《材料力学》第7章-应力状态和强度理论-习题解

1 第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 习题解习题解 习题习题 7 1 7 1 试从图示各构件中 A 点和 B 点处取出单元体 并表明单元体各面上的应力 习题习题 7 17 1 a a 解 A 点处于单向压应力状态 2 2 4 4 1 2 d F d FF A N A 习题习题 7 17 1 b b 解 A 点处于纯剪切应力状态 3 3 16 16 1 d T d T W T P A MPa mm mmN 618 79 8014 3 10816 33 6 习题习题 7 17 1 b b 解 A 点处于纯剪切应力状态 0 A M 04 028 02 1 B R 333 1 kNRB 333 1kNRQ BA A A A 2 MPa mm N A Q A 417 0 12040 1333 5 15 1 2 B 点处于平面应力状态 MPa mm mmmmN I yM z B B 083 2 12040 12 1 30103 0333 1 43 6 MPa mmmm mmN bI QS z z B 312 0 4012040 12 1 45 3040 1333 43 3 习题习题 7 17 1 d d 解 A 点处于平面应力状态 MPa mm mmN W M z A A 064 50 2014 3 32 1 10 3 39 33 3 MPa mm mmN W T P A 064 50 2014 3 16 1 10 6 78 33 3 习题习题 7 2 7 2 有一拉伸试样 横截面为的矩形 在与轴线成角的面上mmmm540 0 45 切应力时 试样上将出现滑移线 试求试样所受的轴向拉力 F MPa150 解 A F x 0 y 0 x 00 45 90cos90sin 2 0 x yx A F 2 0 45 出现滑移线 即进入屈服阶段 此时 150 2 0 45 A F kNNmmmmNAF6060000540 300300 22 习题习题 7 3 7 3 一拉杆由两段沿面胶合而成 由于实用的原因 图中的角限于nm 范围内 作为 假定计算 对胶合缝作强度计算时 可以把其上的正应力和切 0 60 0 应力分别与相应的许用应力比较 现设胶合缝的许用切应力为许用拉应力的 4 3 且这一拉杆的强度由胶合缝强度控制 为了使杆能承受最大的荷载 F 试问角的值应取 多大 B B A A 3 解 A F x 0 y 0 x 2sin2cos 22 x yxyx 2 2cos1 2cos 22 A F A F A F 2 2cos1 A F cos2 A F 2 cos A F 2 max cos A F N 2cos2sin 2 x yx 4 3 2sin 2 A F 2sin 5 1A F 2sin 5 1 max A F T 0 0 910203036 8833 405060 N Fmax A 1 000 1 031 1 132 1 333 1 563 1 704 2 420 4 000 T Fmax A 47 754 4 386 2 334 1 732 1 562 1 523 1 523 1 732 最大荷载随角度变化曲线 0 000 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 0102030405060 斜面倾角 度 Fmax N Fmax T Fmax NFmax T 由以上曲线可知 两曲线交点以左 由正应力强度条件控制最大荷载 交点以右 由切应 4 最大荷载随角度变化曲线 0 000 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 0102030405060 斜面倾角 度 Fmax N Fmax T Fmax NFmax T 力强度条件控制最大荷载 由图中可以看出 当时 杆能承受最大荷载 该荷载 0 60 为 AF 732 1 max 习题习题 7 4 7 4 若上题中拉杆胶合缝的许用应力 而 5 0 MPa7 则值应取多大 若杆的横截面面积为 试确定其最大许可荷MPa14 2 1000mm 载 解 由上题计算得 2 max cos A F N 2cos2sin 2 x yx 5 0 2sin 2 A F 2sin A F 2sin max A F T 0 