平面向量知识点总结及同步练习..doc

第二章 平面向量一、向量的基本概念与基本运算1、数量:只有大小,没有方向的量.2、有向线段: 定义:带有方向的线段(规定了起点和终点的线段叫做有向线段。.表示:表示有向线段时,要将表示起点的字母写在前面,表示终点的字母写在后面。在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。.有向线段包括三要素:起点、方向和长度,知道了有向线段的起点,它的终点就被方向和长度唯一确定。有向线段不等同于向量。二者的区别是:向量可用有向线段来表示,每一条有向线段对应着一个向量,但每一个向量对应着无数多条有向线段。3、向量的概念:向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如:AB 几何表示法 AB ,a ;坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向量的膜:向量的大小即向量的模(长度,记作|AB |即向量的大小,记作|a | 注意:向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量|0a |=1平行向量(共线向量:方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a =大小相等,方向相同,(,(2211y x y x =2121y y x x 二、向量加法。定义:求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b =,则a +b =AB BC +=AC(1a a a =+=+00;(2向量加法满足交换律与结合律;向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:(1用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量(2 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:AB BC CD PQ QR AR +=,但这时必须“首尾相连”.三、向量的减法。 相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量记作a -,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有: (i (a -=a ; (ii a +(a -=(a -+a =0 ;(iii若a 、b 是互为相反向量,则a =b -,b =a -,a +b =0向量减法:向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差,记作:(b a b a -+=-求两个向量差的运算,叫做向量的减法 作图法:b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量(a 、b 有共同起点四、实数与向量的积:1、实数与向量a 的积是一个向量,记作a ,它的长度与方向规定如下:(a a =;(当0时,a 的方向与a 的方向相同;当00时,a 与a 同向;=b ababa,cos|1212a b x x y y=+abba=(bababa=cbcacba+=+(22|aa=,22|yxa+=|baba例1 、已知向量(1,2,(,1,2a b x u a b =+,2v a b =-,且/u v ,求实数x 的值解: 因为(1,2,(,1,2a b x u a b =+,2v a b =-所以(1,22(,1(21,4u x x =+=+,2(1,2(,1(2,3v x x =-=- 又因为/u v所以3(214(20x x +-=,即105x = 解得12x =例2、已知点6,2(,4,4(,0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB (O 为坐标原点交点P 的坐标解: 设(,P x y ,则(,(4,OP x y AP x y =- 因为P 是AC 与OB 的交点所以P 在直线AC 上,也在直线OB 上 即得/,/OP OB AP AC由点6,2(,4,4(,0,4(C B A 得,(2,6,(4,4AC OB =-=得方程组6(420440x y x y -+=-=解之得33x y =故直线AC 与OB 的交点P 的坐标为(3,3六、平面向量的数量积1、两个向量的数量积:已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为,则a b =a b cos 叫做a 与b 的数量积(或内积 规定00a =2、向量的投影:b cos =|a ba R ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影3、数量积的几何意义: a b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积4、向量的模与平方的关系:22|a a a a =5、乘法公式成立:(2222a