【中考十年】江苏省无锡市2003-2012年中考数学试题分类解析汇编专题9 四边形

用心 爱心 专心1 2003 20122003 2012 年江苏省无锡市中考数学试题分类解析汇编年江苏省无锡市中考数学试题分类解析汇编 专题专题 9 9 四边形 四边形 1 选择题 1 江苏省无锡市 2008 年 3 分 如图 E F G H 分别为正方形 ABCD 的边 AB BC CD DA 上的点 且 AE BF CG DH 1 3 AB 则图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2 5 4 9 1 2 3 5 答案 A 考点 正方形的性质 全等三角形的判定和性质 勾股定理 分析 先根据正方形的对称性得到阴影部分是正方形 设正方形的边长为 3a 利用勾股定理求出 CH DM HM 的长 即可得到 MN 的长 也就是阴影部分的 边长 面积也就求出了 再求比值即可 设 CH 与 DE BG 分别相交于点 M N 正方形的边长为 3a DH CG a 由正方形的中心对称性知 阴影部分为正方形 且 ADE DCH 从而可得 DM CH 在 Rt CDH 中 由勾股定理得 CH 10a 由面积公式得 11 CH DM DH CD 22 得 DM 3 10 a 10 在 Rt DMH 中由勾股定理得 MH 10 a 10 则 MN CH MH CN 10a 3 10 a 10 103 10 a a 105 用心 爱心 专心2 阴影部分的面积 正方形 ABCD 的面积 2 2 2 3 10902 a3a 9a 5255 故选 A 2 江苏省无锡市 2011 年 3 分 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 A 对角线互相垂直 B 对角线相等 C 对角线互相平分 D 对角互补 答案 A 考点 菱形和矩形的性质 分析 区分菱形和矩形的性质 直接得出结果 A 对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的 性质 选项正确 B 对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质 选项错误 C 对角线互相平分 是矩形和菱形都具有的性质 选项错误 D 对角互补是矩形具有而菱形不一定具有的性质 选项错误 故选 A 3 2012 江苏无锡 3 分 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AD 3 AB 5 BC 9 CD 的垂直平分线交 BC 于 E 连接 DE 则四边形 ABED 的周长等于 A 17B 18C 19D 20 答案 A 考点 梯形和线段垂直平分线的性质 分析 由 CD 的垂直平分线交 BC 于 E 根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质 即可得 DE CE 即可由已知 AD 3 AB 5 BC 9 求得四边形 ABED 的周长为 AB BC AD 5 9 3 17 故选 A 二 填空题 1 江苏省无锡市 2004 年 3 分 已知梯形的中位线长为 6 高为 4 则此梯形的面积为 2 答案 24 考点 梯形中位线定理 分析 根据梯形的中位线定理及梯形的面积公式即可求得其面积 用心 爱心 专心3 梯形的中位线长为 1 2 上底 下底 6cm 梯形的面积为 1 2 上底 下底 4 6 4 24cm2 2 江苏省无锡市 2004 年 3 分 如图 AABCD 中 AE CF 分别是 BAD 和 BCD 的角平分线 根据现 有的图形 请添加一个条件 使四边形 AECF 为菱形 则添加的一个条件可以是 只需写出一个 即可 图中不能再添加别的 点 和 线 答案 AC EF 答案不唯一 考点 平行四边形的性质 菱形的判定 分析 菱形的判定方法有三种 定义 一组邻边相等的平行四边形是菱形 四边相等 对角线 互相垂直平分的四边形是菱形 因此 根据平行四边形的判定可得四边形 AECF 是平行四边形 由平行四边形的性质知 对角线互相平 分 又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 可得 当 AC EF 时 四边形 AECF 是菱形 则添加的一 个条件可以是 AC EF 3 江苏省无锡市 2005 年 2 分 若梯形的面积为 6 2 