0 9102026 30405060 N Fmax A 1 000 1 031 1 132 1 250 1 333 1 704 2 420 4 000 T Fmax A 31 836 2 924 1 556 1 250 1 155 1 015 1 015 1 155 由以上曲线可知 两曲线交点以左 由正应力强度条件控制最大荷载 交点以右 由 切应力强度条件控制最大荷载 由图中可以看出 当时 杆能承受最大荷 0 565051 26 5 载 该荷载为 kNNmmmmNAF 51425 1 25 1 22 max 习题习题 7 5 7 5 试根据相应的应力圆上的关系 写出图示单元体任一斜面上正应力及切nm 应力的计算公式 设截面的法线与轴成角如图所示 作图时可设 nm x xy 解 坐标面应力 X 0 Y 0 x y 设斜面的应力为 M X Y 点nm 作出如图所示的应力圆 由图中的几何关系可知 11 NOOONO 2cos 22 yxyx x 2cos 22 yxyx x 2cos 22 2 yxyxx 2cos 22 yxyx 2sin 2 2sin yx OM 习题习题 7 6 7 6 某建筑物地基中的一单元体如图所示 压应力 MPa y 2 0 压应力 试用应力圆求法线与轴成顺时针夹角且垂直于纸面MPa x 05 0 x 0 60 的斜面上的正应力及切应力 并利用习题 7 5 中得到的公式进行校核 解 坐标面应力 X 0 05 0 Y 0 2 0 根据以上数据作出如图所示的应 0 60 力圆 图中比例尺为代表 cm1MPa05 0 按比例尺量得斜面的应力为 MPa1625 0 0 60 MPa065 0 0 60 按习题 7 5 得到的公式计算如下 6 2cos 22 yxyx MPa1625 0 120cos 2 2 005 0 2 2 005 0 0 600 2sin 2 yx MPa065 0 120sin 2 2 005 0 0 600 作图法 应力圆法 与解析法 公式法 的结果一致 习题习题 7 7 7 7 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为的截面上 在顶面以m72 0 下的一点处的最大及最小主应力 并求最大主应力与轴之间的夹角 mm40 x 解 1 求计算点的正应力与切应力 MPa mm mmmmN bh My I My z 55 10 16080 401072 0 101212 43 6 3 MPa mmmm mmN bI QS z z 88 0 8016080 12 1 60 4080 1010 43 33 2 写出坐标面应力 X 10 55 0 88 Y 0 0 88 3 作应力圆求最大与最小主应力 并求最大主应力与轴的夹角x 作应力圆如图所示 从图中按 比例尺量得 MPa66 10 1 MPa06 0 3 7 0 0 75 4 习题习题 7 8 7 8 各单元体面上的应力如图所示 试利用应力圆的几何关系求 1 指定截面上的应力 2 主应力的数值 3 在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向 习题习题 7 87 8 a a 解 坐标面应力 X 20 0 Y 40 0 根据以上数据作出如图所示的应 0 60 力圆 图中比例尺为代表 按比例尺量得斜面的应力为 cm1MPa10 MPa25 0 120 MPa26 0 120 MPa20 1 MPa40 3 0 0 0 习题习题 7 87 8 b b 解 坐标面应力 X 0 30 Y 0 30 根据以上数据作出如图所示的应力 0 30 圆 图中比例尺为代表 按比例尺量得斜面的应力为 cm1MPa10 MPa26 0 60 MPa15 0 60 MPa30 1 MPa30 3 0 0 45 1 3 单元体图应力圆 O Mohr 圆 主单元体图 单元体图应力圆 O Mohr 圆 主单元体图 8 习题习题 7 87 8 c c 解 坐标面应力 X 50 0 Y 50 0 根据以上数据作出如图所示的应 0 30 力圆 图中比例尺为代表 按比例尺量得斜面的应力为 cm1MPa20 MPa50 0 60 0 0 60 MPa50 2 MPa50 3 习题习题 7 87 8 d d 解 坐标面应力 X 0 50 Y 20 50 根据以上数据作出如图所示的应 0 0 力圆 图中比例尺为代表 