b a b a b a b +-=-=-;(2222a b a a b b=+222a a b b =+6、平面向量数量积的运算律: 交换律成立:a b b a =对实数的结合律成立:(a b a b a b R =分配律成立:(a b c a c b c =(c a b = 特别注意:(1结合律不成立:(a b c a b c ;(2消去律不成立a b a c =不能得到b c =(3a b =0不能得到a =0或b =07、两个向量的数量积的坐标运算:已知两个向量1122(,(,a x y b x y =,则a b =1212x x y y + 8、向量的夹角:已知两个非零向量a 与b ,作OA =a , OB =b ,则AOB= (001800叫做向量a 与b 的夹角cos =cos ,a b a b a b=222221212121y x y x y y x x +当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时,=00,当且仅当a 与b 反方向时=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9、垂直:如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直,记作a b10、两个非零向量垂直的充要条件; a b a b =O 02121=+y y x x 平面向量数量积的性质例1、 判断下列各命题正确与否: (100a =;(200a =; (3若0,a a b a c =,则b c =;若a b a c =,则b c 当且仅当0a =时成立; (5(a b c a b c =对任意,a b c 向量都成立; (6对任意向量a ,有22a a =解:错; 对; 错; 错; 错;对例2、 已知两单位向量a 与b 的夹角为0120,若2,3c a b d b a =-=-,试求c 与d 的夹角解: 由题意,1a b =,且a 与b 的夹角为0120,所以,01cos1202a b a b =-,2c c c =(2(2a b a b -22447a a b b =-+=,7c =,同理可得13d =而c d =2217(2(37322a b b a a b b a -=-=-, 设为c 与d 的夹角, 则1829117137217cos -= 1829117arccos -=例3、 已知(4,3a =,(1,2b =-,m a b =-2n a b =+,按下列条件求实数的值(1m n ;(2/m n ;(3m n = 解:(4,32,m a b =-=+-(27,8n a b =+=(1m n (082374=-+952-=; (2/m n (072384=-+21-=;(3m n =(088458723422222=-+=-+51122=习题2.5平面向量应用举例一、选择题1.一物体受到相互垂直的两个力f 1、f 2的作用,两力大小都为53N ,则两个力的合力的大小为( A .103NB .0NC .56N D.562N 答案 C解析 根据向量加法的平行四边形法则,合力f 的大小为253=56(N. 2.河水的流速为2m/s ,一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( A .10m/sB .226m/sC .46m/sD .12m/s答案 B解析 设河水的流速为v 1,小船在静水中的速度为v 2,船的实际速度为v ,则|v 1|=2,|v |=10,v v 1.v 2=v -v 1,v v 1=0,|v 2|=v 2-2v v 1+v 21=100-0+4 =104=226.3.(2010山东日照一中已知向量a =(x 1,y 1,b =(x 2,y 2,若|a |=2,|b |=3,a b =-6,则x 1+y 1x 2+y 2的值为( A.23B .-23 C.56D .-56答案 B解析 因为|a |=2,|b |=3,又a b =|a |b |cos a ,b =23cos a ,b =-6,可得cos a ,b =-1.即a ,b 为共线向量且反向,又|a |=2,|b |=3,所以有3(x 1,y 1=-2(x 2,y 2x 1=-23x 2,y 1=-23y 2,所以x 1+y 1x 2+y 2=-23(x 2+y 2x 2+y 2=-23,从而选B. 4.已知一物体在共点力F 1=(lg2,lg2,F 2=(lg5,lg2的作用下产生位移S =(2lg5,1,则共点力对物体做的功W 为( A .lg2B .lg5C .1D .2答案 D解析 W =(F 1+F 2S =(lg2+lg5,2lg2(2lg5,1=(1,2lg2(2lg5,1=2lg5+2lg2=2,故选D.5.在ABC 所在的平面内有一点P ,满足P A +PB +PC =AB ,则PBC 与ABC 的面积之比是( A.13B.12C.23D.34 答案 C 解析 由P A +PB +PC =AB ,得P A +PB +BA +PC =0,即PC =2AP ,所以点P 是CA 边上的三等分点,如图所示.故SPBC S ABC=PC AC =23.6.