高为 2 则此梯形地中位线长为 答案 3 考点 梯形中位线定理 分析 根据题意可求得其两底和 从而根据中位线定理不难求得其中位线的长 梯形的面积为 6 2 高为 2 梯形的中位线 梯形的两底和的一半 面积 高 3cm 4 江苏省无锡市 2007 年 2 分 如图 1 是一种带有黑白双色 边长是20cm的正方形装饰瓷砖 用这 样的四块瓷砖可以拼成如图 2 的图案 已知制作图 1 这样的瓷砖 其黑 白两部分所用材料的成本分别 为0 02元 2 cm和0 01元 2 cm 那么制作这样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是 元 取3 14 结果精确到0 01元 用心 爱心 专心4 图 1 图 2 答案 6 73 考点 正方形的性质 扇形面积的计算 二次函数的最值 分析 由图可知 每块正方形瓷砖的黑色部分都是由两个全等的直角三角形和一个扇形组成 可设扇 形的半径为 xcm 则直角三角形的短直角边长为 20 x cm 即可表示出正方形瓷砖黑色部分的面积 从而表示出白色部分的面积 然后算出各种材料费之和 根据函数的最值问题得解即可 设圆的半径为 xcm 则三角形的短直角边为 20 x cm 则小方砖黑部分的面积为 22 xx 20 20 x22 20 x400 44 白色部分的面积为 22 xx 400 20 x400 20 x 44 一块小方砖的小成本 22 2 xx y 20 x4000 0220 x0 01 0 0025 x0 2x8 44 22 4acb40 0025 3 14 80 2 y 6 73 4a40 0025 3 14 四四 5 江苏省 2009 年 3 分 如图 已知EF是梯形 ABCD 的中位线 DEF 的面积为 2 4cm 则梯形 ABCD 的面积为 cm2 答案 16 考点 梯形中位线定理 分析 根据已知 DEF 的高为梯形高的一半 从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积 即求得 了梯形的面积 设梯形的高为 h EF 是梯形 ABCD 的中位线 DEF 的高为 h 2 DEF 的面积为 1h1 EFEF h4 224 EF h16 梯形 ABCD 的面积为 1 AD BChEF h16 2 用心 爱心 专心5 6 江苏省无锡市 2010 年 2 分 如图 梯形 ABCD 中 AD BC EF 是梯形的中位线 对角线 AC 交 EF 于 G 若 BC 10cm EF 8cm 则 GF 的长等于 cm 答案 3 考点 梯形中位线定理 相似三角形的判定和性质 分析 梯形 三角形的中位线 一方面可以得到位置关系 梯形中位线平行两底 三角形中位线平行 第三边 另一方面可以得到数量关系 梯形中位线等于两底和的一半 三角形中位线等于第三边的一半 EF 是梯形的中位线 EF 1 2 AD BC AD 2EF BC 6cm FG AD CFG CDA 1 2 GFCF ADCD GF 3 cm 三 解答题 1 江苏省无锡市 2003 年 10 分 已知 如图 四边形 ABCD 为正方形 以 AB 为直径的半圆 O1和以 O1C 为直径的 O2交于点 F 连 CF 并延长交 AD 于点 H FE AB 于点 E BG CH 于点 G 求证 BC AE BG 连 AF 当正方形 ABCD 的边长为 6 时 求四边形 ABGF 的面积 答案 解 1 证明 连 O1F BF O1C 为 O2的直径 O1F CH CF 为 O1 的切线 ABC 90 BC 为 O1的切线 CB CF BFC FBC EF AB EF BC EFB FBC BFC 又 BGF BEF 90 BF BF BGF BEF AAS BG BE 用心 爱心 专心6 AE BG AE BE AB 正方形 ABCD BC AB AE BG 2 正方形 ABCD 的边长为 6 BC 6 AO1 BO1 3 又 BC CF 为 O1的切线 BC CF BCO1 FCO1 CO1 BF O1BC 90 O1BF O1CB O1BC AFB 90 O1BC AFB 1 O BAF1 FBBC2 在 Rt AFB 中 222 AB AF FB AB 6 2 22 6 AF 2AF 解得 6 512 5 AFBF 55 四 在 Rt AFB 中 EF AB AEF AFB AEEFAF AFFBAB 即 6 5 AEEF 5 66 512 5 55 解得 