按比例尺量得斜面的应力为 cm1MPa20 MPa40 0 45 10 0 45 MPa41 1 MPa0 2 MPa61 3 0 0 3539 习题习题 7 9 7 9 各单元体如图所示 试利用应力圆的几何关系求 1 主应力的数值 2 在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向 习题习题 7 97 9 a a 解 坐标面应力 X 130 70 Y 0 70 根据以上数据作出如图所示的应 力圆 图中比例尺为代表 按比例尺量得斜面的应力为 cm1MPa20 MPa 5 160 1 MPa0 2 MPa 5 30 3 0 0 5623 2 3 单元体图应力圆 O Mohr 圆 主单元体图 单元体图应力圆 O Mohr 圆 主单元体图 9 习题习题 7 97 9 b b 解 坐标面应力 X 140 80 Y 0 80 根据以上数据作出如图所示的应 力圆 图中比例尺为代表 按比例尺量得斜面的应力为 cm1MPa40 MPa 0 36 1 MPa0 2 MPa176 3 0 0 6 65 习题习题 7 97 9 c c 解 坐标面应力 X 20 10 Y 50 10 根据以上数据作出如图所示的应 力圆 图中比例尺为代表 按比例尺量得斜面的应力为 cm1MPa10 MPa0 1 MPa25 16 2 MPa75 53 3 0 0 1 16 习题习题 7 97 9 d d 解 坐标面应力 X 80 30 Y 160 30 根据以上数据作出如图所示的应 力圆 图中比例尺为代表 按比例尺量得斜面的应力为 cm1MPa20 MPa170 1 MPa70 2 MPa0 3 0 0 6 71 单元体图应力圆 O Mohr 圆 主单元体图 单元体图应力圆 O Mohr 圆 主单元体图 单元体图应力圆 O Mohr 圆 主单元体图 10 习题习题 7 10 7 10 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示 试利用应力圆求 该点处的主应力值和主平面方位 并求出两截面间的夹角值 平面应力状态下的两斜面应力应力圆 解 两斜面上的坐标面应力为 A 38 28 B 114 48 由以上上两点作出的直线 AB 是应力圆上的一条弦 如图所示 作 AB 的垂直平分线交水平坐标轴于 C 点 则 C 为应力圆的圆心 设圆心坐标为 C 0 x 则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等 性质 可列以下方程 2222 480 114 280 38 xx 解以上方程得 即圆心坐标为 C 86 0 86 x 应力圆的半径 570 55 280 3886 22 r 主应力为 MParx57 14157 5586 1 MParx43 3057 5586 2 单元体图应力圆 O Mohr 圆 主单元体图 11 0 3 2 主方向角 上斜面 A 与中间主应力平面之间的夹角 上斜面 A 与最大主应力平面之间的夹角 3 两截面间夹角 习题习题 7 11 7 11 某点处的应力如图所示 设及值为已知 试考虑如何根据已知数据 y 直接作出应力圆 解 0 X 1 0sincos x 0 Y 2 0cossin y 1 2 联立 可解得和 x 至此 三个面的应力均为已知 X 0 Y 0 均为负值 x y x y 由 X Y 面的应力就可以作出应力圆 习题习题 7 12 7 12 一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示 梁的自重略去不计 试示 上三点处的主应力 mm cba 12 解 1 求点的主应力a 7 33146666200110 12 1 220120 12 1 12 1 4333 mmbhIz 3336 301333 110 7 33146666 3 max mm y I W z z MPa mm mmN W M z a 390 212 3336 301333 104 0160 3 6 因点处于单向拉伸状态 故 aMPa39 212 1 0 32 2 求点的主应力b MPa mm mmmmN I My z b 081 193 7 33146666 100104 0160 3 6 在的左邻截面上 mm kNQ160 MPa mmmm mmN dI QS z z b 821 60 10 7 