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第七辑 平面向量专题一,基本概念1,向量的概念:有大小有方向的量称为向量。2,向量的表示:几何表示为有向线段(如图);字母表示为或者。3,向量的大小:即是向量的长度(或称模),记作或者。4,零向量:长度为0的向量称为零向量,记为,零向量方向是任意的。5,单位向量:长度为一个单位的向量称为单位向量,一般用、来表示。,6,平行向量(也称共线向量):方向相同或相反的向量称为平行向量,规定零向量与任意向量平行。若平行于,则表示为。7,相等向量:方向相同,大小相等的向量称为相等向量。若与相等,记为=8,相反向量:大小相等,方向相反的向量称为相反向量。若与是相反向量,则表示为=;向量二,几何运算1,向量加法:(1)平行四边形法则(起点相同),可理解为力的合成,如图所示:(2)三角形法则(首尾相接),可理解为:位移的合成,如图所示, (3)两个向量和仍是一个向量;(4)向量加法满足交换律、结合律:,(5)加法几种情况(加法不等式): 2,减法:(1)两向量起点相同,方向是从减数指向被减数,如图 (2)两向量差依旧是一个向量;(3)减法本质是加法的逆运算:3,加法、减法联系:(1)加法和减法分别是平行四边行两条对角线,(2)若有,则四边形为矩形4,实数与向量的积:(1)实数与向量的积依然是个向量,记作,它的长度与方向判断如下:当时,与方向相同;当时,与方向相反;当时,;当时,;(2)实数与向量相乘满足: 5,向量共线:(1)向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个实数,使得(2)如图,平面内三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数,使得,且,反之也成立。(3),则(证明略)6,向量的数量积(1)数量积公式:(2)向量夹角:同起点两向量所夹的角,范围是(3)零向量与任一向量的数量积为0,即(4)数量积与夹角关系: (5)投影:称为在的方向上的投影;成为在的方向上的投影(6)重要结论:直角三角形中,(7)向量数量积的运算律: (向量为与方向相同的单位向量) 三,坐标运算1,平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使得,我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。(证明略)2,坐标定义:如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量,作为基底。任作一个向量,由向量的基本定理可知,有且只有一对实数,使得:,我们把叫做向量的(直角)坐标,记作,其中、分别为向量的横纵坐标。这个式子叫做向量的坐标表示。3,如图,已知点,由向量的坐标定义可知,由此可知,一个向量的坐标表示等于此向量的终点坐标减去起点坐标,即,4,向量的加减乘坐标运算:已知,(1)加、减、乘: (2)实数与向量乘积的坐标运算:(3)向量模(大小)的坐标形式:(4)夹角余弦值5,向量间关系的坐标形式,已知,(1)的
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