万有引力知识点总结

1 知识点一知识点一 万有引力应用万有引力应用 两条线索 1 万有引力 向心力 2 重力 向心力 G mg GM gR2 黄金代换式 2 R Mm 1 中心天体质量密度 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动 其线速度大小为 0 v假设宇航员在该行星表面上 用弹簧测力计测量一质量为 m 的物体重力 物体静止时 弹簧测力计的示数为 N 已知引力常量为 G 则这颗行星的质 量为 A GN mv2 B GN mv4 C Gm Nv 2 D Gm Nv 4 解析 行星对卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力 有 R vm R 2 2 mGM 行星对处于其表面物体的万有引力等于物体重力有 mg R 2 GMm 根据题意有 N mg 解以上三式可得 GN mv4 M 选项 B 正确 2 多天体比较 假设地球是一半径为R 质量分布均匀的球体 一矿井深度为d 已知质量分布均匀的球壳对壳内 物体的引力为零 矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 A R d 1 B R d 1 C 2 R dR D 2 dR R 答案 A 解析 在地面上质量为 m 的物体根据万有引力定律有 mg R Mm G 2 从而得RG R RG g 3 4 3 4 2 3 根据题意 球壳对其内部物体的引力为零 则矿井底部的物体 m 只受到其以下球体对它的万有引力同理有 3 4 2 dRG dR MG g 式中 3 3 4 dRM 两式相除化简 R d R dR g g 1 答案 A 3 多天体比较 火星探测项目我过继神舟载人航天工程 嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目 假设火星 探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为 1 T 神州飞船在地球表面附近圆形轨道运行周期为 2 T 火星质量与地球 质量之比为 p 火星半径与地球半径之比为 q 则 1 T 2 T之比为 A 3 pq B 3 1 pq C 3 p q D 3 q p 22 22 22 2 2 4 8 2 9 4 10 11 12 Mmv Gmmrmr rrT v mgrmmrmr rT A A 2 答案 D 解析 设中心天体的质量为 M 半径为 R 当航天器在星球表面飞行时 由 2 2 2Mm GmR RT 和 3 4 3 MVR 解得 2 3 GT 即 31 T G 又因为 3 3 4 3 MMM VR R 所以 3 R T M 3 1 2 Tq Tp 4 中心天体质量密度 若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动 设其周期为T 引力 常数为G 那么该行星的平均密度为 B A 3 2 GT B 2 3 GT C 4 2 GT D 2 4 GT 5 多天体比较 近年来 人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆 某火星探测器绕火星做匀速圆 周运动 它的轨道距火星表面的高度等于火星的半径 它的运动周期为T 则火星的平均密度 的表达式为 k为某 个常数 D A kT B k T C kT2 D k T2 6 中心天体质量密度 如图 K19 3 所示 美国的 卡西尼 号探测器经过长达 7 年的 艰苦 旅行 进入绕 土星飞行的轨道 若 卡西尼 号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行 环绕n 周飞行时间为t 已知引力常量为G 则下列关于土星质量M和平均密度 的表达式正确的是 D A M 4 2 R h 3 Gt2 3 R h 3 Gt2R3 B M 4 2 R h 2 Gt2 3 R h 2 Gt2R3 C M 4 2t2 R h 3 gn2 3 t2 R h 3 Gn2R3 D M 4 2n2 r h 3 Gt2 3 n2 R h 3 Gt2R3 知识点二知识点二 双星模型 多星模型双星模型 多星模型 7 两颗靠得较近的天体称为双星 它们以连线上某点为圆心作匀速圆周运动 因而不至于由于引力作 用而吸引在一起 以下说法中正确的是 BD A 它们作圆周运动的角速度之比与其质量成反比 B 它们作圆周运动的线速度之比与其质量成反比 C 它们所受向心力之比与其质量成反比 D 它们作圆周运动的半径与其质量成反比 8 如右图 质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速 圆周运动 星 A 和 B 两者中心之间距 离为 L 已知 A B 的中心和 O 三点始终共线 A 和 B 分别在 O 的两侧 引力常数为 G 1 求两星球做圆周运动的周期 2 在地月系统中 