点P 在平面上作匀速直线运动,速度v =(4,-3,设开始时点P 的坐标为(-10,10,则5秒后点P 的坐标为(速度单位:m/s ,长度单位:m( A .(-2,4B .(-30,25C .(10,-5D .(5,-10 答案 C解析 5秒后点P 的坐标为:(-10,10+5(4,-3=(10,-5.7.已知向量a ,e 满足:a e ,|e |=1,对任意t R ,恒有|a -t e |a -e |,则( A .a eB .a (a -e C .e (a -e D .(a +e (a -e 答案 C解析 由条件可知|a -t e |2|a -e |2对t R 恒成立,又|e |=1,t 2-2a e t +2a e -10对t R 恒成立,即=4(a e 2-8a e +40恒成立.(a e -120恒成立,而(a e -120,a e -1=0.即a e =1=e 2,e (a -e =0,即e (a -e .8.已知|OA |=1,|OB |=3,OA OB ,点C 在AOB 内,AOC =30,设OC=mOA +nOB ,则m n=( A.13B .3C .3 3 D.332答案 B解析 OC OA =m |OA |2+nOA OB=m , OC OB =mOA OB +n |OB|2=3n , m 3n =|OC |OA |cos30|OC |OB |cos60=1,m n =3. 二、填空题9.已知a =(1,2,b =(1,1,且a 与a +b 的夹角为锐角,则实数的取值范围是_.答案 -53且0解析 a 与a +b 均不是零向量,夹角为锐角,a (a +b 0,5+30,-53.当a 与a +b 同向时,a +b =m a (m 0,即(1+,2+=(m,2m . 1+=m 2+=2m ,得=0m =1, -53且0. 10.已知直线ax +by +c =0与圆O :x 2+y 2=4相交于A 、B 两点,且|AB |=23,则OA OB=_.答案 -2解析 |AB |=23,|OA |=|OB |=2,AOB =120.OA OB =|OA |OB |cos120=-2.三、解答题。11.已知ABC 是直角三角形,CA =CB ,D 是CB 的中点,E 是AB 上的一点,且AE =2EB .求证:AD CE .证明 以C 为原点,CA 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系.设AC =a ,则A (a,0,B (0,a ,D 0,a 2,C (0,0,E 13a ,23a . AD = -a ,a 2,CE = 13a ,23a . AD CE =-a 13a +a 223a =0,AD CE . 12.ABC 是等腰直角三角形,B =90,D 是BC 边的中点,BE AD ,垂足为E ,延长BE 交AC 于F ,连结DF ,求证:ADB =FDC .证明 如图,以B 为原点,BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设A (0,2,C (2,0,则D (1,0,AC=(2,-2 设AF=AC , 则BF=BA +AF =(0,2+(2,-2=(2,2-2, 又DA=(-1,2 由题设BF DA ,BF DA=0, -2+2(2-2=0,=23.BF = 43,23,DF =BF -BD = 13,23, 又DC=(1,0,cos ADB =DA DB |DA |DB |=55, cos FDC =DF DC |DF |DC|=55, 又ADB 、FDC (0,ADB =FDC .13.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (-1,-2,B (2,3,C (-2,-1(1求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2设实数t 满足(AB -tOC OC=0,求t 的值. 解析 (1由题设知AB=(3,5,AC =(-1,1,则AB +AC =(2,6,AB -AC =(4,4. 所以|AB+AC |=210,|AB -AC |=4 2. 故所求的两条对角线长分别为42和210.(2由题设知OC=(-2,-1,AB -tOC =(3+2t,5+t . 由(AB -tOC OC =0,得(3+2t,5+t (-2,-1=0,从而5t =-11,所以t =-115. 14.一条宽为3km 的河,水流速度为2km/h ,在河两岸有两个码头A 、B ,已知AB =3km ,船在水中最大航速为4km/h ,问该船从A 码头到B 码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B 码头?用时多少?解析 如图所示,设AC 为水流速度,AD 为航行速度,以AC 和AD 为邻边作ACED且当AE 与AB 重合时能最快到达彼岸.根据题意AC AE ,在Rt ADE 和ACED 中, |DE |=|AC |=2,|AD |=4,AED =90.|AE |=|AD|2-|DE |2=23, sin EAD =12,EAD =30,用时0.5h.