33146666 105 10120 10160 4 33 即坐标面应力为 X 193 081 60 821 Y 0 60 821 22 1 4 2 1 2 xyx yz MPa64 210821 604081 193 2 1 2 081 193 22 0 2 22 3 4 2 1 2 xyx yz 13 MPa56 17821 604081 193 2 1 2 081 193 22 3 求点的主应力c 0 c MPa mmmm mmN dI QS z z c 956 84 10 7 33146666 501001010510120 10160 4 33 即坐标面应力为 X 0 84 956 Y 0 84 956 22 1 4 2 1 2 xyx yz MPa956 84956 844 2 1 2 0 2 22 3 4 2 1 2 xyx yz MPa956 84956 844 2 1 2 习题习题 7 13 7 13 在一块钢板上先画上直径的圆 然后在板上加上应力 如图所示 mmd300 试问所画的圆将变成何种图形 并计算其尺寸 已知钢板的弹性模量 GPaE206 28 0 解 坐标面应力 X 70 21 Y 14 21 所画的圆变成椭圆 其中 14 长轴 短轴 习题习题 7 14 7 14 已知一受力构件表面上某点处的 MPa x 80 单元体的三个面上都没有切应力 试求该点处的最大正应力MPa y 160 0 z 和最大切应力 解 最大正应力为 最小正应力是 MPa x 80 1 MPa y 160 3 最大切应力是 120 2 160 80 2 31 max MPa 习题习题 7 15 7 15 单元体各面上的应力如图所示 试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应 力 习题习题 7 157 15 a a 解 坐标面应力 X 70 40 Y 30 40 Z 50 0 单元体图应力圆 15 由 XY 平面内应力值作a b点 连接a b交 轴得圆心C 50 0 应力圆半径 习题习题 7 157 15 b b 解 坐标面应力 X 60 40 Y 50 0 Z 0 40 由XZ平面内应力作a b点 连接a b交 轴于C点 OC 30 故应力圆圆心 C 30 0 应力圆半径 单元体图应力圆 16 习题习题 7 157 15 c c 解 坐标面应力 X 80 0 Y 0 50 Z 0 50 由YZ平面内应力值作a b点 圆心为O 半径为 50 作应力圆得 习题习题 7 167 16 已知一点处应力状态的应力圆如图所示 试用单元体示出该点处的应力状态 并在该单元体上绘出应力圆上 A 点所代表的截面 习题习题 7 16 a 7 16 a 解 该点处于三向应力状态 A 点所MPa70 1 MPa50 2 MPa10 3 代表的截面平行于的方向 据此 可画出如图所示的单元体图和 A 截的位置 1 单元体图应力圆 17 习题习题 7 16 b 7 16 b 解 该点处于三向应力状态 A 点MPa50 1 MPa10 2 MPa10 3 所代表的截面平行于的方向 据此 可画出如图所示的单元体图和 A 截的位置 3 习题习题 7 17 7 17 有一厚度为的钢板 在两个垂直方向受拉 拉应力分别为 150mm6 及 55 钢材的弹性常数为 试求钢板厚度的减MPaMPaGPaE210 25 0 小值 解 4 3 1044 2 55150 10210 25 0 MPaMPa MPaE yxz 钢板厚度的减小值为 10464 1 1044 2 6 34 mm z 习题习题 7 18 7 18 边长为的钢立方体置于钢模中 在顶面上均匀地受力mm20 作用 已知 假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可略kNF14 3 0 去不计 试求立方体各个面上的正应力 解 1 2 3 A 应力圆主单元体图与 A 截面的位置 1 2 3 A 0 30 应力圆主单元体图与 A 截面的位置 18 1 2 联解式 1 2 得 习题习题 7 19 7 19 在矩形截面钢拉伸试样的轴向拉力时 测得试样中段 B 点处kNF20 与其轴线成方向的线应变为 已知材料的弹性模量 0 30 4 30 1025 3 0 试求泊松比 GPaE210 解 平面应力状态下的广义虎克定律适用于任意两互相垂直的 1 yxx