2016年新课标Ⅲ高考数学理科试题含答案(Word版)

绝密启用前 试题类型： 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页 . 生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置 . 在本试题上无效 . 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回 . 第卷 一 . 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . （ 1）设集合 ( x 2 ) ( x 3 ) 0 , T 0S x x x ，则 =（ ） (A) 2， 3 (B)（ - ， 2U 3,+ ） (C) 3,+ ） (D)（ 0， 2U 3,+ ） （ 2）若 z=1+2i，则 41（ ） (A)1 (B) (C) i (D) 3）已知向量 13( , )22BA, 31( , ),22则 ） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （ 4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中 各 月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 150C， B 点表示四月的平均最低气温约为 50C。下面叙述不正确的是 （ ） (A) 各月的平均最低气温都在 00C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月 的平均最高气温基本相同 (D) 平均 最高 气温高于 200C 的月份有 5 个 （ 5）若 3，则 2c o s 2 s i n 2 （ ） (A)6425(B) 4825(C) 1 (D)1625（ 6）已知 432a ， 254b ， 1325c ，则 （ ） （ A） （ B） （ C） b c a （ D） c a b （ 7）执行 下 图的程序框图，如果输入的 a=4， b=6，那么输出的 n=（ ） （ A） 3 （ B） 4 （ C） 5 （ D） 6 （ 8）在 中， 4B=， 上的高等于 13 （ ） （ A） 31010（ B） 1010（ C） 1010-（ D） 3 1010-(9)如图，网格纸上小正方形的 边长 为 1，粗实 线 画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 （ ） （ A） 18 36 5 （ B） 54 18 5 （ C） 90 （ D） 81 (10) 在封闭的直三棱柱 有一个体积为 V 的球，若 ， ， ，则 V 的最大值是 （ ） （ A） 4 （ B） 92（ C） 6 （ D） 323（ 11）已知 O 为坐标原点 ， F 是椭圆 C： 22 1 ( 0 )xy 的左焦点 ， A， B 分别为 C 的左 ， 右顶点 上一点，且 x 轴 的直线 l 与线段 于点 M，与 y 轴交于点 M 经过 中点，则 C 的离心率为 （ ） （ A） 13 （ B） 12 （ C） 23 （ D） 34（ 12）定义 “规范 01 数列 ”下： 有 2m 项，其中 m 项为 0， m 项为 1，且对任意 2，12, , , ka a 的个数不少于 1 的个数 .若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有 （ ） （ A） 18 个 （ B） 16 个 （ C） 14 个 （ D） 12 个 第 本卷包括必考题和选考题两部分 13)题 第 (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答 22)题 第 (24)题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题：本 题共 4 小题，每小题 5 分 （ 13）若 x， y 满足约束条件 10202 2 0 则 z=x+y 的最大值为 _. （ 14）函数 的图像可由函数 的图像至少向右平移 _个单位长度得到。 （ 15）已知 f(x)为偶函数，当 时， ，则曲线 y=f(x)，在 点 （ 1， 的切线方程是_。 （ 16）已知直线 与圆 交于 A， B 两点，过 A， B 分别 作 l 的垂线与 x 轴交于 C， D 两点，若 ，则 _. 三 答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 . （ 17）（本小题满分 12 分） 已知数列 的前 n 项和 1，其中 0. （ I）证明 是等比数列，并求其通项公式 （ 5 3132S ，求 （ 18）（本小题满分 12 分） 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （ I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明 ; （ 立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量。 参考数据： ， 714 0 ， 7 21( ) 0 . 5 5 ， 7 参考公式：相关系数 12211( ) ( )( ) ( y y )t y ， 回归方程 y a b 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 121( ) ( )()t y ，a y （ 19）（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 ， 底 面 D=， C=4， M 为线段 一点，N 为 中点 . （ I）证明 平面 （ 直线 平面 成角的正弦值 . （ 20）（本小题满分 12 分） 已知抛物线 C： 2 2 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线12, 于 A， B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点 . （ I）若 F 在线段 ， R 是 中点，证明 （ 面积是 面积的两倍，求 点的轨迹方程 . （ 21）（本小题满分 12 分） 设函数 c o s 2 1 c o s + 1f x x x ，其中 0，记 的最大值为 A. （）求 f （ x）； （）求 A； （）证明 2A. 请考生在 22、 23、 24题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分 10 分）选修 4何证明选讲 如图， O 中 中点为 P，弦 别交 E， F 两点 . （ I）若 大小； （ 垂直平分线与 垂直平分线交于点 G，证明 23.（本小题满分 10 分）选修 4标系与参数方程 在直角坐标系 ，曲线1 c o s ()s i 为 参 数，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2s ) 2 24. （ I）写出1 方程； （ 点 P 在1 Q 在2 |最小值及此时 P 的直角坐标 . 24.