答:船实际航行速度大小为4km/h ,与水流成120角时能最快到达B 码头,用时半小时.15.在ABCD 中,点M 是AB 的中点,点N 在BD 上,且BN =13BD ,求证:M ,N ,C 三点共线. 证明 MN=BN -BM . 因为BM =12BA ,BN =13BD =13(BA +BC , 所以MN =13BA +13BC -12BA , =13BC -16BA .由于MC =BC -BM =BC -12BA , 可知MC =3MN ,即MC MN. 又因为MC 、MN 有公共点M ,所以M 、N 、C 三点共线.16.如图所示,正方形ABCD 中,P 为对角线BD 上的一点,PECF 是矩形,用向量方法证明P A =EF . 分析 本题所给图形为正方形,故可考虑建立平面直角坐标系,用向量坐标来解决,为此只要写出P A 和EF的坐标,证明其模相等即可. 证明 建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为a ,则A (0,a .设|DP |=(0,则F 22,0,P 22,22,E a ,22, 所以EF = 22-a ,-22,P A = -22,a -22, 因为|EF |2=2-2a+a 2,|P A |2=2-2a+a 2,所以|EF |=|P A |,即P A =EF .17.如图所示,在ABC 中,AB =AC ,D 是BC 的中点,DE AC ,E 是垂足,F 是DE 的中点,求证AF BE . 证明 AB =AC ,且D 是BC 的中点,AD BC ,AD BD=0. 又DE AC ,DE AE=0. BD=DC ,F 是DE 的中点, EF =-12DE .AF BE =(AE +EF (BD+DE =AE BD +AE DE +EF BD +EF DE =AE BD +EF BD +EF DE =(AD +DE BD +EF BD +EF DE =AD BD +DE BD +EF BD +EF DE =DE DC -12DE DC -12DE DE =12DE DC -12DE DE =12DE (DC -DE =12DE EC =0. AF BE ,AF BE .平面向量的概念及其线性运算一、选择题1.若O 、E 、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( A .EF =OF +OEB .EF =OF -OEC .EF =-OF +OED .EF =-OF -OE2.在ABC 中,M 为边BC 上任意一点,N 为AM 中点, AN =AB +AC ,则+的值为( A.12B.13C.14 D .13.设P 是ABC 所在平面内的一点,BC +BA =2BP ,则( A .P 、A 、B 三点共线B .P 、A 、C 三点共线 C .P 、B 、C 三点共线D .以上均不正确4.已知点O ,N 在ABC 所在平面内,且|OA |=|OB |=|OC |,NA +NB +NC =0,则点O ,N 依次是ABC 的( A .重心 外心B .重心 内心C .外心 重心D .外心 内心5.如图,已知AB =a ,AC =b ,BD =3DC ,用a ,b 表示AD ,则AD =( A .a +34b B.14a +34b C.14a +14bD.34a +14b6.已知ABC 中,点D 是BC 的中点,过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点,若AB =AE (0,AC =AF (0,则1+4的最小值是( A .9B.72 C .5 D.92二、填空题7.设向量a ,b 满足|a|=25,b =(2,1,且a 与b 的方向相反,则a 的坐标为_.8.设a ,b 是两个不共线的非零向量,若8a +kb 与ka +2b 共线,则实数k =_.9.如图所示,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分、(不包括边界.若OP =a 1OP +b 2OP ,且点P 落在第部分,则实数a ,b 满足a_0,b_0(用“”,“10,23 p2:|a +b|1(23, p3:|a -b|10,3 p4:|a -b|1(3,其中的真命题是( A .p1,p4 B .p1,p3 C .p2,p3D .p2,p46.已知|a|=2|b|0,且关于x 的函数f(x=13x3+12|a|x2+abx 在R 上有极值,则a 与b 的夹角范围为( A .(0,6 B .(6, C .(3,D .(3,23二、填空题。7.已知两个单位向量e1,e2的夹角为3,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1b2=_.8.已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a +b 与向量ka -b 垂直,则k =_.9.已知|a|=|b|=2,(a +2b(a -b=-2,则a 与b 的夹角为_.三、解答题。10.已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量,其中a =(1,2. (1若|c|=25,且c a ,求c 的坐标;(2若|b|=52,且a +2b 与2a -b 垂直,求a 与b 的夹角.11.