三角形 CQ x轴 所以DQ DQ 因此PD DQ PD DQ PQ 作PP CQ 垂足为P 那么 PP Q 是等腰直角三角形 因此当PP 最大时 PQ 也最大 当点P运动到抛物线的顶点 2 4 时 PP 最大 最大值PP 6 此时PQ 的最大值为 即PD DQ的最大值为 6 26 2 图2 图3 图4 由于 PD DQ 设 PD a 那么 DQ 6 26 2a 因此 PD QD 所以当 a 时 PD QD 的最大值为 18 此时 2 6 2 3 2 18aaa 3 2 PD DQ P Q 两点重合于抛物线的顶点 3 2 考点伸展考点伸展 第 3 题可以用代数法来解 因为点 P 在抛物线 y x2 4x 上 设 P n n2 4n 将 P n n2 4n 代入直线 y x m 可得 m n2 5n 所以直线 PQ 可以表示为 y x n2 5n 那么 Q 2 2 n2 5n 联立直线 AC y x 4 和直线 PQ y x n2 5n 可得 2xD 4 n2 5n 于是 PD DQ 2 2 DPDQ xxxx 2 2 DPQ xxx 22 2 452 2 2 6 2nnnn 所以当 n 2 时 PD DQ 的最大值为 当 n 2 时点 P 在抛物线的顶点 6 2 3 例例 2 2 广州市中考第广州市中考第 2424 题题 已知平面直角坐标系中两定点 A 1 0 B 4 0 抛物线 y ax2 bx 2 a 0 过点 A B 顶点为 C 点 P m n n 0 为抛物线上一点 1 求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标 2 当 APB 为钝角时 求 m 的取值范围 3 若 m 当 APB 为直角时 将该抛物线向左或向右平移 t 0 t 个单位 点 C P 平 3 2 5 2 移后对应的点分别记为 C P 是否存在 t 使得顺次首尾连接 A B P C 所构成的多边形的周长最短 若存在 求 t 的值并说明抛物线平移的方向 若不存在 请说明理由 思路点拨思路点拨 1 要探求 APB 为钝角时点 P 的范围 需要先找到 APB 为直角时点 P 的位置 2 直径的两个端点与圆内一点围成的三角形是钝角三角形 3 求两条线段的和最小 是典型的 牛喝水 问题 本题的四条线段中 有两条的长是定值 把不 定的两条线段通过 平行且相等 连接起来 就转化为 牛喝水 问题 满分解答满分解答 1 因为抛物线 y ax2 bx 2 与 x 轴交于 A 1 0 B 4 0 两点 所以 y a x 1 x 4 ax2 3ax 4a 所以 4a 2 b 3a 所以 1 2 a 3 2 b 所以 22 131325 2 22228 yxxx 顶点为 325 28 C 2 如图 1 设抛物线与 y 轴的交点为 D 由 A 1 0 B 4 0 D 0 2 可知 OAOD ODOB 所以 AOD DOB 因此 ADO DBO 4 由于 DBO 与 BDO 互余 所以 ADO 与 BDO 也互余 图 1 于是可得 ADB 90 因此以 AB 为直径的圆经过点 D 当点 P 在 x 轴下方圆的内部时 APB 为钝角 此时 1 m 0 或 3 m 4 3 若 m 当 APB 为直角时 点 P 与点 D 关于抛物线的对称轴对称 因此点 P 的坐标为 3 2 3 2 如图 2 由于点 A B P C 是确定的 BB P C PC 平行且相等 所以 A B P C 四点所构成 的四边形中 AB 和 P C 的长是确定的 如图 3 以 P C P B 为邻边构造平行四边形 C P BB 以直线为对称轴作点 B 的对称点 25 8 y B 联结 AB 那么 AC P B 的长最小值就是线段 AB 如图 4 线段 AB 与直线的交点 就是四边形周长最小时点 C 的位置 25 8 y 如图 2 点 P 3 2 先向左平移个单位 再向下平移个单位得到点 3 2 9 8 325 28 C 如图 3 点 B 4 0 先向左平移个单位 再向下平移个单位得到点 3 2 9 8 59 28 B 所以点 B 的坐标为 541 28 如图 4 由 得 解得 AEAF C EB F 2541 88 5 1 1 2 C x 93 82 C x 由于 所以抛物线向左平移了个单位 39315 28241 15 41 图 2 图 3 图 4 考点伸展考点伸展 第 2 题不可回避要证明 ADB 90 也可以根据勾股定理的逆定理证明 由 A 1 0 B 4 0 D 0 2 得 AB2 25 AD2 5 BD2 20 所以 AB2 AD2 BD2 所以 ADB 90 第 3 题的运算量实在是太大了 很容易折磨同学们的自信 求点 B 的坐标 我们用了坐标平移的方法 比较简便 求点 C 的坐标 我们用了相似比的方法 回避了待定系数法更为繁琐的计算过程 5 例例 3 3 天津市中考第天津市中考第 2525 题题 在平面直角坐标系中 已知点 A 2 0 B 0 4 点 E 在 OB 上 且 OAE OBA 1 如图 1 求点 E 的坐标 2 如图 2 将 AEO 沿 x 轴向右平移得到 AE O 连结 A B BE 设 AA m 其中 0 m 2 使用含 m 的式子表示 A B2 BE 2 并求出使 A B2 BE 2取得最小值时 点 E 的坐标 当 A B BE 取得最小值时 求点 E 的坐标 直接写出结果即可 图 1 图 2 思路点拨思路点拨 