AE 6 5 EF 12 5 BE 6 6 5 24 5 ABFBFGBEF 11123611 24 12144 SAB EF 6 SSBE EF 2255225525 四 ABFBFGAFGB 36144324 S SS 52525 四四 边 考点 圆周角定理 切线的判定 切线长定理 等腰三角形的性质 平行的判定和性质 全等三角形 的判定和性质 正方形的性质 相似三角形的判定和性质 三角形的面积 分析 1 连 O1F BF 利用全等三角形的判定方法可得到 BGF BEF 再根据全等三角形的性 质得到 BG BE 从而可得到所求的结论 2 连 O1H 根据正方形的性质 相似三角形的判定和性质及平行线的性质求得 AE 等线段的值 再根据三角形的面积公式即可求得四边形 ABGF 的面积 2 江苏省无锡市 2004 年 10 分 将正方形 ABCD 折叠 使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合 折痕交 AD 于 E 交 BC 于 F 边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G 如图 1 如果 M 为 CD 边的中点 求证 DE DM EM 3 4 5 2 如果 M 为 CD 边上的任意一点 设 AB 2a 问 CMG 的周长是否与点 M 的位置有关 若有关 请 用心 爱心 专心7 把 CMG 的周长用含 DM 的长 x 的代数式表示 若无关 请说明理由 答案 解 1 证明 设正方形边长为 a DE 为 x 则 DM a 2 EM EA a x 在 Rt DEM 中 D 90 DE2 DM2 EM2 即 x2 a 2 2 a x 2 解得 3 x a 8 EM a x 35 aa a 88 DE DM EM 315 aaa 3 4 5 828 四四 2 CMG 的周长与点 M 的位置无关 理由如下 设 CM x DE y AB 2a DM 2a x EM 2a y EMG 90 DME CMG 900 DME DEM 90 DEM CMG 又 D C 90 DEM CMG CGCMMG DMDEEM 即 CGxMG 2axy2ay x 2ax x 2ay CGMG yy 四 在 Rt DEM 中 DM2 DE2 EM2 即 2a x 2 y2 2a y 2 整理得 4ax x2 4ay CMG 的周长为 CM MG CG 22 x 2ay x 2ax xy2axxy2axx4axx4ay x 4a yyyyy 所以 CMG 的周长为 4a 与点 M 的位置无关 考点 翻折变换 折叠问题 勾股定理 正方形的性质 相似三角形的判定和性质 代数式化简 用心 爱心 专心8 分析 1 设正方形边长为 a DE 为 x 则根据折叠知道 DM a 2 EM EA a x 然后在 Rt DEM 中就可 以求出 x 这样用 a 表示了 DE DN EM 即可求出它们的比值 2 CMG 的周长与点 M 的位置无关 设 CM x DE y 则 DM 2a x EM 2a y 根据正方形的性 质和折叠可以证明 DEM CMG 利用相似三角形的对应边成比例可以把 CG MG 分别用 x y 分别表示 CMG 的周长也用 x y 表示 然后在 Rt DEM 中根据勾股定理可以得到 4ax x2 4ay 结合 CMG 的周长 就可以判断 CMG 的周长与点 M 的位置无关 3 江苏省无锡市 2005 年 10 分 如图 已知矩形 ABCD 的边长 AB 2 BC 3 点 P 是 AD 边上的一动点 P 异于 A D Q 是 BC 边上的任意一点 连 AQ DQ 过 P 作 PE DQ 交 AQ 于 E 作 PF AQ 交 DQ 于 F 1 求证 APE ADQ 2 设 AP 的长为 x 试求 PEF 的面积 S PEF关于 x 的函数关系式 并求当 P 在何处时 S PEF取得 最大值 最大值为多少 3 当 Q 在何处时 ADQ 的周长最小 须给出确定 Q 在何处的过程或方法 不必给出证明 答案 解 1 证明 PE DQ APE ADQ AEP AQD APE ADQ 2 作 ADQ 中 DQ 边点的高 AH AH DQ AHD 900 四边形 ABCD 是矩形 DCQ ACD 900 ADH 900 QDC DQC ADH ADQ AHAD DCDQ DC AB 2 AD BC 3 AH3 2DQ 即DQ AH 6 ADQ 11 SDQ AH 