（本小题满分 10 分）选修 4等式选讲 已知函数 ( ) | 2 |f x x a a （ I）当 a=2 时，求不等式 ( ) 6的解集； （ 函数 ( ) | 2 1 |,g x x当 xR 时， f（ x） +g（ x） 3，求 a 的取值范围 . 绝密启用前 试题类型：新课标 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学正式答案 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1） D （ 2） C （ 3） A （ 4） D （ 5） A （ 6） A （ 7） B （ 8） C （ 9） B （ 10） B （ 11） A （ 12） C 第 本卷包括必考题和选考题两部分。第（ 13）题 第（ 21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（ 22）题 第（ 24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 （ 13） 32（ 14）3（ 15） 21 （ 16） 4 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 17）（本小题满分 12 分） 解：（）由题意得 111 1 ，故 1 ， 1 11a， 01a . 由nn 1，11 1 nn 得 11，即nn )1(1a ， 0 得 0以11 因此 11，公比为1的等比数列，于是 1)1(1 1 （）由（）得 1(1 ，由32315 (1 5 ，即 5)1( 321， 解得 1 （ 18）（本小题满分 12 分） 解：（）由折线图 中 数据和附注中参考数据得 4t ， 28)(712 i 712 i 7 7 71 1 1( ) ( ) 4 0 . 1 7 4 9 . 3 2 2 . 8 9i i i i ii i it t y y t y t y ， r . 因为 y 与 t 的相关系数近似为 明 y 与 t 的线性相关 程度 相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与t 的关系 . （）由 ）得 1 0 )(71271 所以， y 关于 t 的回归方程为： . 将 2016 年对应的 9t 代入回归方程得： y . 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 吨 . （ 19）（本小题满分 12 分） 解： （）由已知得 232 中点 T ，连接 ，由 N 为 点知 ，221 又 ，故 四边形 平行四边形，于是 . 因为 面 面 所以 /面 （）取 中点 E ，连结 由 得 ，从而 ，且5)2( 2222 以 A 为坐标原点， 方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，由题意知， )4,0,0(P ， )0,2,0(M ， )0,2,5(C ， )2,1,25(N ， ( 0 , 2 , 4 )， )2,1,25( )2,1,25( 设 ( , , )n x y z 为平面 法向量，则00即0225042可取)1,2,0(n ， 于是2558|,c （ 20）解： 由题设 )0,21(F.设 :,: 21 ，则 0且 22 1 1 1( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )2 2 2 2 2 2a b a bA a B b P a Q b R . 记过 两点的直线为 l ，则 l 的方程为 0)(2 . （）由于 F 在线段 ，故 01 记 斜率为 1k ， 斜率为 2k ，则 2221 11 . 所以 . . （）设 l 与 x 轴的交点为 )0,( 1 则2,2121211 F. 由题设可得221211 ，所以 01x （舍去）， 11x . 设满足条件的 中点为 ),( 当 x 轴不垂直时，由 可得 )1(12 xx 而 2，所以 )1(12 当 x 轴垂直时， E 与 D 重合 求轨迹方程为 12 . （ 21）（本小题满分 12 分） 解：（ ） ( ) 2 s i n 2 ( 1 ) s i nf x x x （）当 1 时， | ( ) | | s i n 2 ( 1 ) ( c o s 1 ) |f x x x 2( 1) 32(0)f 因此， 32A 4 分 当 01时，将 ()( ) 2 c o s ( 1 ) c o s 1f x x x 令 2( ) 2 ( 1 ) 1g t t t ，则 A 是 | ()| 1,1 上的最大值， ( 1)g ， (1) 3 2g ，且当 14t 时， ()得极小值，极小值为 221 ( 1 ) 6 1( ) 14 8 8g 令 1114 ，解得 13（舍去）， 15 （）当 105时， () ( 1,1) 内无极值点， | ( 1) |g ， | (1) | 2 3g ， | ( 1) | | (1) | ，所以 23A （）当 1 15 时，由 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 0 ，知 1( 1 ) (1 ) ( )4g g g 又 1 ( 1 ) ( 1 7 )| ( ) | | ( 1 ) | 048 ，所以 21 6 1| ( ) |48 综上，212 3 , 056 1 1,1853 2 , 1A 9 分 （）由（）得 | ( ) | | 2 s i n 2 ( 1 ) s i n | 2 | 1 |f x x x . 当 105时， | ( ) | 1 2 4 2 ( 2 3 ) 2f x A . 当 1 15 时， 13 18 8 4A ，所以 | ( ) | 1 2f x A . 当 1 时， | ( ) | 3 1 6 4 2f x A ，所以 | ( ) | 2f x A . 请考生在 22、 23、 24题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.（本小题满分 10 分）选修 4何证明选讲 解：（） 连结 ，则 B C D ,. 因为 P ，所以 ，又 ，所以 . 又 1 8 0 , 2P F B B F D P F B P C D ，所以 1803 因此 60 （）因为 ，所以 180 E F D ，由此知 , 四点共圆，其圆心既在 在 垂直平分线上，故 G 就是过 , 四点的圆的圆心，所以 G 在 垂直平分线上， 又 O 也在 垂直平分线上， 因此 . 23.（本小题满分 10 分）选修 4标系与参数方程 解：（）1 2 13x y，20 . 5 分 （ ）由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3 c o s , s i n )，因为2以 |最小值， 即为 P 到2)d 的最小值， | 3 c o s s i n 4 |( ) 2 | s i n ( ) 2 |32d . 8 分 当 且 仅 当 2 ( )6k k Z 时， ()d 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为 2 ， 此 时 P 的 直 角 坐 标 为31( , )22 . 10 分 24.（本小题满分