函数基础知识复习.doc

.函数及其表示基础知识梳理1函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作：yf(x)，xA.(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合f(x)|xA叫值域值域是集合B的子集(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据2函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法3映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射 另：求复合函数yf(t)，tq(x)的定义域的方法：若yf(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得aq(x)b即可求出yf(q(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域4函数的单调性(1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数。(2)单调区间的定义：若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数y分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不能用“”连接函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数在公共的单调区间内有：增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，减函数+减函数=减函数，减函数-增函数=减函数。(3)图象法：利用图象研究函数的单调性函数的奇偶性与周期性基础知识梳理1奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 注：奇、偶函数的定义域关于原点对称2奇、偶函数的性质（1）奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称（2）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。 （3）若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0 ，偶函数恒有.判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法3周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期注：若f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2a；练习检测1(2011江西)若f(x)，则f(x)的定义域为()A. B. C. D(0，)解析由log(2x1)0，即02x11，解得x0.答案A2下列各对函数中，表示同一函数的是()Af(x)lg x2，g(x)2lg x Bf(x)lg，g(x)lg(x1)lg(x1)Cf(u) ，g(v) Df(x)()2，g(x)答案C3函数yf(x)的图象如图所示那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只与x的一个值对应的y值的范围是_解析任作直线xa，当a不在函数yf(x)定义域内时，直线xa与函数yf(x)图象没有交点；当a在函数yf(x)定义域内时，直线xa与函数yf(x)的图象有且只有一个交点任作直线yb，当直线yb与函数yf(x)的图象有交点，则b在函数yf(x)的值域内；当直线yb与函数yf(x)的图象没有交点，则b不在函数yf(x)的值域内答案3,02,31,51,2)(4,54求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x).审题视点 理解各代数式有意义的前提，列不等式解得解(1)要使函数f(x)有意义，必须且只须解不等式组得x3，因此函数f(x)的定义域为3，)(2)要使函数有意义，必须且只须即解得：1x1.因此f(x)的定义域为(1,1)5. (2012天津耀华中学月考)(1)已知f(x)的定义域为，求函数yf的定义域；(2)已知函数f(32x)的定义域为1,2，求f(x)的定义域解(1)令x2xt，知f(t)的定义域为，x2x，整理得所求函数的定义域为.(2)用换元思想，令32xt，f(t)的定义域即为f(x)的定义域，t32x(x1,2)，1t5，故f(x)的定义域为1,56.(1)已知flg x，求f(x)；(2)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，求函数f(x)的解析式审题视点 (1)用代换法求解；(2)构造方程组求解解(1)令t1，则x，f(t)lg ，即f(x)lg .(2)x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代x得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1) 求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等7. (1)已知f(x)是二次函数，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1，试求f(x)的表达式(2)已知f(x)2f()2x1，求f(x)解(1)由题意可设f(x)ax2bx(a0)，则a(x1)2b(x1)ax2bxx1ax2(2ab)xabax2(b1)x1解得a，b.因此f(x)x2x.(2)由已知得消去f，得f(x).8. 求函数ylog(x23x)的单调区间正解设tx23x，由t0，得x0或x3，即函数的定义域为(，0)(3，)函数t的对称轴为直线x，故t在(，0)上单调递减，在上单调递增而函数ylogt为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数ylog(x23x)的单调递增区间是(，0)，单调递减区间是(3，)9. 求函数f(x)log2(x22x3)的单调区间尝试解答由x22x30，得x1或x3，即函数的定义域为(，1)(3，)令tx22x3，则其对称轴为x1，故t在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数又ylog2t为单调增函数故函数ylog2(x22x3)的单调增区间为(3，)，单调减区间为(，1)10.(2011江苏)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_解析要使ylog5(2x1)有意义，则2x10，即x，而ylog5u为(0，)上的增函数，当x时，u2x1也为增函数，故原函数的单调增区间是.答案11. 函数y在(1，)上单调递增，则a的取值范围是 （ ）Aa3 Ba3 Ca3 Da3解析y1，需即a3.答案C12. 已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值审题视点 抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形(1)证明法一函数f(x)对于任意x，yR总有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0.再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数法二设x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上为减函数(2)解f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2. 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)f(x2)与0的大小，或与1的大小有时根据需要，需作适当的变形：如x1x2或x1x2x1x2等【训练】已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值解(1)令x1x20，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)f(x)在0，)上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.1(2011全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f()A. B. C. D.解析因为f(x)是周期为2的奇函数，所以fff.故选A.答案A2(2011浙江)若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析法一f(x)f(x)对于xR恒成立，|xa|xa|对于xR恒成立，两边平方整理得ax0对于xR恒成立，故a0.法二由f(1)f(1)，得|a1|a1|，得a0.答案03. 已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0内递减，求满足：f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围解f(x)的定义域为2,2，有解得1m.又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，在2,2上递减，f(1m)f(1m2)f(m21)1mm21，即2m1.综合可知，1m1.4.已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于x1对称，当x0,1时，f(x)2x1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x1,2时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2013)的值审题视点 (1)只需证明f(xT)f(x)，即可说明f(x)为周期函数；(2)由f(x)在0,1上的解析式及f(x)图象关于x1对称求得f(x)在1,2上的解析式；(3)由周期性求和的值(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，函数f(x)的图象关于x1对称，则f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数(2)解当x1,2时，2x0,1，又f(x)的图象关于x1对称，则f(x)f(2x)22x1，x1,2(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1又f(x)是以4为周期的周期函数f(0)f(1)f(2)f(2013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1. 判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题5. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 013)f(2 015)的值为()A1 B1 C0 D无法计算解析由题意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期为4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 013)f(2 0