余数的可加性-可减性.doc

余数定理（1） 可加性 a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数） 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4 注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。 （2） 可减性 a与b的差除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之差 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)除以5的余数等于31=2 注意：当较大数的余数小于较小数的余数时，所求余数等于c减去余数之差 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以(2319)的余数等于5(43)=4. （3） 可乘性 a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数） 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以除以5的余数等于 注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以5的余数等于除以5的余数 （4） 乘方性 如果a与b除以m的余数相同，那么an与bn除以m的余数也相同 余数判别法 当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数； 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数； 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数； 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数； 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数； 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数 中国剩余定理： 在一千多年前的孙子算经中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数此问题亦称“孙子问题”，有很多有趣的别名，如“韩信点兵”，“秦王暗点兵”，“鬼谷算”，“隔墙算”，“大衍求一术”等等 我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知” 这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（ChineseRemainderTheorem），是我国古代数学的一项辉煌成果诗中的每一句话都表示一个步骤： 三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘 五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘 七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘 除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数 此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求也就是270321215=233,233105=128,128105=23. 为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？ 先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21是被5除余b，被3与7整除的数；同理15