2020届重庆南开中学高三第三次教学质量检测考试数学（文）试题（解析版）

2020届重庆南开中学高三第三次教学质量检测考试数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】化简集合A，进而求补集即可.【详解】，又，故选：C【点睛】本题考查补集的概念及运算，考查计算能力，属于基础题.2已知复数为纯虚数，则实数（ ）A4B3C2D1【答案】C【解析】根据复数的除法运算，化简得到，再由题意，即可得出结果.【详解】因为为纯虚数，所以，因此.故选C【点睛】本题主要考查由复数的类型求参数，熟记复数的除法运算即可，属于基础题型.3已知两条直线与垂直，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意知，斜率都存在，因此利用斜率之积等于即可求得的值.【详解】由题意知两条斜率分别为，又两条直线与垂直，即.故选：.【点睛】本题考查两直线垂直的性质，利用斜率都存在的两条直线垂直，斜率之积等于，是基础题.4已知，且，则实数（ ）A-1B1C3D2【答案】A【解析】利用即可得到结果.【详解】，又，故选：A【点睛】本题考查函数的对称性，考查转化能力，属于常考题型.5“”是直线不过第二象限的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分性与必要性的定义即可作出判断.【详解】直线可化为：，直线过定点，如图所示：“”是直线不过第二象限的充要条件，故选：A【点睛】本题考查充分性与必要性，考查数形结合思想，属于基础题.6正方体，分别为,中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【解析】首先找到异面直线的夹角的平面角，然后利用勾股定理及余弦定理求出相应的值【详解】正方体，分别为,中点，取的中点为，连接、，易知：，为异面直线与所成角，设，则，cosFD1N异面直线与所成角的余弦值为，故选D【点睛】本题考查的知识点：异面直线的夹角，勾股定理的应用，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题7明代数学家程大位在算法统宗中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将996斤绵分给八个人，从第二个人开始，每个人分得的绵都比前一个人多17斤，则第八个人分得绵的斤数为（ ）A150B167C184D201【答案】C【解析】设第一个孩子分配到a1斤锦，利用等差数列前n项和公式得：7996，从而得到a165，由此能求出第八个孩子分得斤数【详解】解：设第一个孩子分配到a1斤锦，则由题意得：7996，解得a165，第八个孩子分得斤数为a865+717184故选：C【点睛】本题考查等差数列的第八项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用8设实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）ABCD【答案】C【解析】利用反例法与指数函数的图象与性质即可作出判断.【详解】根据题意可设对于A，不成立；对于B，不成立；对于D，不成立；而对于C，成立，故选：C【点睛】本题考查不等式的性质和运用，考查反例法和指数函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于基础题9若直线与相切，则实数（ ）A2BCD【答案】B【解析】设切点为：求出在此点处的切线方程，对比，即可得到结果.【详解】设切点为： ，在此点处的切线方程为： ，即 ，解得，故选：B【点睛】本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是正确理解导数的几何意义10已知点是区域内任意一点，且仅在处取得最大值，则的范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值【详解】解：画出可行域如图所示，其中A（，），B（3，1），C（1，3），若目标函数zax+y仅在点（，）取得最大值，由图知，直线zax+y的斜率小于直线x+y4的斜率， 即a1，解得a（1，+）故选：B【点睛】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想11抛物线与过点的直线交于，若存在横坐标为2的点满足，则的最大值为（ ）A2B3CD【答案】D【解析】设直线的方程为：，代入抛物线方程可得：，又有可得，从而可得：，方程有解可得结果.【详解】设直线的方程为：，代入抛物线方程可得：，设A（，）、B（，）， 由可得：，联立方程： ，可得，又，此时 即， ，即 ，的最大值为，故选：D【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查转化能力与计算能力，属于中档题.12由排成的数表如下：数表中每一行均构成等差数列，各行的首项构成公比为2的等比数列；且第行的末项恰为前行的首项的和（例如）.若有，则的前项和为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意知：，从而得到，即，由，得，即可得到的前项和.【详解】由题意知：，第行：，即，又，又， 数表：24，68，10，12，14 ，所以数列的前项和为：，故选：.【点睛】本题主要考查的是等差数列和等比数列的综合的应用，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律，是中档题.二、填空题13数列满足满足，则_.【答案】【解析】利用累加法及裂项相消法，即可得到结果.【详解】 故答案为：【点睛】本题考查通项公式的求法，涉及累加法、裂项相消法，考查学生转化能力与计算能力，属于常考题型.14已知正实数，满足，则的最小值为_.【答案】8【解析】利用，即可得到的取值范围.