反三角函数求导公式证明

精品文档 1欢迎下载 2 3 2 3 反函数的导数 复合函数的求导法则反函数的导数 复合函数的求导法则 一 反函数的导数一 反函数的导数 设 yx 是直接函数 xfy 是它的反函数 假定 yx 在 Iy 内单调 可导 而且 0 y 则反函数 xfy 在间 yx IyyxxI 内也是单调 可导的 而且 1 y xf 1 证明 证明 xIx 给x以增量 x 0 x Ixxx 由 xfy 在 Ix 上的单调性可知 0 xfxxfy 于是 y x x y 1 因直接函数 yx 在 Iy 上单调 可导 故它是连续的 且反函数 xfy 在Ix上也是连续的 当 0 x 时 必有 0 y 11 limlim 00 y y x x y yx 即 1 y xf 例 1 试证明下列基本导数公式 arcsin log ln 1 1 1 2 1 1 3 1 2 2 x x arctgx x a xa x 证证 1 1 设 yxsin 为直接函数 xyarcsin 是它的反函数 函数 yxsin 在 2 2 y I 上单调 可导 且 xycos0 因此 在 1 1 x I 上 有 y x cos 1 arcsin 注意到 当 2 2 y 时 0cos y 22 1sin1cosxyy 因此 2 1 1 arcsin x x 证证 2 2 设x tgy 2 2 y I 则 yarctgx Ix tgyx 在 Iy 上单调 可导且 0 cos 1 2 y x 故 22 2 1 1 1 1 cos 1 xytg y tgy arctgx 证证 3 3 axaaa a yy x ln 1 ln 1 1 log 精品文档 2欢迎下载 类似地 我们可以证明下列导数公式 arccos ln x x arcctgx x x x 1 1 1 1 1 2 2 二 复合函数的求导法则二 复合函数的求导法则 如果 xu 在点x0可导 而 ufy 在点 00 xu 可导 则复合函数 xfy 在点x0可导 且导数为 00 0 xuf dx dy xx 证明 证明 因 lim 0 0 uf x y u 由极限与无穷小的关系 有 0 0 0 时当 uuuufy 用 0 x 去除上式两边得 x u x u uf x y 0 由 xu 在x0的可导性有 00 ux 0limlim 00 ux limlim 0 00 x u x u uf x y xx x u x u uf xxx 000 0 limlimlim 00 xuf 即 00 0 xuf dx dy xx 上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述 若u x 在开区间Ix 可导 yf u 在开区间Iu 可导 且 xIx 时 对应的 u Iu 则复合函数 xfy 在Ix内可导 且 dx du du dy dx dy 2 复合函数求导法则是一个非常重要的法则 特给出如下注记 复合函数求导法则是一个非常重要的法则 特给出如下注记 弄懂了锁链规则的实质之后 不难给出复合更多层函数的求导公式 例 2 xfy 求 dy dx 引入中间变量 设 v x u v 于是yf u 变量关系是 y uvx 由锁链规则有 精品文档 3欢迎下载 dy dx dy du du dv dv dx 2 用锁链规则求导的关键用锁链规则求导的关键 引入中间变量 将复合函数分解成基本初等函数 还应注意还应注意 求导完成后 应将引入的中间变量代换成原自变量 例 3 求y x sin2 的导数 dy dx 解 设 ux 2 则y u sin ux 2 由锁链规则有 dy dx dy du du dx uxux sin cos cos2222 例 4 设 ytg x ln 2 求 dy dx 由锁链规则有dx dv dv du du dy dx dy 2 1 cos 11 2 vu 基本初等函数求导 2 1 2 cos 1 2 1 2 xx tg 消中间变量 xsin 1 由上例 不难发现复合函数求导窍门窍门 中间变量在求导过程中 只是起过渡作用 熟练之后 可不必引入 仅需 心中有链心中有链 然后 对函数所有中间变量求导 直至求到自变量为止 最后诸导数相乘 请看下面的演示过程 2 2 cos 1 2 1 2 2 1 2 ln 2 x xx tg x tg x tg x tg dx dy x xx tg x xx tg sin 1 2 2 cos 2 1 2 1 2 cos 1 2 1 22 例 5 证明幂函数的导数公式 1 xx 为实数 证明 设 yxe x ln 1