E 方向 故有 钢杆处于单向拉应力状态 yx 1 000 603030 E 拉杆横截面上的正应力 MPa100 1020 1020 3 斜截面上的应力 MPa7530cos 2 30 MPa2560cos 2 60 由广义虎克定律 603030 1 E 2575 10210 1 1025 3 3 4 解得 27 0 19 习题习题 7 20 7 20 D 120mm d 80mm 的空心圆轴 两端承受一对扭转力偶矩 如图所示 在轴的中部表面A点处 测得与其母线成 方向的线应变为 已知材 料的弹性常数 试求扭转力偶矩 解 方向如图 习题习题 7 21 7 21 在受集中力偶作用矩形截面简支梁中 测得中性层上 k 点处沿方向 e M 0 45 的线应变为 已知材料的弹性常数和梁的横截面及长度尺寸 试求集 0 45 Eldahb 中力偶矩 e M 20 解 支座反力 l M R e A l M R e B K 截面的弯矩与剪力 l aM aRM e Ak l M RQ e Ak K 点的正应力与切应力 0 Al M A Q ek 2 3 5 1 故坐标面应力为 X 0 Y 0 Al Me xyx yz 2 3 4 2 1 2 22 1 0 2 Al Me xyx yz 2 3 4 2 1 2 22 3 yx x 2 2tan 0 最大正应力的方向与正向的夹角 故 0 0 45 1 x 1 311 450 E 1 2 3 2 3 2 3 1 0 45 EAl M Al M Al M E eee 0 0 45 45 1 3 2 1 3 2 Ebhl EAl Me 习题习题 7 22 7 22 一直径为的实心钢球承受静水压力 压强为 设钢球的mm25MPa14 试问其体积减小多少 GPaE210 3 0 解 体积应变 21 习题习题 7 23 7 23 已知图示单元体材料的弹性常数 试求该单元体的形GPaE200 3 0 状改变能密度 解 坐标面应力 X 70 40 Y 30 40 Z 50 0 在 XY 面内 求出最大与最小应力 22 max 4 2 1 2 xyx yz 721 94 40 4 3070 2 1 2 3070 22 max MPa 22 min 4 2 1 2 xyx yz 279 5 40 4 3070 2 1 2 3070 22 max MPa 故 721 94 1 MPa MPa50 2 279 5 3 MPa 单元体的形状改变能密度 6 1 2 13 2 32 2 21 E vd 721 94279 5 279 5 50 50721 94 102006 3 01 222 3 3 99979 1201299979 0mmkNMPa 习题习题 7 24 7 24 从某铸铁构件内的危险点取出的单元体 各面上的应力分量如图所示 已知 铸铁材料的泊松比 许用拉应力 许用压应力 25 0 MPa t 30 MPa c 90 试按第一和第二强度理论校核其强度 解 坐标面应力 X 15 15 Y 0 15 271 2415415 2 1 2 15 22 1 MPa 22 0 2 271 9 15415 2 1 2 15 22 3 MPa 第一强度理论 因为 即 271 24 1 MPa MPa t 30 1t 所以 符合第一强度理论的强度条件 构件不会破坏 即安全 第二强度理论 因为 589 26 271 9 0 25 0 271 24 321 MPa u 即 MPa t 30 321t 所以 符合第二强度理论的强度条件 构件不会破坏 即安全 习题习题 7 25 7 25 一简支钢板梁承受荷载如图 a 所示 其截面尺寸见图 b 已知钢材的许用应力 为 试校核梁内的最大正应力和最大切应力 并按第四MPa170 MPa100 强度理论校核危险截面上的 a 点的强度 注 通常在计算 a 点处的应力时 近似地按点 a 的位置计算 解 左支座为 A 右支座为 B 左集中力作用点为 C 右集中力作用点为 D 支座反力 710 840550550 2 1 kNRR BA 23 43433 1004 2 2040746670800230 12 1 840240 12 1 mmmIz 1 梁内最大正应力发生在跨中截面的上 下边缘 870440 2 1 35504710 2 max mkNM MPa m mmN I yM z 179 1004 2 1042010870 43 33 maxmax max 