2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)

20142014 年普通高等学校招生全国统一考试 辽宁卷 年普通高等学校招生全国统一考试 辽宁卷 文科数学文科数学 第第 卷 共卷 共 6060 分 分 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 12 个小题个小题 每小题每小题 5 分分 共共 60 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 已知全集 则集合 0 1 UR Ax xBx x U CAB A B C D 0 x x 1 x x 01 xx 01 xx 2 设复数 z 满足 则 2 2 5zii z A B C D 23i 23i 32i 32i 3 已知 则 1 3 2a 21 2 11 log log 33 bc A B C D abc acb cab cba 4 已知 m n 表示两条不同直线 表示平面 下列说法正确的是 A 若则 B 若 则 mn mnm n mn C 若 则 D 若 则m mn n m mn n 5 设 a b c 是非零向量 已知命题 P 若 则 命题 q 若 0a b 0b c 0a c ab bc 则 则下列命题中真命题是 ac A B C D pq pq pq pq 6 若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中 其中 AB 2 BC 1 则质点落在以 AB 为直 径的半圆内的概率是 A B C D 2 4 6 8 AB DC 7 某几何体三视图如图所示 则该几何体的体积为 A B C D 8 4 8 2 8 82 8 已知点在抛物线 C 的准线上 记 C 的焦点为 F 则直线 AF 的斜率为 2 3 A 2 2ypx A B C D 4 3 1 3 4 1 2 9 设等差数列的公差为 d 若数列为递减数列 则 n a 1 2 n a a A B C D 0d 0d 1 0a d 1 0a d 10 已知为偶函数 当时 则不等式的解集为 f x0 x 1 cos 0 2 1 21 2 x x f x xx 1 1 2 f x A B C D 1 24 7 4 33 4 311 2 434 3 1 34 7 3 43 4 311 3 433 4 11 将函数的图象向右平移个单位长度 所得图象对应的函数 3sin 2 3 yx 2 A 在区间上单调递减 7 12 12 B 在区间上单调递增 7 12 12 C 在区间上单调递减 6 3 D 在区间上单调递增 6 3 12 当时 不等式恒成立 则实数 a 的取值范围是 2 1 x 32 430axxx A B C D 5 3 9 6 8 6 2 4 3 第第 卷 共卷 共 9090 分 分 二 填空题 每题二 填空题 每题 5 分 满分分 满分 20 分 将答案填在答题纸上 分 将答案填在答题纸上 13 执行右侧的程序框图 若输入 则输出 3n T 14 已知 x y 满足条件 则目标函数的最大值为 220 240 330 xy xy xy 34zxy 15 已知椭圆 C 点 M 与 C 的焦点不重合 若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 22 1 94 xy A B 线段 MN 的中点在 C 上 则 ANBN 16 对于 当非零实数 a b 满足 且使最大时 的0c 22 420aabbc 2 ab 124 abc 最小值为 三 解答题三 解答题 本大题共 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 在中 内角 A B C 的对边 a b c 且 已知 ABC ac 2BA BC 1 cos 3 B 3b 求 a 和 c 的值 的值 cos BC 18 本小题满分 12 分 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯 在全校一年级学生中进行了抽样调查 调查结果如下表所 示 根据表中数据 问是否有 95 的把握认为 南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有 差异 已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生 其中 2 名喜欢甜品 现在从这 5 名学生中随 机抽取 3 人 求至多有 1 人喜欢甜品的概率 19 本小题满分 12 分 如图 和所在平面互相垂直 且 ABC BCD 2ABBCBD E F G 分别为 AC DC AD 的中点 0 120ABCDBC 求证 平面 BCG EF 求三棱锥 D BCG 的体积 附 椎体的体积公式 其中 S 为底面面积 h 为高 1 3 VSh G F E B C D A 20 本小题满分 12 分 圆的切线与 x 轴正半轴 y 轴正半轴围成一个三角形 当该三角形面积最小时 切点为 22 4xy P 如图 求点 P 的坐标 焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P 且与直线交于 A B 两点 若的面积为 3l yx PAB 2 求 C 的标准方程 x y O P 21 本小题满分 12 分 已知函数 cos 2sin2f xxxx 1 sin2 1 1 sin xx g xx x 证明 存在唯一 使 0 0 2 x 0 0f x 存在唯一 使 且对 1 中的 x0 有 1 2 x 1 0g x 01 xx 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 作答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 EP 交圆于 E C 两点 PD 切圆于 D G 为 CE 上一点且 连接 DG 并延长交圆于点PGPD A 作弦 AB 垂直 EP 垂足为 F 求证 AB 为圆的直径 若 AC BD 求证 AB ED F C P E D G A B 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 将圆上每一点的横坐标保持不变 纵坐标变为原来的 2 倍 得曲线 C 22 1xy 写出 C 的参数方程 设直线与 C 的交点为 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐 220lxy 12 P P 标系 求过线段的中点且与 垂直的直线的极坐标方程 12 PPl 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设函数 记的解集为 M 的解集为 2 1 1f xxx 2 1681g xxx 1f x 4g x N 求 M 当时 证明 xMN 22 1 4 x f xx f x 参考答案参考答案 1 D 2 A 3 D 4 B 5 A 6 B 7 C 8 C 9 D 10 11 B 12 C 13 14 15 16 2018121 17 解 由得 又 所以 由余弦定理 得2BA BC cos2caB 1 cos 3 B 6ca 222 2cosacbacB 又 所以 解得或 因3b 22 92 213ac 22 6 13 ac ac 2 3ac 3 2ac 为 所以 ac 3 2ac 在中 由正弦定理得 ABC 22 12 2 sin1 cos1 33 BB 因 所以为锐角 因此 2 2 24 2 sinsin 339 c CB b abc C 2 cos1 sinCC 2 4 2 1 9 于是 7 9 cos B coscossinsinCBCBC 1 72 2 4 223 3 93927 18 将列联表中的数据代入公式计算 得2 2 2 2 11221221 1212 n nn n n x n n n n 由于 所以有 2 100 60 1020 10 70 30 80 20 100 21 4 762 4 7623 841 的把握认为 南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异 0 0 95 从 5 名数学系的学生任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件空间 121122123112 b a a ba a ba a bab 123113212 b b b ababab 223 b ab 其中表示喜欢甜品的学生 表示不喜欢甜品的学生 213 b ab 123 b bbaii1 2 bj j1 2 3 由 10 个基本事件组成 且这些基本事件出现是等可能的 用 A 表示 3 人中至多有 1 人喜欢甜品 这一事件 则 事件 A 是 112123113212223 A b b b b b ababababab 213123 b b abbb 由 7 个基本事件组成 因而 7 10 P A 19 证明 由已知得 因此 又为中点 所以 ABCDBC ACDC GADCGAD 同理 因此平面 又 所以平面 BCG BGAD AD BGC EFADEF 在平面内 作 交延长线于 由平面平面 知平ABCAOCB CBOABC BCDAO 面 BDC 又为中点 因此到平面距离是长度的一半 在中 GADGBCDhAOAOB 0 sin603AOAB 所以 0 11 131 sin120 33 222 D BCGG BCDDBC VVShBD BC G F E B C D A O 20 设切点坐标为 则切线斜率为 切线方程为 00 x y 00 x0 y0 0 0 x y 即 此时 两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积 0 00 0 y x x x y y 00 4x xy y 由知当且仅当时 有最大值 即 0000 1448 2 S xyx y 22 0000 42xyx y 00 2xy 00 x y 有最小值 因此点的坐标为 SP 2 2 设的标准方程为 点 由点在上知C 22 22 1 0 xy ab ab 1122 A x y B x y PC 并由得 又是方程的根 因此 22 22 1 ab 22 22 1 3 xy ab yx 222 4 3620b xxb 12 x x 由 12 2 2 12 2 4 3 62 xx b b x x b 11 3yx 22 3yx 得 由点到直线 的距离为及 24 12 2 48248 22 bb ABxx b Pl 3 2 得 解得或 因此 舍 或 13 2 22 PAB SAB 42 9180bb 2 6b 3 2 6b 2 3a 2 3b 从而所求的方程为 2 6a C 22 1 63 xy 21 当时 所以在上为增函数 又 0 2 x sin2cos0fxxx f x 0 2 所以存在唯一 使 0 20f 2 40 22 f 0 0 2 x 0 0f x 当时 化简得 令 记 2 x cos2 1 1 sin xx g xx x tx u tgt 则 由 得 当时 当 tcos2 1 1 sin tt t 0 2 t 1 sin f t u t t 0 0 x t 0u t 时 从而在上为增函数 由知 当时 0 2 tx 0u t 0 2 x u t 0 2 u 0 2 tx 所以在上无零点 在上为减函数 由及知存在 0u t u t 0 2 x 0 0 x u t 0 1u 0 0u x 唯一 使得 于是存在唯一 使得 设 00 0 x t 0 0u x 0 0 2 t 0 0u t 10 2 xt 100 0g xgtu t 因此存在唯一的 使得 由于 所以 1 2 x 1 0g x 10 xt 00 xt 01 xx 22 因为 所以PGPD PDGPGD 由于为切线 所以 又由于 故 PDPDADBA PGDEGA DBAEGA 所以 DBABADEGABADBDAPFA 从而 由于 所以 于是 故为圆的直径 AFEP 0 90PFA 0 90BDA AB 连接 由于是直径 故 在和中 BCDC AB 0 90BDAACB Rt BDA Rt ACB 从而 于是 又因为ABBA ACBD Rt BDARt ACB DABCBA 所以 故 由于 所以 DCBDAB DCBCBA DCABABEP DCEP 为直角 于是为直径 由 得 DCE EDEDAB F C P E D G A B 23 设为圆上的点 经变换为上点 依题意 得由得 11 y xC x y 1 1 2 xx yy 22 11 1xy 22 1 2 y x 即曲线的方程为 故 C 的参数方程为 为参数 C 2 2 1 4 y x cos 2sin xt yt t 由解得或不妨设 则线段的中点坐标为 2 2 1 4 220 y x xy 1 0 x y 0 2 x y 12 1 0 0 2 PP 12 PP 1 1 2 所求直线的斜率为 于是所求直线方程为 化为极坐标方程为 1 2