若忽略其它星球的影响 可以将月球和地球看成上述星球 A 和 B 月球绕其轨道中心运行为的周期 记为 T1 但在近似处理问题时 常常认为月球是绕地心做圆周运动的 这样算得的运行周期 T2 已知地球和月球的质 量分别为 5 98 1024kg 和 7 35 1022kg 求 T2与 T1两者平方之比 结果保留 3 位小数 3 解析 A 和 B 绕 O 做匀速圆周运动 它们之间的万有引力提供向心力 则 A 和 B 的向心力相等 且 A 和 B 和 O 始终共 线 说明 A 和 B 有相同的角速度和周期 因此有 连立解得 RMrm 22 LRr L Mm m R L Mm M r 对 A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L mM M T m L GMm 2 2 2 化简得 2 3 mMG L T 将地月看成双星 由 得 2 3 1 mMG L T 将月球看作绕地心做圆周运动 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L T m L GMm 2 2 2 化简得 GM L T 3 2 2 所以两种周期的平方比值为01 1 1098 5 1035 7 1098 5 24 2224 2 1 2 M Mm T T 9 宇宙中存在一些离其它恒星较远的 由质量相等的三颗星组成的三星系统 通常可 忽略其它星体对它们的引力 作用 已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式 一种是三颗星位于同一直线上 两颗星围绕中央星在同一 半径为 R 的圆轨道上运行 另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上 并沿外接于等边三角形的圆形轨道运 行 设每个星体的质量均为 m 1 试求第一种形式下 星体运动的线速度和周期 2 假设两种形式星体的运动周期相同 第二种形式下星体之间的距离应为多少 解析 1 第一种形式下 以某个运动星体为研究对象 由万有引力定律和牛顿第二定律 得 F1 G F2 G F1 F2 m 2 2 R m 2 2 2 R m R v2 运动星体的线速度 5 4 Gm v R 周期为 T 则有 2 4 5 RR TR vGm 2 第二种形式星体之间的距离为r 则三个星体作圆周运动的半径为R 为 R 30cos 2r F2 F1 R 4 由于星体作圆周运动所需的向心力靠两个星体的万有引力的合力提供 由万有引力定律和牛顿第二定律 得 F 2cos30 合 2 2 r Gm F m 向 2 2 4 R T 2 2 2cos30 m G l2cos30 r m 2 2 T 所以星体之间的距离为 r 3 12 5 R 知识点三知识点三 宇宙速度宇宙速度 含义 1 第一宇宙速度 环绕速度 v1 7 9 km s 是人造地球卫星的最小发射速度 最大绕行速度 2 第二宇宙速度 脱离速度 v2 11 2 km s 是物体挣脱地球的引力束缚需要的最小发射速度 地 3 第三宇宙速度 逃逸速度 v3 16 7 km s 是物体挣脱太阳的引力束缚需要的最小发射速度 环绕速度推算 地 gRv 地 R GM v 推导一 推导一 物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动 万有引力提供向心力即 得 地 2 2 地 R v m R Mm G 地 R GM v 推导二 推导二 物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动需要的向心力等于重力 即 得 地 2 R v mmg 地 gRv 10 若取地球的第一宇宙速度为 8 km s 某行星的质量是地球质量的 6 倍 半径是地球的 1 5 倍 这 顺行星的第一宇宙速度约为 C A 2 km s B 4 km s C 16 km s D 32 km s 11 2011 杭州检测 宇航员在一行星上以 10 m s 的初速度竖直上抛一质量为 0 2 kg 的物体 不计阻力 经 2 5 s 后落回手中 已知该星球半径为 7 220 km 1 该星球表面的重力加速度是多大 2 要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面 沿星球表面抛出的速度至少是多大 3 若物体距离星球无穷远处时其引力势能为零 则当物体距离星球球心r时其引力势能Ep G 式中m为物体的质 Mm r 量 M为星球的质量 G为引力常量 问要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面 沿星球表面抛出的速度至少是 多大 11 1 8 m s2 2 7600 m s 3 10746 m s 解析 1 由匀变速运动规律知星球表面的重力加速度g 8 m s2 2v0 t 2 由牛顿第二定律 有 mg m v2 1 R 解得v1 7600 m