超过 的 5 3 在工程上是允许的 2 梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处 3 在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度 超过 的 3 53 在工程上是允许的 习题习题 7 26 7 26 已知钢轨与火车车轮接触点处的正应力 MPa650 1 MPa700 2 参看图 7 7 若钢轨的许用应力 试按第三强度理论MPa900 3 MPa250 24 与第四强度理论校核其强度 解 按第三强度校核 250 900 650 31 MPa 符合第三强度理论所提出的强度条件 即安全 2 1 2 13 2 32 2 21 650900 900700 700650 2 1 222 MPaMPa250 129 229 符合第四强度理论所提出的强度条件 即安全 习题习题 7 27 7 27 受内压力作用的容器 其圆筒部分任意一点A 图 a 处的应力状态如图 b 所 示 当容器承受最大的内压力时 用应变计测得 已知 钢材的弹性模量 E 210GPa 泊松比 0 3 许用应力 试按第三强度理 论校核A点的强度 解 解 MPa E yxx 8 62 1037 7 3 01088 1 3 01 101 2 1 44 2 9 2 MPa E xyy 183 1088 1 3 01037 7 3 01 101 2 1 44 2 9 2 根据第三强度理论 超过 的 7 64 不能满足强度要 求 25 习题习题 7 28 7 28 设有单元体如图所示 已知材料的许用拉应力为 许用压应力MPa t 60 为 试按莫尔强度理论校核其强度 MPa c 180 解 坐标面应力 X 70 50 Y 0 50 22 1 4 2 1 2 xyx yx 2 2 1 50 470 2 1 2 70 03 2603 6135MPa 03 9603 6135 50 470 2 1 2 70 2 2 3 MPa 莫尔强度理论的相当应力 04 58 03 96 180 60 03 26 31 MPa c t rM 因为 即 04 58MPa rM MPa t 60 trM 所以 符合莫尔强度理论所提出的强度条件 即安全 习题习题 7 29 7 29 图示两端封闭的铸铁薄壁圆筒 其内径 壁厚 承受mmD100 mm10 内压力 且两端受轴向压力作用 材料的许用拉应力MPap5 kNF100 泊松比 试按第二强度理论校核其强度 MPa t 40 25 0 解 在内压力作用下 任一点产生的应力为 径向 25 102 1005 2 MPa pD x 纵向 5 12 4 MPa pD y 但薄壁圆筒除在内压力作用下产生之外 又在轴向压力 y 作用下产生压应力 MPaPa A F y 9 28 10 100120 4 14 3 10100 622 3 在内压力与轴向压力共同作用下 薄壁圆筒内壁处某一点产生的应力 25 1 MPa 5 2 MPap 26 MPa yy 4 16 9 28 5 12 3 用第二强度理论校核 MPaMPa tr 40 4 30 4 165 25 0 25 3212 故 该薄壁容器满足强度要求 习题习题 7 30 7 30 在题 7 29 中试按莫尔强度理论进行强度校核 材料的拉伸与压压缩许用应力 分别为以及 MPa t 40 MPa c 160 解 莫尔强度理论的相当应力 1 29 4 16 160 40 25 31 MPa c t rM 因为 即 1 29MPa rM MPa t 40 trM 所以 符合莫尔强度理论所提出的强度条件 即安全 习题习题 7 31 7 31 用 Q235 钢制成的实心圆截面杆 受轴向拉力 F 及扭转力偶矩共同作用 e M 且 今测得圆杆表面 k 点处沿图示方向的线应变 已知杆FdMe 10 1 5 30 1033 14 0 直径 材料的弹性常数 试求荷载 F 和 若其许用mmd10 GPaE200 3 0 e M 应力 试按第四强度理论校核杆的强度 MPa160 解 计算 F 和的大小 e M 在 k 点处产生的切应力为 e M 2333 max 5 8 10 161616 d FFd dd M d T W T e P F 在 k 点处产生的正应力为 27 2 4 d F A F 即 X Y 0 2 4 d F 2 5 8 d F 2 5 8 d F 广义虎