设a =(1+cos x,1+sin x,b =(1,0,c =(1,2. (1求证:(a -b(a -c;(2求|a|的最大值,并求此时x 的值.12.在ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c.若AB AC =CA CB =k(k R. (1判断ABC 的形状; (2若k =2,求b 的值. 答案 详解答案 一、选择题1.解析:由减法的三角形法则知EF =OF -OE .答案:B2.解析:M 为边BC 上任意一点,可设AM =x AB +y AC (x +y =1. N 为AM 中点,AN =12AM =12x AB +12y AC =AB +AC . +=12(x +y=12.答案:A3.解析:BC +BA =2BP ,BC -BP =BP -BA .即 PC =AP ,P 、A 、C 三点共线.答案:B4.解析:由|OA |=|OB |=|OC |知,O 为ABC 的外心;NA +NB +NC =0,知,N 为ABC 的重心.答案:C5. 解析:CB =AB -AC =a -b ,又BD =3DC ,CD =14CB =14(a -b,AD =AC +CD =b +14(a -b=14a +34b.答案:B6.解析:由题意得,AB +AC =2AD =AE +AF AD =2AE +2AF ,又D 、E 、F 在同一条直线上,可得2+2=1.所以1+4=(2+2(1+4=52+2+252+2=92,当且仅当2=时取等号. 答案:D 二、填空题7.解析:设a =(x ,y,x 0,y 0,b 三、解答题10. 解:DE BC ,AD =23 AB AE =23AC =23b ,BC =AC -AB =b -a.由ADE ABC ,得DE =23BC =23(b -a.又AM 是ABC 的中线,DE BC 得DN =12DE =13(b -a.又AM =12(AB +AC =12(a +b.ADN ABM AD =23 AB AN =23AM =13(a +b. 11.证明:OB =OA +OC AB =OB -OA =(-1 OA +OC CB =OB -OC =OA +(-1 OC 又A 、B 、C 三点共线AB =k CB 即-1=-1=k +=1.12.解:依题意,由OP =OA +a +b ,得OP -OA =(a +b,即AP =(AB +AC .如图,以AB ,AC 为邻边作平行四边形ABDC ,对角线交于O ,则AP =AD ,A 、P 、D 三点共线,即P 点的轨迹是AD 所在的直线,由图可知P 点轨迹必过ABC 边BC 的中点.详解答案一、选择题1.解析:依题意得a +b =(3,k +2.由a +b 与a 共线,得1(k +2-3k =0,由此解得k =1,ab =2+2k =4.答案:D2.解析:BE =BA +AD +DE =-a +b +12a =b -12a.答案:A3.解析:可得a +b =(1+,2,由(a +bc 得 (1+4-32=0,=12答案:B 4.解析:a b ,(1-cos (1+cos =12.即sin2=12,又为锐角,sin =22,=45.答案:B5.解析:AB =a +b ,AC =a +b ,且A 、B 、C 三点共线.存在实数m ,使AB =m AC ,即a +b =m(a +b=m 1=m,=1.答案:D6.解析:m n (3b -ccos A -acos C =0,再由正弦定理得3sin BcosA =sin Ccos A +cos Csin A 3sin Bcos A =sin(C +A=sin B ,即cos A =33.答案:C 二、填空题7.解析:AB =(a -2,-2,AC =(-2,b -2,依题意,有(a -2(b -2-4=0,即ab -2a -2b =0,所以1a +1b =12.答案:128.解析:如图所示,AP =AC +CP =-CA +23CN =-CA +2312(CA +CB=-CA +13CA +13CB =-23CA +13CB =-23a +13b.答案:-23a +1 3b 9.解析:由已知a +b =(1,m -1,c =(-1,2,由(a +bc 得12-(m -1(-1=m +1=0,所以m =-1.答案:-1 三、解答题10.解:a +b =(+2,2+3,又向量a +b 与向量c =(-4,-7共线,所以-7(+2-(-4(2+3=0,解得=2.11.解:BP =AP -AB =AP -a ,CP =AP -AC =AP -b ,又3AP +4BP +5CP =0,3AP +4(AP -a+5(AP -b=0,化简,得AP =13a +512b.设AD =t AP (t R,则AD =13ta +512tb.又设BD =k BC (k R,由BC =AC -AB =b -a ,得BD =k(b -a.而AD =AB +BD =a +BD ,AD =a +k(b -a=(1-ka +kb.由,得13t =1-k ,512t =k 解得t =43.代入,有AD =49a +59b.12.解:(1 OM =t1O