【详解】正实数，满足，当且仅当时，等号成立，即，的最小值为8，故答案为：8【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，考查变形能力与计算能力，属于常考题型.15已知函数在处取得最大值，则_.【答案】【解析】由题意可得，代入即可得到结果【详解】函数在处取得最大值，即，故答案为：【点睛】本题考查三角函数的性质与三角恒等变换，考查学生的运算能力，属于基础题16已知非零平面向量，满足，且，则的最大值为_.【答案】1【解析】建立平面直角坐标系，根据题意可设：，可得，而，利用均值不等式即可得到结果【详解】建立平面直角坐标系，根据题意可设：， ，而，即的最大值为1，故答案为：1【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查数量积的坐标运算，均值不等式，考查转化能力与计算能力，属于中档题三、解答题17已知的内角，所对的边分别为，且，且.（1）求；（2）若，求的面积【答案】（1）或（2）【解析】（1）由题意可得，结合正弦定理可得，从而得到结果；（2）由于，所以，结合余弦定理可得，利用面积公式可得答案【详解】（1）因为，则从而，（2）由于，所以，又余弦定理：，解得，所以面积为【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，由三角函数值班求角，正余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合运用18已知公差不为0的等差数列的前项和为，成等比数列，且.（1）求；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意列出基本量的方程组，即可得到通项公式；（2）利用可得，结合错位相减法可得结果【详解】（1）解得，而，所以，（2）由于，则.相减得，又有，从而.则，相减得：得【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查采用错位相减法求数列的前n项和，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用，属于中档题19某工厂生产一批零件，为了解这批零件的质量状况，检验员从这批产品中随机抽取了100件作为样本进行检测，将它们的重量（单位：g）作为质量指标值由检测结果得到如下频率分布直方图分组频数频率8160.1640.04合计1001（1）求图中的值；（2）根据质量标准规定：零件重量小于47或大于53为不合格品，重量在区间和内为合格品，重量在区间内为优质品已知每件产品的检测费用为5元，每件不合格品的回收处理费用为20元以抽检样本重量的频率分布作为该零件重量的概率分布若这批零件共件，现有两种销售方案：方案一：不再检测其他零件，整批零件除对已检测到的不合格品进行回收处理，其余零件均按150元/件售出；方案二：继续对剩余零件的重量进行逐一检测，回收处理所有不合格品，合格品按150元/件售出，优质品按200元/件售出仅从获得利润大的角度考虑，该生产商应选择哪种方案？请说明理由【答案】（1）；（2）当时，选方案一；当时，选方案二【解析】（1）根据题中数据，得到，根据频率之和为，进而可求出结果；（2）根据题中条件，得到两种方案下的总收入，比较两收入的大小，即可得出结果.【详解】（1）根据题中数据可得：，又频率之和为，则；（2）该工厂若选方案一：可收入元；若选方案二：一件产品的平均收入为元，故总收入元；，故当时，选方案一；当时，选方案二【点睛】本题主要考查补全频率分布直方图，以及由频率分布直方图解决实际问题，熟记频率的性质即可，属于常考题型.20已知离心率为的椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上异于长轴顶点的动点.当轴时，面积为.（1）求椭圆的方程；（2）的内角平分线交轴于，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用已知条件，求出椭圆的几何量，然后求解椭圆C的方程；（2）设，则直线：；：,利用点到直线的距离，建立等量关系，从而得到，表示目标即可.【详解】（1），解得，所以方程为.（2）设，则直线：；：设，由于是角平分线，从而，由于，则.化简得；则.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力21已知函数.（1）讨论函数的极值点；（2）若极大值大于1，求的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】（1）求出导函数，分类讨论明确函数的单调性，从而得到函数的极值点；（2）由（1），和时，无极大值，不成立；当时，当时分别利用极大值大于1，建立不等关系即可.【详解】（1）时，在单减，单增，极小值点为；时，在单增，单减，单增，极小值点为，极大值点为；时，在单增，无极值点；时，在单增，单减，单增，极小值点为，极大值点为.（2）由（1），和时，无极大值，不成立当时，极大值，解得，由于，所以.当时，极大值，得，令，则，在取得极大值，且.而，,而在单增，所以解为，则.综上.【点睛】本小题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性22在极坐标系中，圆的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，过圆的圆心作倾斜角的直线.（1）写出圆的普通方程和直线的参数方程；（2）直线分别与，轴交于，求最大值和面积的最小值.【答案】（1）圆的普通方程为，圆心为，（为参数）（2）无最大值，面积最小为【解析】（1）由题意圆的普通方程和直线的参数方程；（2）分别令，得，表示与面积，借助三角知识与重要不等式即可得到结果.【详解】（1）圆的普通方程为，圆心为直线的参数方程为（2）分别令，得，当最小时取最大，由于，.所以，无最大值.时，时，则面积为，时取等号.【点睛】本题考查圆的普通方程，直线的参数方程的