2007年天津高考理科数学试卷含答案

2007 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 数学 理工类 数学 理工类 本试卷分第本试卷分第 卷 选择题 和第卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共卷 非选择题 两部分 共 150 分 考试用时分 考试用时 120 分钟 第分钟 第 卷卷 1 至至 2 页 第页 第 卷卷 3 至至 10 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利祝各位考生考试顺利 第第 卷卷 注意事项 注意事项 1 答第 答第 卷前 考生务必将自己的姓名 准考号 科目涂写在答题卡上 并在规定位置粘卷前 考生务必将自己的姓名 准考号 科目涂写在答题卡上 并在规定位置粘 贴考试用条形码 贴考试用条形码 2 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦 干净后 再选涂其他答案标号 答在试卷上的无效 干净后 再选涂其他答案标号 答在试卷上的无效 3 本卷共 本卷共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分 分 参考公式 参考公式 如果事件互斥 那么球的表面积公式AB P ABP AP B 2 4 SR 如果事件相互独立 那么其中表示球的半径AB R P A BP A P B 一 选择题 在每小题列出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 一 选择题 在每小题列出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 是虚数单位 i 3 2i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 2 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为 xy 1 1 33 xy xy xy 4zxy 4 11 12 14 3 是 的 2 3 tan2cos 2 充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 4 设双曲线的离心率为 且它的一条准线与抛物线 22 22 1 00 xy ab ab 3 的准线重合 则此双曲线的方程为 2 4yx 22 1 1224 xy 22 1 4896 xy 22 2 1 33 xy 22 1 36 xy 5 函数的反函数是 2 log 42 0 yxx 1 42 2 xx yx 1 42 1 xx yx 2 42 2 xx yx 2 42 1 xx yx 6 设为两条直线 为两个平面 下列四个命题中 正确的命题是 ab 若与所成的角相等 则ab ab 若 则ab ab 若 则abab 若 则ab ab 7 在上定义的函数是偶函数 且 若在区间上是减函R f x 2 f xfx f x 12 数 则 f x 在区间上是增函数 在区间上是增函数 21 3 4 在区间上是增函数 在区间上是减函数 21 3 4 在区间上是减函数 在区间上是增函数 21 3 4 在区间上是减函数 在区间上是减函数 21 3 4 8 设等差数列的公差不为 0 若是与的等比中项 则 n ad 1 9ad k a 1 a 2k ak 2 4 6 8 9 设均为正数 且 则 abc 1 2 2log a a 1 2 1 log 2 b b 2 1 log 2 c c abc cba cab bac 10 设两个向量和 其中为实 22 2cos asin 2 m m bm 数 若 则的取值范围是 2 ab m 4 8 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 数学 理工类数学 理工类 第第 卷卷 注意事项 注意事项 1 答案前将密封线内的项目填写清楚 答案前将密封线内的项目填写清楚 2 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 3 本卷共 本卷共 12 小题 共小题 共 100 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 11 若的二项展开式中的系数为 则 用数字作答 6 2 1 x ax 2 x 5 2 a 12 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上 且一个顶点上的三条棱的长分别为 1 2 3 则此球的表面积为 13 设等差数列的公差是 2 前项的和为 则 n adn n S 22 lim n n n an S 14 已知两圆和相交于两点 则直线的方 22 10 xy 22 1 3 20 xy AB AB 程是 15 如图 在中 ABC 是边上一点 12021BACABAC DBC 则 2DCBD AD BC 16 如图 用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色 每个格子涂 一种颜色 要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同 则 不同的涂色方法共有 种 用数字作答 A B D C 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 76 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知函数 2cos sincos 1f xxxxx R 求函数的最小正周期 f x 求函数在区间上的最小值和最大值 f x 3 84 18 本小题满分 12 分 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球 乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑 球 现从甲 乙两个盒内各任取 2 个球 求取出的 4 