1 图形在平移的过程中 对应点的连线平行且相等 EE AA m 2 求 A B2 BE 2的最小值 第一感觉是用勾股定理列关于 m 的式子 3 求 A B BE 的最小值 第一感觉是典型的 牛喝水 问题 轴对称 两点之间线段最短 满分解答满分解答 1 由 OAE OBA AOE BOA 得 AOE BOA 6 所以 因此 AOBO OEOA 24 2OE 解得 OE 1 所以 E 0 1 2 如图 3 在 Rt A OB 中 OB 4 OA 2 m 所以 A B2 16 2 m 2 在 Rt BEE 中 BE 3 EE m 所以 BE 2 9 m2 所以 A B2 BE 2 16 2 m 2 9 m2 2 m 1 2 27 所以当 m 1 时 A B2 BE 2取得最小值 最小值为 27 此时点 A 是 AO 的中点 点 E 向右平移了 1 个单位 所以 E 1 1 如图 4 当 A B BE 取得最小值时 求点 E 的坐标为 8 1 7 图 3 图 4 考点伸展考点伸展 第 2 题这样解 如图 4 过点 B 作 y 轴的垂线 l 作点 E 关于直线 l 的对称点 E 所以 A B BE A B BE 当 A B E 三点共线时 A B BE 取得最小值 最小值为线段 A E 在 Rt A O E 中 A O 2 O E 7 所以 A E 53 当 A B E 三点共线时 所以 A OA O BOE O 2 47 m 解得 此时 8 7 m 8 1 7 E 7 例例 4 4 滨州市中考第滨州市中考第 2424 题题 如图 1 在平面直角坐标系中 抛物线 y ax2 bx c 经过 A 2 4 O 0 0 B 2 0 三点 1 求抛物线 y ax2 bx c 的解析式 2 若点 M 是该抛物线对称轴上的一点 求 AM OM 的最小值 图 1 答案答案 1 2 AM OM 的最小值为 2 1 2 yxx 4 2 图 2 图 3 8 例例 5 5 山西省中考第山西省中考第 2626 题题 如图 1 在平面直角坐标系中 抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 点 D 是抛物线的顶点 1 求直线 AC 的解析式及 B D 两点的坐标 2 点 P 是 x 轴上的一个动点 过 P 作直线 l AC 交抛物线于点 Q 试探究 随着点 P 的运动 在 抛物线上是否存在点 Q 使以 A P Q C 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请直接写出符合条 件的点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 3 请在直线 AC 上找一点 M 使 BDM 的周长最小 求出点 M 的坐标 图 1 思路点拨思路点拨 1 第 2 题探究平行四边形 按照 AP 为边或者对角线分两种情况讨论 2 第 3 题是典型的 牛喝水 问题 构造点 B 关于 河流 AC 的对称点 B 那么 M 落在 B D 上时 MB MD 最小 MBD 的周长最小 满分解答满分解答 1 由 y x2 2x 3 x 1 x 3 x 1 2 4 得 A 1 0 B 3 0 C 0 3 D 1 4 直线 AC 的解析式是 y 3x 3 2 Q1 2 3 Q2 Q3 17 3 17 3 3 设点 B 关于直线 AC 的对称点为 B 联结 BB 交 AC 于 F 联结 B D B D 与交 AC 的交点就是要探求的点 M 作 B E x 轴于 E 那么 BB E BAF CAO 在 Rt BAF 中 AB 4 所以 1310 AFBFAB 12 10 BF 9 在 Rt BB E 中 所以 1310 B EBEBB 24 2 10 BBBF 12 5 B E 36 5 BE 所以 所以点 B 的坐标为 3621 3 55 OEBEOB 21 12 55 因为点 M 在直线 y 3x 3 上 设点 M 的坐标为 x 3x 3 由 得 所以 DDMM B DB M yDyByMyB xDxBxMxB 1212 433 55 2121 1 55 x x 解得 所以点 M 的坐标为 9 35 x 9 132 35 35 图 2 图 3 考点伸展考点伸展 第 2 题的解题思路是这样的 如图 4 当 AP 是平行四边形的边时 CQ AP 所以点 C Q 关于抛物线的对称轴对称 点 Q 的坐 标为 2 3 如图 5 当 AP 是平行四边形的对角线时 点 C Q 分居 x 轴两侧 C Q 到 x 轴的距离相等 解方程 x2 2x 3 3 得 所以点 Q 的坐标为 或 17x 17 3 17 3 图 4 图 5 10 强化训练强化训练 1 如图 抛物线与轴交于 A B 两点 与轴交于点 C 且 A 1 0 2 2 1 2 bxxyxy 1 求抛物线的解析式及定点 D 的坐标 2 点 M 0 是轴上的一个动点 当 MC MD 的值最小时 求的值 mxm 2 德州 24 如图 已知抛物线与轴交于点 A 0 B 0 两点 且mxmxy24 2 x 1 求抛物线的解析式 2 11 2 抛物线的对称轴为 与轴上的点 N 使四边形 DNME 的周长最小 若存在 请画出图形 保ly 留作图痕迹 并求出周长的最小值 若不存在 请说明理由 3 若点 P 在抛物线上 点 Q 在轴上 当以点 D E P Q 为顶点的四边形