63 22 用心 爱心 专心9 APE ADQ AP x 22 APE 22 ADQ SAPx SAD3 即 222 APEADQ 2 xxx SS 3 393 又 PF AQ PE DQ PAE DPF APE D APE PDF 2 APE 2 PDF SAP SPD 又 PD 3 x 22 APE 22 PDF SAPx SPD 3x 即 22 2 2 PDFAPE 22 3x3xx1 S S x6x3 xx33 又 PF AQ PE DQ 四边形 PEQF 是平行四边形 PEFPEQH 1 SS 2 A 2 22 PEFPEQHADQAPEPDF 111x11 SS SSS3x6x3x3x 222333 A 又 2 2 PEF 11 Sx3x 33 x 3324 当 3 x 2 即 P 是 AD 的中点时 S PEF取得最大值 4 3 3 作 A 关于直线 BC 的对称点 A 连 DA 交 BC 于 Q 则 这个点 Q 就是使 ADQ 周长最小的点 此时 Q 是 BC 的中点 考点 矩形的性质 平行的性质 直角三角形两锐角的关系 相似三 角形的判定和性质 平行四边形的判定和性质 三角形的面积 二次函 数的最值 轴对称的性质 三角形三边关系 分析 1 由 PE DQ 即可得 APE ADQ AEP AQD 从而 APE ADQ 得证 2 注意到 ADH ADQ APE ADQ 和 APE PDF 及 PEFPEQH 1 SS 2 A 由相似三角形 面积的比等于相似比的平方的性质 即可得到 S PEF xx 2 3 1 4 3 2 3 3 1 2 x 当 2 3 x 即 P 是 AD 的中点时 S PEF取得最大值 4 3 用心 爱心 专心10 3 如图 根据三角形两边之和大于第三边的 对 BC 上任一点 Q 总有 A Q DQ A D 由轴对称的性质 得 A Q AQ A Q AQ 所以 AQ DQ AQ QD 即 AD AQ DQ AD AQ QD 所以 ADQ 的周长大于 ADQ 的周长 即点 Q 就是使 ADQ 周长最小的 点 4 江苏省无锡市 2006 年 7 分 已知 如图 AABCD 中 BCD 的平分线交 AB 于 E 交 DA 的延长线 于 F 求证 AE AF 答案 证明 在AABCD 中 AB DC D BC AEF DCE F BCE CE 平分 DCB DCE BCE F AEF AE AF 考点 平行四边形的性质 平行的性质 角平分线的性质 等腰三角形的判定 分析 由平行四边形的性质可以推出 AB DC AD BC 然后利用它们得到角的关系 再由角平分线的 性质经过等量代换即可得 F AEF 从而根据等腰三角形等角对等边的判定证明题目结论 5 江苏省无锡市 2006 年 9 分 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AB DC AB 8cm CD 2cm AD 6cm 点 P 从点 A 出发 以 2cm s 的速度沿 AB 向终点 B 运动 点 Q 从点 C 出发 以 1cm s 的速度沿 CD DA 向 终点 A 运动 P Q 两点中 有一个点运动到终点时 所有运动即终止 设 P Q 同时出发并运动了 t 秒 1 当 PQ 将梯形 ABCD 分成两个直角梯形时 求 t 的值 2 试问是否存在这样的 t 使四边形 PBCQ 的面积是梯形 ABCD 面积的一半 若存在 求出这样的 t 的值 若不存在 请说明理由 用心 爱心 专心11 答案 解 1 过 D 作 DE AB 于 E 过 C 作 CF AB 于 F 如图 1 ABCD 是等腰梯形 四边形 CDEF 是矩形 DE CF 又 AD BC Rt ADE Rt BCF AE BF 又 CD 2cm AB 8cm EF CD 2cm 1 82AEB 3 cm 2 F 若四边形 APQD 是直角梯形 则四边形 DEPQ 为矩形 CQ t DQ EP 2 t AP AE EP 2t32t 解得 5 t 3 2 存在 理由如下 在 Rt ADE 中 3693cm DE3 C 2 AB D 1 82 3 315 3 cm 2 S 四四 当 S四边形 PBCQ ABCD 1 2 S 四四 时 如图 2 若点 Q 在 CD 上 即 0 t 2 则 CQ t BP 8 2t S四边形 PBCQ 115 3 t82t 3 3 22 解得 t 3 不合点 Q 在 CD 的条件 舍去 如图 3 若点 Q 在 AD 上 