个球均为黑球的概率 求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率 设为取出的 4 个球中红球的个数 求的分布列和数学期望 19 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥中 底面 PABCD PA ABCD 是的中点 60ABADACCDABC PAABBC EPC 证明 CDAE 证明平面 PD ABE 求二面角的大小 APDC 20 本小题满分 12 分 已知函数 其中 2 2 21 1 axa f xx x Ra R 当时 求曲线在点处的切线方程 1a yf x 2 2 f 当时 求函数的单调区间与极值 0a f x A B C D P E 21 本小题满分 14 分 在数列中 其中 n a 1 11 2 2 2 nn nn aaan N 0 求数列的通项公式 n a 求数列的前项和 n an n S 证明存在 使得对任意均成立 k N 11nk nk aa aa n N 22 本小题满分 14 分 设椭圆的左 右焦点分别为是椭圆上的一点 22 22 1 0 xy ab ab 12 FFA 原点到直线的距离为 212 AFFF O 1 AF 1 1 3 OF 证明 2ab 设为椭圆上的两个动点 过原点作直线的垂线 12 QQ 12 OQOQ O 12 QQOD 垂足为 求点的轨迹方程 DD 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 数学 理工类 参考解答数学 理工类 参考解答 一 选择题 本题考查基本知识和基本运算 每小题一 选择题 本题考查基本知识和基本运算 每小题 5 分 满分分 满分 50 分 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二 填空题 本题考查基本知识和基本运算 每小题二 填空题 本题考查基本知识和基本运算 每小题 4 分 满分分 满分 24 分 分 11 212 13 314 14 15 16 39030 xy 8 3 三 解答题 17 本小题考查三角函数中的诱导公式 特殊角三角函数值 两角差公式 倍角公式 函 数的性质等基础知识 考查基本运算能力 满分 12 分 sin yAx 解 2cos sincos 1sin2cos22sin 2 4 f xxxxxxx 因此 函数的最小正周期为 f x 解法一 因为在区间上为增函数 在区间 2sin 2 4 f xx 3 88 上为减函数 又 3 3 84 0 8 f 3 2 8 f 3 3 2sin2cos1 4244 f 故函数在区间上的最大值为 最小值为 f x 3 84 21 解法二 作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下 2sin 2 4 f xx 9 84 由图象得函数在区 f x 间 上的最大值为 3 84 最小2 值为 3 1 4 f 18 本小题主要考查互斥事件 相互独立事件 离散型随机变量的分布列和数学期望等基 础知识 考查运用概率知识解决实际问题的能力 满分 12 分 解 设 从甲盒内取出的 2 个球均为黑球 为事件 从乙盒内取出的 2 个球均A 为黑球 为事件 由于事件相互独立 且 BAB 2 3 2 4 1 2 C P A C 2 4 2 6 2 5 C P B C 故取出的 4 个球均为黑球的概率为 121 255 P A BP A P B 解 设 从甲盒内取出的 2 个球均为黑球 从乙盒内取出的 2 个球中 1 个是红球 1 个是黑球 为事件 从甲盒内取出的 2 个球中 1 个是红球 1 个是黑球 从乙盒内C 取出的 2 个球均为黑球 为事件 由于事件互斥 DCD 且 211 324 22 46 4 15 CC C P C CC 12 34 22 46 1 5 CC P D CC 故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 417 15515 P CDP CP D 解 可能的取值为 由 得 012 3 1 0 5 P 7 1 15 P 从而 1 3 22 46 11 3 30 C P CC 3 2 1 0 1 3 10 PPPP 的分布列为 0123 P 1 5 7 15 3 10 1 30 y x O 2 2 的数学期望 17317 0123 51510306 E 19 本小题考查直线与直线垂直 直线与平面垂直 二面角等基础知识 考查空间想象能 力 运算能力和推理论证能力 满分 12 分 证明 在四棱锥中 因底面 平面 故PABCD PA ABCDCD ABCD PACD 平面 ACCDPAACA CD PAC 而平面 AE PACCDAE 证明 由 可得 PAABBC 60ABC ACPA 是的中点 E PCAEPC 由 知 且 所以平面 AECD PCCDC AE PCD 而平面 PD PCDAEPD 底面在底面内的射影是 PA ABCDPD ABCDADABAD ABPD 又 综上得平面 ABAEA PD ABE 解法一 过点作 垂足为 连结 则 知 平面AAMPD MEMAE 在平面内的射影是 则 PCDAMPCDEMEMPD 因此是二面角的平面角 AME APDC 由已知 得 设 30CAD ACa 可得 2 3212 332 PAaADaPDaAEa 在中 ADPRt AMPD AM PDPA AD 则 2 3 2 7 3 721 3 aa PA AD AMa PD a 在中 AEMRt 14 sin 4 AE AME AM 所以二面角的大小是 APDC 14 arcsin 4 解法二 由题设底面 平面 则平面平面 交线PA ABCDPA PADPAD ACD 为 AD 过点作 垂足为 故平面 过点作 垂足为CCFAD FCF PADFFMPD 连结 故 因此是二面角的平面角 MCMCMPD CMP APDC 由已知 可得 设 30CAD ACa 可得 2 32113 3326 PAaADaPDaCFaFDa A B C D P E M FMDPAD FMFD PAPD 于是 3 7 6 1421 3 a a FD PA FMa PD a 在中 CMFRt 