s g R 3 由机械能守恒定律 有 F2 F1 F合 R r 5 mv G 0 1 22 2 Mm R 在该行星表面质量为m的物体受到的重力等于万有引力 有 mg G Mm R2 解得v2 10746 m s 2g R 知识点四知识点四 同步卫星与卫星变轨等卫星问题同步卫星与卫星变轨等卫星问题 同步卫星同步卫星 六同六同 即同轨道面 同在赤道的正上方 同周期 与地球自转的周期相同 同角速度 同高度 同 线速度大小 同向心加速度大小 五不同五不同 通常情况 质量不同 向心力的大小不同 动能 势能 机械能不同 kmRrh35800 环绕模型环绕模型 不同物理量与半径关系 GMrT 3 2 3 r GM 2 r GM a 向 r GM v 总结 越高越慢 只有 T 与 r 正相关 变轨判定 变轨判定 提供的力与所需力比较 当 F mv2 r 时 卫星做近心运动 此时卫星的速度将变大 当 F mv2 r 时 卫星做离心运动 此时卫星的速度将变小 12 关于环绕地球运动的卫星 下列说法中正确的是 A 分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星 不可能具有相同的周期 B 沿椭圆轨道运行的一颗卫星 在轨道不同位置可能具有相同的速率 C 在赤道上空运行的两颗地球同步卫星 它们的轨道半径有可能不同 D 沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星 它们的轨道平面一定会重合 解析 所有的同步卫星都在同一个赤道轨道上运动 C 错误 沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星它们的运行轨道面与 赤道面的夹角可以不同 它们的轨道平面就不会重合 D 错误 分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颖卫星 可能具有相 同的周期 A 错误 沿椭圆轨道运行的一颗卫星 在轨道的关于长轴对称的两个位置的速率相等 所以在轨道不同位置 可能具有相同的速率是正确的 答案 B 13 通信卫星大多是相对地球 静止 的同步卫星 在地球周围均匀地配置 3 颗同步通信卫星 通信范围就覆盖了几乎全 部地球表面 可以实现全球通信 假设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的 n 倍 则下列说法中正确的是 A 地球同步卫星运行的角速度与地球自转的角速度相等 B 同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的 1 n 倍 C 同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转速度的 n2倍 D 同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的 1 n 倍 忽图地球自转影响 答案 AB 解析 万有引力 同角速度时 线速度比等于半径比 c 为 n 倍 加速度是平方的倒数 14 地球同步卫星到地心的距离r 可用质量M 地球自转周期T与引力常量G表示为r 答案 2 3 2 4 GMT 4 分 解析 由万有引力等于向心力得 2 2 2 Mm Gmr rT 其中T为同步卫星的周期 等于地球的 skm r GM v 08 3 6 自转周期 解得 2 3 2 4 GMT r 1515 变轨问题 变轨问题 为了探测为了探测 X X 星球 载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心 半径为星球 载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心 半径为 r r1 1的圆轨道上运动 周期为的圆轨道上运动 周期为 T T1 1 总质量为 总质量为 m m1 1 随后登陆舱脱离飞船 变轨到离星球更近的半径为 随后登陆舱脱离飞船 变轨到离星球更近的半径为 r r2 2 的圆轨道上运动 此时登陆舱的质量为的圆轨道上运动 此时登陆舱的质量为 m m2 2则则 A A X X 星球的质量为星球的质量为 2 1 1 2 4 GT r M B B X X 星球表面的重力加速度为星球表面的重力加速度为 2 1 1 2 4 T r gX C C 登陆舱在登陆舱在 1 r与与 2 r轨道上运动是的速度大小之比为轨道上运动是的速度大小之比为 12 21 2 1 rm rm v v D D 登陆舱在半径为登陆舱在半径为 2 r轨道上做圆周运动的周期为轨道上做圆周运动的周期为 3 1 3 2 12 r r TT 16 如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动 从水星与金星在一条直线上开始计时 若天文学家测得在 相同时间内水星转过的角度为 1 金星转过的角度为 2 1 2均为锐角 则由此条件不能求出