即 2 t 4 过点 Q 作 HG AB 于 G 交 CD 的延长线于 H 用心 爱心 专心12 由图 1 知 AE ADE 1 sin 2AD 3ADE0 则 A 60 在 Rt AQG 中 AQ 8 t QG AQ sin60 3 8t 2 在 Rt QDH 中 QDH 60 DQ t 2 3 t2 sin60QHD 2 Q 由题意知 S四边形 PBCQ APQCDQ 13 8t 13 t2 15 3 2t2 222 SS 22 四 即 2 t9t170 解之得 1 913 t 2 不合题意 舍去 2 913 t 2 存在 913 t 2 使四边形 PBCQ 的面积是梯形 ABCD 面积的一半 考点 动点问题 等腰梯形和直角梯形的性质 矩形的判定和性质 全等三角形的判定和性质 勾股 定理 解方程 锐角三角函数 特殊角的三角函数值 分析 1 通过构造全等三角形 Rt ADE Rt BCF 证明 AE BF 建立等量关系求解即可 2 分点 Q 在 CD 上和在 AD 上两种情况讨论即可 6 江苏省无锡市 2008 年 7 分 如图 四边形ABCD中 ABCD AC平分BAD CEAD 交AB于E 1 求证 四边形AECD是菱形 2 若点E是AB的中点 试判断ABC 的形状 并说明理由 答案 解 1 证明 ABCD 即AECD 又 CEAD 四边形AECD是平行四边形 AC平分BAD CAECAD 用心 爱心 专心13 又 ADCE ACECAD ACECAE AECE 四边形AECD是菱形 2 ABC 是直角三角形 理由如下 E是AB中点 AEBE 又 AECE BECE BBCE 180BBCABAC 2 2180BCEACE 90BCEACE 即90ACB ABC 是直角三角形 考点 菱形的判定 等腰三角形的判定和性质 平行的性质 三角形内角和定理 直角三角形的判定 分析 1 由已知ABCD CEAD 知四边形AECD是平行四边形 从而根据菱形的判定只 要一组邻边相等即可 由AC平分BAD 和ADCE 即可证得ACECAE 从而根据等腰三角 形等角对等边的判定即可证得AECE 因此得证 2 要证ABC 是直角三角形 只要证90ACB 即 90BCEACE 即可 由E是 AB中点和 1 AECE 可得BECE 根据等腰三角形等边对等角的性质得BBCE 从而由 三角形内角和定理即可证得90BCEACE 从而得证 7 江苏省无锡市 2008 年 8 分 一种电讯信号转发装置的发射直径为 31km 现要求 在一边长为 30km 的正方形城区选择若干个安装点 每个点安装一个这种转发装置 使这些装置转发的信号能完全覆盖这 个城市 问 1 能否找到这样的 4 个安装点 使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求 2 至少需要选择多少个安装点 才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求 答题要求 请你在解答时 画出必要的示意图 并用必要的计算 推理和文字来说明你的理由 下面给 出了几个边长为 30km 的正方形城区示意图 供解题时选用 用心 爱心 专心14 答案 解 1 将图 1 中的正方形等分成如图的四个小正方形 将这 4 个转发装置安装在这 4 个小正 方形对角线的交点处 此时 每个小正方形的对角线长为 1 30 215 231 2 A 每个转发装置都能完全 覆盖一个小正方形区域 故安装 4 个这种装置可以达到预设的要求 图案设计不唯一 2 将原正方形分割成如图 2 中的 3 个矩形 使 得BEDGCG 将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处 设AEx 则30EDx 15DH 由BEDG 得 2222 3015 30 xx 22515 604 x 2 2 15 3030 231 4 BE 即如此安装 3 个这种转发装置 也能达到预设要求 或 将原正方形分割成如图 2 中的 3 个矩形 使得31BE H是CD的中点 将每 个装置安装在这些矩形的对角线交点处 则 22 313061AE 3061DE 22 3061 1526 831DE 即如此安装三个这个转发装置 能达到预设要求 要用两个圆覆盖一个正方形 则一个圆至少要经过正方形相邻两 个顶点 如图 3 用一个直径为 31 的OA去覆盖边长为 30 的正方形ABCD 设 OA经过AB OA与AD交于E