1 2 tan7 7 14 a CF CMF FM a 所以二面角的大小是 APDC arctan7 20 本小题考查导数的几何意义 两个函数的和 差 积 商的导数 利用导数研究函数 的单调性和极值等基础知识 考查运算能力及分类讨论的思想方法 满分 12 分 解 当时 1a 2 2 1 x f x x 4 2 5 f 又 22 2222 2 1 2222 1 1 xxxx fx xx 6 2 25 f 所以 曲线在点处的切线方程为 yf x 2 2 f 46 2 525 yx 即 62320 xy 解 22 2222 2 1 2 21 2 1 1 1 a xxaxaxa ax fx xx 由于 以下分两种情况讨论 0a 1 当时 令 得到 当变化时 的变0a 0fx 1 1 x a 2 xa x fxf x 化情况如下表 x 1 a 1 a 1 a a a a fx 0 0 f x 极小值 A 极大值A 所以在区间 内为减函数 在区间内为增函数 f x 1 a a 1 a a 函数在处取得极小值 且 f x 1 1 x a 1 f a 2 1 fa a A B C D P E F M 函数在处取得极大值 且 f x 2 1 x a f a 1f a 2 当时 令 得到 当变化时 的变0a 0fx 12 1 xax a x fxf x 化情况如下表 x a a 1 a a 1 a 1 a fx 0 0 f x A 极大值A极小值A 所以在区间 内为增函数 在区间内为减函数 f x a 1 a 1 a a 函数在处取得极大值 且 f x 1 xa f a 1f a 函数在处取得极小值 且 f x 2 1 x a 1 f a 2 1 fa a 21 本小题以数列的递推关系式为载体 主要考查等比数列的前项和公式 数列求和 n 不等式的证明等基础知识与基本方法 考查归纳 推理 运算及灵活运用数学知识分析问 题和解决问题的能力 满分 14 分 解法一 222 2 2 2 22a 223233 3 2 2 222a 334344 4 22 2 232a 由此可猜想出数列的通项公式为 n a 1 2 nn n an 以下用数学归纳法证明 1 当时 等式成立 1n 1 2a 2 假设当时等式成立 即 nk 1 2 kk k ak 那么 1 11 2 2 kk k aa 11 1 222 kkkkk k 11 1 1 2 kk k 这就是说 当时等式也成立 根据 1 和 2 可知 等式1nk 对任何都成立 1 2 nn n an n N 解法二 由 1 1 2 2 nn nn aan N0 可得 1 1 1 22 1 nn nn nn aa 所以为等差数列 其公差为 1 首项为 0 故 所以数列 2 n n n a 2 1 n n n a n 的通项公式为 n a 1 2 nn n an 解 设 2341 23 2 1 nn n Tnn 3451 23 2 1 nn n Tnn 当时 式减去 式 1 得 21 2311 1 1 1 1 n nnn n Tnn 211212 22 1 1 1 1 1 nnnn n nnn T 这时数列的前项和 n an 212 1 2 1 22 1 nn n n nn S 当时 这时数列的前项和 1 1 2 n n n T n an 1 1 22 2 n n n n S 证明 通过分析 推测数列的第一项最大 下面证明 1n n a a 2 1 a a 2 12 1 4 2 2 n n aa n aa 由知 要使 式成立 只要 0 0 n a 2 1 2 4 2 nn aa n 因为 222 4 4 1 1 2 nn n an 12 4 1 4 24 1 2 nnnn nn 12 1 2222 nn n nan 所以 式成立 因此 存在 使得对任意均成立 1k 112 1 nk nk aaa aaa n N 22 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线方程 求曲线的方程等基础知 识 考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理 运算能力 满分 14 分 证法一 由题设及 不妨设点 其中 212 AFFF 1 0 Fc 2 0 F c A cy 由于点在椭圆上 有 即 0y A 22 22 1 cy ab 222 22 1 aby ab 解得 从而得到 2 b y a 2 b A c a 直线的方程为 整理得 1 AF 2 2 b yxc ac 22 20b xacyb c 由题设 原点到直线的距离为 即 O 1 AF 1 1 3 OF 2 422 3 4 cb c ba c 将代入上式并化简得 即 222 cab 22 2ab 2ab 证法二 同证法一 得到点的坐标为 A 2 b c a 过点作 垂足为 易知 故 O 1 OBAF B 1 FBO 12 FF A 2 11 BOF A OFF A 由椭圆定义得 又 12 2AFAFa 1 1 3 BOOF 所以 22 12 1 32 F AF A F AaF A 解得 而 得 即 2 2 a F A 2 2 b F A a 2 2 ba a 2ab 解法一 设点的坐标为 D 00 xy 当时 由知 直线的斜率为 所以直线的方程为 0 0y 12 ODQQ 12 QQ 0 0 x y 12 QQ 或 其中 0 00 0 x yxxy y ykxm 0 0 x k y 2 0 0 0 x my y 点的坐标满足方程组 111222 Q xyQ xy 222 22 ykxm xyb 将 式代入 式 得 222 2 2xkxmb 整理得 2222 12 4220kxkmxmb A O 1 F 2 F B x y 于是 12 2 4 12 km xx k 2 12 2 22 12 mb x x k 由 式得 22 12121212 y ykxm kxmk x xkm xxk 22222 22 22 2242 121212 mbkmmb k kkmm kkk 由知 将 式和 式代入得 12 OQOQ 1212 0 x xy y 2222 2 322 0 12 mbb k k 222 32 1 mbk 将代入上式 整理得 2 00 0 00 xx kmy yy 222