2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法练习 新人教A版选修2-2

1 2 32 3 数学归纳法数学归纳法 基础练习 1 2017 年福建泉州模拟 用数学归纳法证明n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 n n n 时 若记f n n n 1 n 2 3n 2 则f k 1 f k 等于 a 3k 1 b 3k 1 c 8k d 9k 答案 c 解析 因为f k k k 1 k 2 3k 2 f k 1 k 1 k 2 3k 2 3k 1 3k 3k 1 则f k 1 f k 3k 1 3k 3k 1 k 8k 故 选 c 2 2017 年浙江金华期中 用数学归纳法证明 1 n n n n 且n 1 1 2 1 3 1 2n 1 时 第一步即证下列哪个不等式成立 a 1 2 b 1 2 1 2 c 1 2 d 1 2 1 2 1 3 1 3 答案 c 3 2017 年福建厦门期末 用数学归纳法证明 当n为正奇数时 xn yn能被x y 整除 的第二步是 a 假使n 2k 1 时正确 再推n 2k 3 正确 b 假使n 2k 1 时正确 再推n 2k 1 正确 c 假使n k时正确 再推n k 1 正确 d 假使n k k 1 再推n k 2 时正确 以上k n n 答案 b 4 设平面内有k条直线 其中任何两条不平行 任何三条不共点 设k条直线的交点个数 为f k 则f k 1 与f k 的关系是 a f k 1 f k k 1 b f k 1 f k k 1 c f k 1 f k k d f k 1 f k k 2 答案 c 解析 当n k 1 时 任取其中 1 条直线记为l 则除l外的其他k条直线的交点的个数 2 为f k 因为已知任何两条直线不平行 所以直线l必与平面内其他k条直线都相交 有k 个交点 又因为任何三条直线不过同一点 所以上面的k个交点两两不相同 且与平面内 其他的f k 个交点也两两不相同 从而n k 1 时交点的个数是f k k f k 1 5 用数学归纳法证明 n a b是非负实数 n n n 时 假设n k命题成 an bn 2 a b 2 立 即 k 然后证明n k 1 命题也成立即需证 ak bk 2 a b 2 答案 k 1 ak 1 bk 1 2 a b 2 6 用数学归纳法证明 1 2 22 2n 1 2n 1 n n n 的过程如下 1 当n 1 时 左边 1 右边 21 1 1 等式成立 2 假设当n k k n n 且k 1 时等式成立 即 1 2 22 2k 1 2k 1 则当 n k 1 时 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 1 所以当n k 1 时等式也成 1 2k 1 1 2 立 由此可知对于任何n n n 等式都成立 上述证明的错误是 答案 未用归纳假设 7 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n n n 时 从 n k 到 n k 1 左边需增乘的代数式是 答案 4k 2 解析 n k 时 左边是 k 1 k 2 k k n k 1 时 左边是 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 所以需增乘的代数式是 4k 2 2k 1 2k 2 k 1 8 已知 1 1 1 3 4 1 3 5 9 1 3 5 7 16 1 猜想 1 3 5 2n 1 2 用数学归纳法证明 1 中的猜想 解析 1 1 3 5 2n 1 n2 2 证明 当n 1 时 左边 1 右边 1 左边 右边 假设n k时等式成立 即 1 3 5 2k 1 k2 当n k 1 时 等式左边 1 3 5 2k 1 2k 1 k2 2k 1 k 1 2 综上 可知 1 3 5 2n 1 n2对于任意的正整数成立 能力提升 9 2017 年湖北宜昌月考 用数学归纳法证明 n3 n 1 3 n 2 3 n n n 能被 9 整 除 要利用归纳假设证n k 1 的情况 只需展开 3 a k 3 3 b k 2 3 c k 1 3 d k 1 3 k 2 3 答案 a 解析 当n k时 k3 k 1 3 k 2 3能被 9 整除 当n k 1 时 左边式子为 k 1 3 k 2 3 k 3 3 k n n 显然只需展开 k 3 3 10 2017 年山东菏泽期中 用数学归纳法证明不等式 n 2 的过程中 由n k到n k 1 时 不等式的左 1 n 1 1 n 2 1 n 3 1 2n 13 24 边 a 增加了一项 1 2 k 1 b 增加了两项 1 2k 1 1 2 k 1 c 增加了两项 又减少了一项 1 2k 1 1 2 k 1 1 k 1 d 增加了一项 又减少了一项 1 2 k 1 1 k 1 答案 c 解析 当n k时 左边为 当n k 1 时 左边为 1 k 1 1 k 2 1 k 3 1 2k 则增加了两项 减少了 1 k 2 1 k 3 1 k 4 1 2k 1 2k 1 1 2 k 1 1 2k 1 1 2 k 1 一项 故选 c 1 k 1 11 已知f n 1 用数学归纳法证明f 2n 时 f 2k 1 f 2k 1 2 1 3 1 n n 2 答案 1 2k 1 1 2k 2 1 2k 1 解析 当n k时 f 2k 1 f 2k 1 1 2 1 3 1 2k 1 所以f 2k 1 f 2k 1 2 1 3 1 2k 1 2k 1 1 2k 1 1 2k 1 1 2k 2 1 2k 1 12 2018 年江苏南通模拟 各项都为正数的数列 an 满足a1 1 a a 2 2n 12n 1 求数列 an 的通项公式 2 求证 对一切n n n 恒成立 1 a1 1 a2 1 an2n 1 解 1 a a 2 数列 a 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 2n 12n2n 4 a 1 n 1 2 2n 1 2n 又an 0 an 2n 1 2 证明 由 1 知即证 1 1 3 1 2n 12n 1 当n 1 时 左边 1 右边 1 不等式成立 当n 2 时 左边 右边 不等式成立 假设当n k k 2 k n n 时不等式成立 即 1 1 3